Forze e momenti nel moto di una ruota con pneumatico
Ciao a tutti,
è la prima volta che mi trovo a scrivere una domanda in questo forum, anche se, negli anni, sono stato un assiduo lettore e ho trovato spesso l'illuminazione grazie a questa community. Sono diversi anni che ho chiuso il mio rapporto con la fisica e mai avrei pensato di trovarmi ad affrontare questo problema, quindi mi scuso già da ora per affermazioni al limite del profano
.
Sto studiando la dinamica di una ruota con pneumatico, che quindi rotola e striscia contemporaneamente. L'obiettivo è quello di valutare la forza scambiata tra pneumatico e strada, sulla base del rapporto di slittamento $k=\frac{wr-v}{v}$, passato come argomento alla Magic Formula (wiki), che forse non sarà tra le più amate nel mondo della fisica (non modella alcun fenomeno fisico appunto) ma sembra funzionare bene nella pratica.
Il problema principale sta nel trovare la velocità di rotazione della ruota, che so di poter calcolare mediante la seconda equazione cardinale della dinamica. In figura vi riporto uno schema di come immagino la situazione di coppie/forze (ho pessime doti con paint):
dove con C indico la coppia motrice applicata alla ruota (si muove da sinistra verso destra), con R il raggio della ruota (deformato sulla base del carico verticale, anche se quest'ultimo non è riportato nel grafico), e con F la forza applicata dalla strada allo pneumatico (non sono sicurissimo di questa affermazione).
L'equazione che me ne verrebbe fuori è quindi:
Il primo dubbio riguarda appunto il verso ed il significato fisico della forza scambiata tra pneumatico e strada. La assocerei alle forze di attrito statico e dinamico tra le due superfici (li considero entrambi perché nella zona di contatto pneumatico-strada c'è sia una parte che rotola senza strisciare, sia una parte che striscia e basta), orientata in quel modo perché altrimenti la ruota ruoterebbe senza avanzare, ma è più un'intuizione che una comprensione del fenomeno fisico.
Il secondo dubbio ha carattere un po' più generale e riguarda il segno dei momenti. In questo caso ho posto il segno di C positivo in quanto è una coppia motrice, e il momento di F di segno opposto in quanto genera una rotazione contraria. Ma ricordo di una regola per determinare il segno del momento di una forza, la quale diceva che se la forza imprime una rotazione antioraria allora il momento è positivo. In questo caso accade il contrario, quindi ne deduco che sia comunque io a decidere il segno positivo o negativo di un momento a prescindere dal verso di rotazione (rimanendo poi fedeli alla scelta per tutti i momenti in gioco).
Il terzo dubbio, chiaramente legato al primo, riguarda infine le varie forze di attrito coinvolte, quindi attrito statico e/o dinamico, attrito volvente e/o resistenza al rotolamento (credo siano la stessa cosa, ma li cito entrambi per star sicuro). Come agiscono sulla dinamica della ruota? E come andrebbe riscritta l'equazione completa tenendo conto di questi fattori?
Mi scuso per la lunghezza della domanda e vi ringrazio in anticipo per la pazienza e per le eventuali risposte .
è la prima volta che mi trovo a scrivere una domanda in questo forum, anche se, negli anni, sono stato un assiduo lettore e ho trovato spesso l'illuminazione grazie a questa community. Sono diversi anni che ho chiuso il mio rapporto con la fisica e mai avrei pensato di trovarmi ad affrontare questo problema, quindi mi scuso già da ora per affermazioni al limite del profano
. Sto studiando la dinamica di una ruota con pneumatico, che quindi rotola e striscia contemporaneamente. L'obiettivo è quello di valutare la forza scambiata tra pneumatico e strada, sulla base del rapporto di slittamento $k=\frac{wr-v}{v}$, passato come argomento alla Magic Formula (wiki), che forse non sarà tra le più amate nel mondo della fisica (non modella alcun fenomeno fisico appunto) ma sembra funzionare bene nella pratica.
Il problema principale sta nel trovare la velocità di rotazione della ruota, che so di poter calcolare mediante la seconda equazione cardinale della dinamica. In figura vi riporto uno schema di come immagino la situazione di coppie/forze (ho pessime doti con paint):
dove con C indico la coppia motrice applicata alla ruota (si muove da sinistra verso destra), con R il raggio della ruota (deformato sulla base del carico verticale, anche se quest'ultimo non è riportato nel grafico), e con F la forza applicata dalla strada allo pneumatico (non sono sicurissimo di questa affermazione).
L'equazione che me ne verrebbe fuori è quindi:
$C - F r= I \alpha$
Il primo dubbio riguarda appunto il verso ed il significato fisico della forza scambiata tra pneumatico e strada. La assocerei alle forze di attrito statico e dinamico tra le due superfici (li considero entrambi perché nella zona di contatto pneumatico-strada c'è sia una parte che rotola senza strisciare, sia una parte che striscia e basta), orientata in quel modo perché altrimenti la ruota ruoterebbe senza avanzare, ma è più un'intuizione che una comprensione del fenomeno fisico.
Il secondo dubbio ha carattere un po' più generale e riguarda il segno dei momenti. In questo caso ho posto il segno di C positivo in quanto è una coppia motrice, e il momento di F di segno opposto in quanto genera una rotazione contraria. Ma ricordo di una regola per determinare il segno del momento di una forza, la quale diceva che se la forza imprime una rotazione antioraria allora il momento è positivo. In questo caso accade il contrario, quindi ne deduco che sia comunque io a decidere il segno positivo o negativo di un momento a prescindere dal verso di rotazione (rimanendo poi fedeli alla scelta per tutti i momenti in gioco).
Il terzo dubbio, chiaramente legato al primo, riguarda infine le varie forze di attrito coinvolte, quindi attrito statico e/o dinamico, attrito volvente e/o resistenza al rotolamento (credo siano la stessa cosa, ma li cito entrambi per star sicuro). Come agiscono sulla dinamica della ruota? E come andrebbe riscritta l'equazione completa tenendo conto di questi fattori?
Mi scuso per la lunghezza della domanda e vi ringrazio in anticipo per la pazienza e per le eventuali risposte
.
Risposte
Anche se la ruota fosse perfettamente rigida, ma scabra, il verso della coppia motrice e della forza di attrito (solo statico nel caso di puro rotolamento) sarebbe corretto :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8431777
nel caso di ruota deformabile, è presente attrito volvente tra pneumatico e strada. Attrito volente e resistenza al rotolamento non sono proprio la stessa cosa.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8431777
nel caso di ruota deformabile, è presente attrito volvente tra pneumatico e strada. Attrito volente e resistenza al rotolamento non sono proprio la stessa cosa.
"dries":
[...]
Il primo dubbio riguarda appunto il verso ed il significato fisico della forza scambiata tra pneumatico e strada. La assocerei alle forze di attrito statico e dinamico tra le due superfici (li considero entrambi perché nella zona di contatto pneumatico-strada c'è sia una parte che rotola senza strisciare, sia una parte che striscia e basta), orientata in quel modo perché altrimenti la ruota ruoterebbe senza avanzare, ma è più un'intuizione che una comprensione del fenomeno fisico.
Corretti i versi che hai messo, l'attrito è per così dire opposto al verso di rotazione della ruota, e tende in effetti a far avanzare la ruota verso destra.
"dries":
Il secondo dubbio ha carattere un po' più generale e riguarda il segno dei momenti. In questo caso ho posto il segno di C positivo in quanto è una coppia motrice, e il momento di F di segno opposto in quanto genera una rotazione contraria. Ma ricordo di una regola per determinare il segno del momento di una forza, la quale diceva che se la forza imprime una rotazione antioraria allora il momento è positivo. In questo caso accade il contrario, quindi ne deduco che sia comunque io a decidere il segno positivo o negativo di un momento a prescindere dal verso di rotazione (rimanendo poi fedeli alla scelta per tutti i momenti in gioco).
Corretto anche questo, i versi positivi o negativi sono tutte convenzioni, basta essere congruenti con la scelta fatta. L'unica "convenzione" che convenzione non è perché stabilisce un orientamento ben preciso è la regola della mano destra nel prodotto vettoriale.
"dries":
Il terzo dubbio, chiaramente legato al primo, riguarda infine le varie forze di attrito coinvolte, quindi attrito statico e/o dinamico, attrito volvente e/o resistenza al rotolamento (credo siano la stessa cosa, ma li cito entrambi per star sicuro). Come agiscono sulla dinamica della ruota? E come andrebbe riscritta l'equazione completa tenendo conto di questi fattori?
Attrito statico e attrito volvente ovviamente sono cose completamente diverse.
Una ruota ideale rigida perfettamente che rotola su un piano rigido perfettamente orizzontale senza strisciare e a cui non sono applicate forze né coppie, ruoterebbe per sempre (trascurando l'attrito dell'aria); nel momento in cui applico una coppia all'asse interviene l'attrito (statico se c'è sufficiente attrito, dinamico altrimenti) che tenderebbe a farla rallentare o accelerare, ma nel momento in cui non applico più alcuna coppia la ruota nuovamente rotolerebbe per sempre alla nuova velocità.
L'attrito volvente invece è dovuto alla deformazione della ruote e/o del piano che fa sì che il contatto tra ruota e piano non sia un segmento ma una piccola superficie. Come hai accennato anche giustamente tu, quindi anche se macroscopicamente la ruota non slitta, in realtà c'è sempre un piccolo "strofinio" tra pneumatico e ruota (è questo che consuma gli pneumatici essenzialmente) ed è quello causa dell'attrito volvente.
Di solito si schematizza l'attrito volvente (a meno di non essere interessati a vedere nei dettagli come avviene il fenomeno, per esempio se si è progettisti di pneumatici
) con una coppia resistente che si oppone al moto e che dipende ovviamente dalla natura della ruota e del piano su cui si trova.
Shackle e Faussone, grazie per le risposte e buongiorno .
Allora, vorrei chiarire meglio la questione degli attriti provando a schematizzare i vari casi.
Nel caso di una ruota perfettamente rigida e in condizioni di puro rotolamento, l'attrito presente è quello statico (in quanto il punto di contatto ha velocità nulla) ed è diretto come la forza $F$ nel disegno, verso destra.
Questo si verifica quando, citando sia il link di Shackle che faussone, "c'è sufficiente attrito", ovvero quando è soddisfatta la condizione di aderenza. Questa condizione, correggetemi se sbaglio, dice che la forza generata dalla coppia motrice applicata alla ruota deve essere minore di $\mu_s N$, con $\mu_s$ coefficiente di attrito statico e $N$ forza normale. Se la condizione non è soddisfatta, allora si avrà slittamento della ruota e quindi la forza in gioco non sarà più attrito statico ma dinamico.
Il problema mi si pone in presenza di ruota deformabile, in quanto entrambi avete parlato di attrito volvente, ma non ho ben compreso se questo attrito è l'unico che entra in gioco nel caso di ruota con pneumatico, o se va a combinarsi insieme alle forze di attrito statico e dinamico.
Mi sorge il dubbio in quanto nel mio post iniziale ho fatto questa affermazione relativa alla forza $F$ (determinata dalla Magic Formula e che fa riferimento ad una ruota reale), e non sono stato smentito, quindi l'ho presa "per buona".
Quindi, vorrei capire la natura di questa forza F e la relazione che questa ha con l'attrito volvente, nel caso ovviamente di ruota reale con pneumatico.
Su questo invece:
Su alcune dispense universitarie, ho trovato questa relazione per la resistenza al rotolamento: $R_r = R' + R''$, dove con $R'$ viene indicata la resistenza dovuta alla coppia perno-cuscinetto, con $R''$ l'attrito volvente. Trascurando quindi il primo termine, possono essere ora considerate la stessa cosa, o c'è comunque qualche altra approssimazione che è stata già fatta a priori nella relazione iniziale?
Ho ancora qualche dubbio, sul quale però voglio ragionare una volta chiariti questi aspetti.
Vi ringrazio ancora e buona giornata
.Allora, vorrei chiarire meglio la questione degli attriti provando a schematizzare i vari casi.
Nel caso di una ruota perfettamente rigida e in condizioni di puro rotolamento, l'attrito presente è quello statico (in quanto il punto di contatto ha velocità nulla) ed è diretto come la forza $F$ nel disegno, verso destra.
Questo si verifica quando, citando sia il link di Shackle che faussone, "c'è sufficiente attrito", ovvero quando è soddisfatta la condizione di aderenza. Questa condizione, correggetemi se sbaglio, dice che la forza generata dalla coppia motrice applicata alla ruota deve essere minore di $\mu_s N$, con $\mu_s$ coefficiente di attrito statico e $N$ forza normale. Se la condizione non è soddisfatta, allora si avrà slittamento della ruota e quindi la forza in gioco non sarà più attrito statico ma dinamico.
Il problema mi si pone in presenza di ruota deformabile, in quanto entrambi avete parlato di attrito volvente, ma non ho ben compreso se questo attrito è l'unico che entra in gioco nel caso di ruota con pneumatico, o se va a combinarsi insieme alle forze di attrito statico e dinamico.
Mi sorge il dubbio in quanto nel mio post iniziale ho fatto questa affermazione relativa alla forza $F$ (determinata dalla Magic Formula e che fa riferimento ad una ruota reale), e non sono stato smentito, quindi l'ho presa "per buona".
"dries":
Il primo dubbio riguarda appunto il verso ed il significato fisico della forza scambiata tra pneumatico e strada. La assocerei alle forze di attrito statico e dinamico tra le due superfici (li considero entrambi perché nella zona di contatto pneumatico-strada c'è sia una parte che rotola senza strisciare, sia una parte che striscia e basta).
Quindi, vorrei capire la natura di questa forza F e la relazione che questa ha con l'attrito volvente, nel caso ovviamente di ruota reale con pneumatico.
Su questo invece:
"Shackle":
nel caso di ruota deformabile, è presente attrito volvente tra pneumatico e strada. Attrito volente e resistenza al rotolamento non sono proprio la stessa cosa.
Su alcune dispense universitarie, ho trovato questa relazione per la resistenza al rotolamento: $R_r = R' + R''$, dove con $R'$ viene indicata la resistenza dovuta alla coppia perno-cuscinetto, con $R''$ l'attrito volvente. Trascurando quindi il primo termine, possono essere ora considerate la stessa cosa, o c'è comunque qualche altra approssimazione che è stata già fatta a priori nella relazione iniziale?
Ho ancora qualche dubbio, sul quale però voglio ragionare una volta chiariti questi aspetti.
Vi ringrazio ancora e buona giornata
Ci sono molte discussioni nel forum, riguardanti la forza di attrito tra un disco che rotola su un piano,
questa è una. Lo schema scritto a mano sotto spoiler (per fortuna non l’hanno ancora cancellato) dovrebbe aiutarti a capire il verso e l’intensità della forza di attrito, in funzione della distanza $h$ dal piano orizzontale.
Nello schizzo ho fatto cenno anche alla resistenza di attrito volvente, che è dovuta alla deformabilità dei corpi a contatto, specie la ruota : il punto di applicazione della reazione del piano non è esattamente sulla verticale per il centro del disco, è spostato in avanti , per cui si crea un momento resistente: il braccio di questa coppia resistente si assume come parametro per calcolare la resistenza in questione, e sono state proposte varie formule empiriche per calcolare questo braccio.
Ma la resistenza al rotolamento dipende anche da altri fattori, per esempio lo strisciamento tra i due corpi a contatto, le imperfezioni del terreno, oltre alle imperfezioni elastiche dei materiali a contatto e l’attrito nei perni, che c’è sempre nella meccanica reale delle macchine. Ogni causa che produce perdita di energia è una resistenza al moto.
Renditi conto che quando si parla di “resistenza al moto” di un corpo si deve in generale fare riscorso a esperimenti pratici, in scala o addirittura al vero, non esistono sostanzialmente trattazioni analitiche in grado di dare risposte univoche a determinati problemi. Questo succede per es. nel moto delle automobili, dei treni, delle navi, degli aerei. Per cui è difficile, se non impossibile, dirti come fare a valutare con esattezza la resistenza al moto di uno pneumatico reale, nei libri e pubblicazioni specializzate puoi trovare formule empiriche.
questa è una. Lo schema scritto a mano sotto spoiler (per fortuna non l’hanno ancora cancellato) dovrebbe aiutarti a capire il verso e l’intensità della forza di attrito, in funzione della distanza $h$ dal piano orizzontale.
Nello schizzo ho fatto cenno anche alla resistenza di attrito volvente, che è dovuta alla deformabilità dei corpi a contatto, specie la ruota : il punto di applicazione della reazione del piano non è esattamente sulla verticale per il centro del disco, è spostato in avanti , per cui si crea un momento resistente: il braccio di questa coppia resistente si assume come parametro per calcolare la resistenza in questione, e sono state proposte varie formule empiriche per calcolare questo braccio.
Ma la resistenza al rotolamento dipende anche da altri fattori, per esempio lo strisciamento tra i due corpi a contatto, le imperfezioni del terreno, oltre alle imperfezioni elastiche dei materiali a contatto e l’attrito nei perni, che c’è sempre nella meccanica reale delle macchine. Ogni causa che produce perdita di energia è una resistenza al moto.
Renditi conto che quando si parla di “resistenza al moto” di un corpo si deve in generale fare riscorso a esperimenti pratici, in scala o addirittura al vero, non esistono sostanzialmente trattazioni analitiche in grado di dare risposte univoche a determinati problemi. Questo succede per es. nel moto delle automobili, dei treni, delle navi, degli aerei. Per cui è difficile, se non impossibile, dirti come fare a valutare con esattezza la resistenza al moto di uno pneumatico reale, nei libri e pubblicazioni specializzate puoi trovare formule empiriche.
"dries":
[...]Questa condizione, correggetemi se sbaglio, dice che la forza generata dalla coppia motrice applicata alla ruota deve essere minore di $\mu_s N$, con $\mu_s$ coefficiente di attrito statico e $N$ forza normale. Se la condizione non è soddisfatta, allora si avrà slittamento della ruota e quindi la forza in gioco non sarà più attrito statico ma dinamico.
Diciamo che l'espressione "forza generata dalla coppia motrice" non è che abbia molto senso, comunque credo di aver colto quello che intendi e va bene.
"dries":
Il problema mi si pone in presenza di ruota deformabile, in quanto entrambi avete parlato di attrito volvente, ma non ho ben compreso se questo attrito è l'unico che entra in gioco nel caso di ruota con pneumatico, o se va a combinarsi insieme alle forze di attrito statico e dinamico.
L'attrito volvente è l'unico attrito responsabile del rallentamento della ruota, trascurando l'attrito dell'aria.
Sto considerando una ruota da sola che rotola senza strisciare, dopo essere stata spinta in qualche modo, su un piano orizzontale. In tali condizioni non c'è alcuno attrito tra ruota e terreno, a parte quello dovuto alla deformabilità della ruota e quindi riconducibile al fenomeno dell'attrito volvente.
Se in queste condizioni applicassi una coppia all'asse della ruota (frenante o accelerante) allora subito si manifesterebbe l'attrito statico o dinamico nel verso opposto all'avanzamento o nel verso dell'avanzamento.
"dries":
Quindi, vorrei capire la natura di questa forza F e la relazione che questa ha con l'attrito volvente, nel caso ovviamente di ruota reale con pneumatico.
Ovviamente in quello che ti ho appena detto sto separando completamente l'attrito statico/dinamico da quello volvente, immaginando una ruota ideale non deformabile con una coppia o forza risultante con cui schematizzare l'effetto dell'attrito volvente.
Nella realtà è ovvio che le cose si sovrappongono: c'è sempre un attrito in parte statico e in parte dinamico se la ruota e il terreno sono deformabili. E quindi anche nel caso di una ruota che "rotola senza strisciare su un piano orizzontale" gli attriti statici e dinamici si sovrappongono sempre a dare l'attrito volvente.
"dries":
Su alcune dispense universitarie, ho trovato questa relazione per la resistenza al rotolamento: $R_r = R' + R''$, dove con $R'$ viene indicata la resistenza dovuta alla coppia perno-cuscinetto, con $R''$ l'attrito volvente. Trascurando quindi il primo termine, possono essere ora considerate la stessa cosa, o c'è comunque qualche altra approssimazione che è stata già fatta a priori nella relazione iniziale?
Tralasciando l'attrito dell'aria e gli attriti dei cuscinetti, l'unico attrito che interviene, nel caso di ruota che rotola su un piano, è l'attrito volvente, che ormai dovrebbe essere chiaro essere più che un tipo di attrito un fenomeno dato dalla deformabilità e dagli attriti tra superfici.
Esistono normative e prove, che si eseguono per determinare la resistenza al rotolamento di ruote di vario tipo su superfici di materiale diverso, ed in diverse condizioni di uso. Perciò non è né facile né immediato. Una prima idea la si può avere leggendo ad esempio questo. Ma non è tutto. E non ci si può limitare alla fisica elementare. LE normative tecniche, in tutti i campi, vanno ben al di là delle nozioni di base.
Il materiale da leggere è tanto e tutto molto utile, sto finalmente facendo un po' di chiarezza.
Riporto un link indicato da Shackle in uno dei post passati che illustra, in maniera chiara e con esempi, la situazione delle forze in gioco:
http://fisica.unipv.it/didattica/attrito/Geometria.htm
Può essere utile per chi si trova a leggere questo post.
Ritornando alla mia questione,
In effetti non ha senso, avrei dovuto scrivere il contrario, infatti io intendevo la forza associata alla coppia, data da $F=\frac{C}{R}$, rivolta verso destra. Ora, non sono sicuro che quanto scritto abbia effettivamente senso, anche perché, ragionando in termini di forze e per quanto detto nei commenti precedenti, a questo punto la forza di attrito dovrebbe essere rivolta verso sinistra. O sbaglio?
Sto prendendo atto della complessità di una modellazione "reale" di questo sistema. Ed immagino sia proprio questo il motivo dietro al "successo" della Magic Formula, che è ampiamente utilizzata nei contesti di simulazione della dinamica dei veicoli, cosa di cui tra l'altro mi sto occupando per un progetto universitario, per chiarire da dove nasca il mio quesito.
Devo riflettere su tutto quanto ho letto oggi, ma a mente lucida. Intanto auguro una buona serata ad entrambi
Riporto un link indicato da Shackle in uno dei post passati che illustra, in maniera chiara e con esempi, la situazione delle forze in gioco:
http://fisica.unipv.it/didattica/attrito/Geometria.htm
Può essere utile per chi si trova a leggere questo post.
Ritornando alla mia questione,
"Faussone":
Diciamo che l'espressione "forza generata dalla coppia motrice" non è che abbia molto senso, comunque credo di aver colto quello che intendi e va bene.
In effetti non ha senso, avrei dovuto scrivere il contrario, infatti io intendevo la forza associata alla coppia, data da $F=\frac{C}{R}$, rivolta verso destra. Ora, non sono sicuro che quanto scritto abbia effettivamente senso, anche perché, ragionando in termini di forze e per quanto detto nei commenti precedenti, a questo punto la forza di attrito dovrebbe essere rivolta verso sinistra. O sbaglio?
Sto prendendo atto della complessità di una modellazione "reale" di questo sistema. Ed immagino sia proprio questo il motivo dietro al "successo" della Magic Formula, che è ampiamente utilizzata nei contesti di simulazione della dinamica dei veicoli, cosa di cui tra l'altro mi sto occupando per un progetto universitario, per chiarire da dove nasca il mio quesito.
Devo riflettere su tutto quanto ho letto oggi, ma a mente lucida. Intanto auguro una buona serata ad entrambi
"dries":
Ora, non sono sicuro che quanto scritto abbia effettivamente senso, anche perché, ragionando in termini di forze e per quanto detto nei commenti precedenti, a questo punto la forza di attrito dovrebbe essere rivolta verso sinistra. O sbaglio?
Se ti riferisci al primo disegno che hai messo, è corretto come hai messo la forza considerando come agisce la coppia sull'asse.
Ho avuto modo di leggere diverso materiale e mi sono preso del tempo prima di continuare la "chiacchierata", ci sono molte discussioni sull'argomento qui sul forum, così tante che è anche difficile muoversi.
Tra le più interessanti che ho trovato c'è questa, anche se non si è chiusa proprio bene (tra i protagonisti c'è proprio Faussone).
Mi sono reso conto di avere diverse lacune e quindi prima di avventurarmi nella comprensione di un fenomeno "reale", è meglio avere bene in mente cosa accade nelle situazioni "ideali".
Detto ciò, credo (o almeno spero) di aver compreso il moto di puro rotolamento e le equazioni che lo governano. Provo a fare un ragionamento, spero abbiate ancora la pazienza di seguirmi.
Parto da un caso ideale, quindi con una ruota approssimabile come un disco perfettamente liscio che si muove su un piano scabro. Al disco è applicata una coppia, come nel mio disegno iniziale e nel seguente (tutte le immagini provengono da questa dispensa):
il verso della forza $A$ è quello riportato in figura e si tratta di attrito statico, nel caso di rotolamento senza strisciamento.
Quella che nel messaggio di ieri sera ho indicato con $E=\frac{M}{R}$ (ho cambiato lettere per comodità) la intendo come "forza di trazione", anche se sono consapevole che non è corretta chiamarla in questo modo, visto che la forza che fa muovere la ruota è appunto quella di attrito.
Con ciò volevo in realtà intendere il valore massimo che la forza di attrito statico può assumere, che dipende chiaramente dalla coppia applicata, ammesso che ci sia "sufficiente" attrito.
In realtà, considerando il momento di inerzia del disco rispetto al punto di contatto $I = \frac{3}{2}mR^2$, applicando le due equazioni della dinamica per le forze e i momenti e considerando la condizione $a_c = R \alpha$ (che se ho ben compreso è una delle condizioni di puro rotolamento), si ottiene $A = \frac{2}{3}\frac{M}{R}$ (il dettaglio dei conti qui).
Questo vale se appunto c'è sufficiente attrito, ovvero se $A \le \mu_s N$. Nel caso in cui la coppia applicata determini una forza di attrito superiore alla condizione di aderenza, si avrebbe slittamento del disco. In tal caso come cambiano le equazioni?
Suppongo che il verso della forza di attrito (dinamico in questo caso), sia sempre diretto verso destra, ma con modulo chiaramente diverso. L'accelerazione del centro di massa sarebbe in questo caso $a_{cm} = \frac{\mu_d N}{m}$.
Per l'accelerazione angolare non dovrebbe più valere la relazione di sopra se fa effettivamente riferimento al puro rotolamento . Come potrebbe essere valutata?
In ogni caso, questa situazione si mantiene fin tanto che la coppia applicata non diminuisce (per rientrare nella condizione di aderenza) o si cambia superficie (e quindi il coeff. di attrito statico).
Nel caso in cui invece di una coppia ci sia una forza, la situazione è la seguente:
Come riportato da Shackle in uno dei link, il verso e l'intensità della forza dipendono, oltre che dal modulo di $F$, anche dal punto di applicazione. Nel caso in cui sia applicata nel centro di massa, come in figura, l'intensità della forza di attrito vale $A=\frac{F}{3}$, mentre si ha $\alpha = \frac{2F}{3mR}$.
Ne deduco quindi che, analogamente al caso della coppia, si abbia puro rotolamento fin tanto che $A$ si mantiene al di sotto della condizione limite. Nel caso in cui F assuma un valore troppo grande, A diventa attrito dinamico, con modulo differente ma orientato sempre nello stesso modo. Come prima, come varia l'accelerazione angolare in questa situazione? Inoltre, è corretta la considerazione sull'attrito dinamico?
Credo di aver compreso ciò che succede fino a che il disco si trova nella condizione di puro rotolamento, i dubbi iniziano nel momento in cui al rotolamento si unisce lo slittamento. In tutto ciò non ho considerato l'attrito volvente, al quale vorrei dedicare un messaggio a parte, ma non oggi.
Vorrei concludere con un modello, al quale personalmente non riesco a trovare un senso. Ho accennato al fatto che devo modellare l'interazione pneumatico-strada mediante l'utilizzo della Magic Formula. Mi è stato intanto fornito un modello già implementato che devo analizzare e comprendere. La situazione è questa:
Si ha a disposizione la coppia $C$ applicata alla ruota, il raggio R, il carico verticale $F_z$ e la velocità longitudinale della ruota $v$. Indichiamo con $F_t$ la forza che "teoricamente" viene esercitata sulla ruota.
A partire dalla coppia e dal raggio viene ricavata una forza $F = \frac{C}{R}$.
Sulla base del valore di $v$, si hanno due casi:
- $0\le v <\eps$ ---------> $F_t = F - \mu_s F_z$ ($\eps$ parametro di progetto, scelto pari a 0.001)
- $v > \eps$ ---------> $F_t = F - \mu_d F_z$ (i coefficienti di attrito sono parametri di progetto)
Viene inoltre calcolata la velocità di rotazione della ruota come $\omega = \frac{v}{R}$.
Questo viene fatto per le quattro ruote. applicando poi $\sumF_t = ma$, con $m$ massa del veicolo, viene calcolata l'accelerazione longitudinale del centro di massa del veicolo e, in seguito ad integrazione, la velocità. Questa viene poi scomposta in velocità $v$ per le quattro ruote e si procede così nella simulazione, andando a calcolare le forze sulla base della coppia applicata.
Come detto, non riesco a trovare una spiegazione fisica a questo modello. La prima criticità che noto è riguardante la coppia applicata, in quanto, come riportato sopra, la $F_t$ dovrebbe essere in realtà la forza di attrito (statica o dinamica) che dipende da $C$ e che andrebbe valutata sulla base della condizione di aderenza. Ammesso che invece di lavorare in termini di coppia si voglia lavorare con una forza, la formulazione così posta mi sembra essere più un problema di "fisica traslazionale" piuttosto che "rotazionale" (massa che si muove su un piano con degli attriti a cui è applicata una forza). Avete commenti al riguardo?
Ho scritto veramente tanto, quindi mi scuso per chi è arrivato fino in fondo, e ringrazio già da ora chi avrà la pazienza di rispondere.
Buona serata a tutti
(P.s. ho apportato alcune modifiche nel messaggio, alcune parti non erano molto chiare)
Tra le più interessanti che ho trovato c'è questa, anche se non si è chiusa proprio bene (tra i protagonisti c'è proprio Faussone).
Mi sono reso conto di avere diverse lacune e quindi prima di avventurarmi nella comprensione di un fenomeno "reale", è meglio avere bene in mente cosa accade nelle situazioni "ideali".
Detto ciò, credo (o almeno spero) di aver compreso il moto di puro rotolamento e le equazioni che lo governano. Provo a fare un ragionamento, spero abbiate ancora la pazienza di seguirmi.
Parto da un caso ideale, quindi con una ruota approssimabile come un disco perfettamente liscio che si muove su un piano scabro. Al disco è applicata una coppia, come nel mio disegno iniziale e nel seguente (tutte le immagini provengono da questa dispensa):
il verso della forza $A$ è quello riportato in figura e si tratta di attrito statico, nel caso di rotolamento senza strisciamento.
Quella che nel messaggio di ieri sera ho indicato con $E=\frac{M}{R}$ (ho cambiato lettere per comodità) la intendo come "forza di trazione", anche se sono consapevole che non è corretta chiamarla in questo modo, visto che la forza che fa muovere la ruota è appunto quella di attrito.
Con ciò volevo in realtà intendere il valore massimo che la forza di attrito statico può assumere, che dipende chiaramente dalla coppia applicata, ammesso che ci sia "sufficiente" attrito.
In realtà, considerando il momento di inerzia del disco rispetto al punto di contatto $I = \frac{3}{2}mR^2$, applicando le due equazioni della dinamica per le forze e i momenti e considerando la condizione $a_c = R \alpha$ (che se ho ben compreso è una delle condizioni di puro rotolamento), si ottiene $A = \frac{2}{3}\frac{M}{R}$ (il dettaglio dei conti qui).
Questo vale se appunto c'è sufficiente attrito, ovvero se $A \le \mu_s N$. Nel caso in cui la coppia applicata determini una forza di attrito superiore alla condizione di aderenza, si avrebbe slittamento del disco. In tal caso come cambiano le equazioni?
Suppongo che il verso della forza di attrito (dinamico in questo caso), sia sempre diretto verso destra, ma con modulo chiaramente diverso. L'accelerazione del centro di massa sarebbe in questo caso $a_{cm} = \frac{\mu_d N}{m}$.
Per l'accelerazione angolare non dovrebbe più valere la relazione di sopra se fa effettivamente riferimento al puro rotolamento . Come potrebbe essere valutata?
In ogni caso, questa situazione si mantiene fin tanto che la coppia applicata non diminuisce (per rientrare nella condizione di aderenza) o si cambia superficie (e quindi il coeff. di attrito statico).
Nel caso in cui invece di una coppia ci sia una forza, la situazione è la seguente:
Come riportato da Shackle in uno dei link, il verso e l'intensità della forza dipendono, oltre che dal modulo di $F$, anche dal punto di applicazione. Nel caso in cui sia applicata nel centro di massa, come in figura, l'intensità della forza di attrito vale $A=\frac{F}{3}$, mentre si ha $\alpha = \frac{2F}{3mR}$.
Ne deduco quindi che, analogamente al caso della coppia, si abbia puro rotolamento fin tanto che $A$ si mantiene al di sotto della condizione limite. Nel caso in cui F assuma un valore troppo grande, A diventa attrito dinamico, con modulo differente ma orientato sempre nello stesso modo. Come prima, come varia l'accelerazione angolare in questa situazione? Inoltre, è corretta la considerazione sull'attrito dinamico?
Credo di aver compreso ciò che succede fino a che il disco si trova nella condizione di puro rotolamento, i dubbi iniziano nel momento in cui al rotolamento si unisce lo slittamento. In tutto ciò non ho considerato l'attrito volvente, al quale vorrei dedicare un messaggio a parte, ma non oggi.
Vorrei concludere con un modello, al quale personalmente non riesco a trovare un senso. Ho accennato al fatto che devo modellare l'interazione pneumatico-strada mediante l'utilizzo della Magic Formula. Mi è stato intanto fornito un modello già implementato che devo analizzare e comprendere. La situazione è questa:
Si ha a disposizione la coppia $C$ applicata alla ruota, il raggio R, il carico verticale $F_z$ e la velocità longitudinale della ruota $v$. Indichiamo con $F_t$ la forza che "teoricamente" viene esercitata sulla ruota.
A partire dalla coppia e dal raggio viene ricavata una forza $F = \frac{C}{R}$.
Sulla base del valore di $v$, si hanno due casi:
- $0\le v <\eps$ ---------> $F_t = F - \mu_s F_z$ ($\eps$ parametro di progetto, scelto pari a 0.001)
- $v > \eps$ ---------> $F_t = F - \mu_d F_z$ (i coefficienti di attrito sono parametri di progetto)
Viene inoltre calcolata la velocità di rotazione della ruota come $\omega = \frac{v}{R}$.
Questo viene fatto per le quattro ruote. applicando poi $\sumF_t = ma$, con $m$ massa del veicolo, viene calcolata l'accelerazione longitudinale del centro di massa del veicolo e, in seguito ad integrazione, la velocità. Questa viene poi scomposta in velocità $v$ per le quattro ruote e si procede così nella simulazione, andando a calcolare le forze sulla base della coppia applicata.
Come detto, non riesco a trovare una spiegazione fisica a questo modello. La prima criticità che noto è riguardante la coppia applicata, in quanto, come riportato sopra, la $F_t$ dovrebbe essere in realtà la forza di attrito (statica o dinamica) che dipende da $C$ e che andrebbe valutata sulla base della condizione di aderenza. Ammesso che invece di lavorare in termini di coppia si voglia lavorare con una forza, la formulazione così posta mi sembra essere più un problema di "fisica traslazionale" piuttosto che "rotazionale" (massa che si muove su un piano con degli attriti a cui è applicata una forza). Avete commenti al riguardo?
Ho scritto veramente tanto, quindi mi scuso per chi è arrivato fino in fondo, e ringrazio già da ora chi avrà la pazienza di rispondere.
Buona serata a tutti
(P.s. ho apportato alcune modifiche nel messaggio, alcune parti non erano molto chiare)
"dries":
[...] si ottiene $A = \frac{2}{3}\frac{M}{R}$
Corretto.
"dries":
Questo vale se appunto c'è sufficiente attrito, ovvero se $A \le \mu_s N$. Nel caso in cui la coppia applicata determini una forza di attrito superiore alla condizione di aderenza, si avrebbe slittamento del disco. In tal caso come cambiano le equazioni?
Suppongo che il verso della forza di attrito (dinamico in questo caso), sia sempre diretto verso destra, ma con modulo chiaramente diverso. L'accelerazione del centro di massa sarebbe in questo caso $a_{cm} = \frac{\mu_d N}{m}$.
Corretto.
"dries":
Per l'accelerazione angolare non dovrebbe più valere la relazione di sopra se fa effettivamente riferimento al puro rotolamento . Come potrebbe essere valutata?
Puoi scrivere la seconda equazione cardinale rispetto al centro di massa del disco:
$M-\mu_d N R=I alpha$ ($I=1/2mR^2$)
da cui puoi calcolare l'accelerazione angolare del disco e quindi volendo lo strisciamento.
"dries":
Nel caso in cui invece di una coppia ci sia una forza, [...]
l'intensità della forza di attrito vale $A=\frac{F}{3}$, mentre si ha $\alpha = \frac{2F}{3mR}$.
Corretto.
Nel caso la forza $F$ sia più grande e quindi la $A$ che si ottiene assumendo rotolamento è maggiore di $mu_S N$ allora si ha strisciamento.
Puoi applicare anche in questo caso la seconda equazione cardinale rispetto al centro di massa del disco e ricavare l'accelerazione angolare.
"dries":
Vorrei concludere con un modello, al quale personalmente non riesco a trovare un senso. [...]
Dovrei leggere esattamente quella trattazione per capire, da quello che hai scritto non mi è chiaro cosa si stia facendo, anche perché non si capisce cosa si stia considerando, una ruota, la ruota di un'auto? Cosa sono poi $F$ e $F_t$ e dove sono applicate?
Buongiorno Faussone,
provo a spiegare con maggiore dettaglio la situazione. Ho a disposizione un modello estremamente semplificato di un veicolo, in cui di fatti è modellata solamente la dinamica longitudinale (del veicolo), la dinamica delle quattro ruote ed uno schema di controllo. Il veicolo è considerato come un unico corpo rigido.
Si ha a disposizione un target di velocità per il veicolo (si considera come riferimento il baricentro del veicolo), che viene convertito, con opportune equazioni che non riporto, in un target di velocità di rotazione delle quattro ruote. Lo schema di controllo si compone di quattro regolatori PID (per chi legge e non sa di cosa si parla, vi riporto questo riferimento) che ricevono in ingresso il riferimento di velocità per le ruote e la velocità a cui stanno ruotando. Restituiscono in uscita una coppia $C$, che rappresenta la coppia da applicare alla ruota.
La parte relativa alla dinamica longitudinale del veicolo è modellata in maniera molto semplice
in cui, $a_g$ rappresenta l'accelerazione del baricentro del veicolo, $F_t$, per mia interpretazione, sono le forze dovute al contatto ruota-strada e quindi rappresentano le forze esercitate dalla strada sulle ruote, $m$ è la massa del veicolo, $F_a$ è un termine di resistenza aerodinamica che dipende dalla velocità del veicolo.
A partire dal valore di $a_g$ si riesce a ricavare, per integrazione numerica, la velocità $v_g$ del veicolo (è una funzionalità offerta dal software di simulazione che utilizzo, molto usato in ambito universitario)
Il valore di velocità $v_g$ è convertito in un valore di velocità $v_r$ per le quattro ruote, applicando la relazione dei corpi rigidi $ \vec v_r = \vec v_g + r\vec k \times GP $
dove $r$ è la velocità angolare intorno all'asse k e $GP$ è la distanza tra il baricentro del veicolo e il centro della ruota considerata. Nel nostro caso, essendo $r=0$, la relazione diventa banalmente $\vec v_r = \vec v_g$, questo significa che le velocità longitudinali delle ruote coincidono con la velocità longitudinale del veicolo, prima calcolata (ed è l'unica componente significativa del vettore velocità, per questo ho evitato di riportare il simbolo vettoriale fino ad ora)
L'ultimo aspetto riguarda il carico verticale $F_z$ sulle quattro ruote, che è calcolato banalmente come $F_z =\frac{mg}{4}$.
Dovrei aver chiarito ora tutti gli elementi che ho riportato nel messaggio precedente
La velocità $omega$ è quella che viene passata allo schema di controllo che la utilizzerà, come detto, per calcolare il valore di coppia all'istante successivo. Il dubbio è proprio incentrato sul significato forza $F$ che viene calcolata (esattamente in quel modo), e la conseguente $F_t$, di cui ho mostrato l'impiego. Questo è tutto ciò che ho a disposizione, non ci sono documenti allegati che possono chiarire ulteriormente.
provo a spiegare con maggiore dettaglio la situazione. Ho a disposizione un modello estremamente semplificato di un veicolo, in cui di fatti è modellata solamente la dinamica longitudinale (del veicolo), la dinamica delle quattro ruote ed uno schema di controllo. Il veicolo è considerato come un unico corpo rigido.
Si ha a disposizione un target di velocità per il veicolo (si considera come riferimento il baricentro del veicolo), che viene convertito, con opportune equazioni che non riporto, in un target di velocità di rotazione delle quattro ruote. Lo schema di controllo si compone di quattro regolatori PID (per chi legge e non sa di cosa si parla, vi riporto questo riferimento) che ricevono in ingresso il riferimento di velocità per le ruote e la velocità a cui stanno ruotando. Restituiscono in uscita una coppia $C$, che rappresenta la coppia da applicare alla ruota.
La parte relativa alla dinamica longitudinale del veicolo è modellata in maniera molto semplice
$\a_g = \frac{\sum F_t - F_a}{m}$
in cui, $a_g$ rappresenta l'accelerazione del baricentro del veicolo, $F_t$, per mia interpretazione, sono le forze dovute al contatto ruota-strada e quindi rappresentano le forze esercitate dalla strada sulle ruote, $m$ è la massa del veicolo, $F_a$ è un termine di resistenza aerodinamica che dipende dalla velocità del veicolo.
A partire dal valore di $a_g$ si riesce a ricavare, per integrazione numerica, la velocità $v_g$ del veicolo (è una funzionalità offerta dal software di simulazione che utilizzo, molto usato in ambito universitario)
Il valore di velocità $v_g$ è convertito in un valore di velocità $v_r$ per le quattro ruote, applicando la relazione dei corpi rigidi $ \vec v_r = \vec v_g + r\vec k \times GP $
dove $r$ è la velocità angolare intorno all'asse k e $GP$ è la distanza tra il baricentro del veicolo e il centro della ruota considerata. Nel nostro caso, essendo $r=0$, la relazione diventa banalmente $\vec v_r = \vec v_g$, questo significa che le velocità longitudinali delle ruote coincidono con la velocità longitudinale del veicolo, prima calcolata (ed è l'unica componente significativa del vettore velocità, per questo ho evitato di riportare il simbolo vettoriale fino ad ora)
L'ultimo aspetto riguarda il carico verticale $F_z$ sulle quattro ruote, che è calcolato banalmente come $F_z =\frac{mg}{4}$.
Dovrei aver chiarito ora tutti gli elementi che ho riportato nel messaggio precedente
"dries":
Si ha a disposizione la coppia $ C $ applicata alla ruota, il raggio R, il carico verticale $ F_z $ e la velocità longitudinale della ruota $ v $. Indichiamo con $ F_t $ la forza che "teoricamente" viene esercitata sulla ruota.
A partire dalla coppia e dal raggio viene ricavata una forza $ F = \frac{C}{R} $.
Sulla base del valore di $ v $, si hanno due casi:
- $ 0\le v <\eps $ ---------> $ F_t = F - \mu_s F_z $ ($ \eps $ parametro di progetto, scelto pari a 0.001)
- $ v > \eps $ ---------> $ F_t = F - \mu_d F_z $ (i coefficienti di attrito sono parametri di progetto)
Viene inoltre calcolata la velocità di rotazione della ruota come $ \omega = \frac{v}{R} $.
La velocità $omega$ è quella che viene passata allo schema di controllo che la utilizzerà, come detto, per calcolare il valore di coppia all'istante successivo. Il dubbio è proprio incentrato sul significato forza $F$ che viene calcolata (esattamente in quel modo), e la conseguente $F_t$, di cui ho mostrato l'impiego. Questo è tutto ciò che ho a disposizione, non ci sono documenti allegati che possono chiarire ulteriormente.
Mi dispiace, ma continuo a non capire molto.
L'unico modo in cui, in base a quanto hai scritto, posso attribuire un senso a
$F=C/R$
è che se si procede a velocità costante allora
$F_t=F_a \equiv F$
e quindi sì che $F=C/R$
Poi però non capisco molto altro da quanto riportato.
Non so... magari qualcun altro che ha capito interverrà....
L'unico modo in cui, in base a quanto hai scritto, posso attribuire un senso a
$F=C/R$
è che se si procede a velocità costante allora
$F_t=F_a \equiv F$
e quindi sì che $F=C/R$
Poi però non capisco molto altro da quanto riportato.
Non so... magari qualcun altro che ha capito interverrà....
Buongiorno Faussone,
il fatto che tu non riesca a trovare un senso a questa cosa un po' mi conforta, fin dall'inizio ho sempre avuto sospetti sulla validità di questo modello, a maggior ragione ora che ho fatto maggiore chiarezza sul moto di rotolamento.
Anche perché continuo a vedere, per questa parte qui citata, una forte analogia con i classici problemi di una massa $m$ che si muove lungo un piano, a causa di una forza applicata. Quando il corpo è fermo la forza risultante è $F-\mu_s F_z$, quando il corpo si muove è invece $F - \mu_d F_z$.
Mi sorge un dubbio ora però sul tuo ultimo commento
Perché in questo caso la forza di attrito vale esattamente $F=\frac{C}{R}$? Mi sarei aspettato un risultato simile a quanto riportato nel mio vecchio post, cioè avrei approssimato la ruota ad un disco e quindi la forza di attrito sarebbe stata $A = \frac{2}{3}F$, come nei calcoli precedenti.
Vorrei concludere con l'attrito volvente, che è sempre presente quando si parla di fenomeni reali.
Cito due passaggi, uno tuo e uno di Shackle, che di fatti esprimono lo stesso concetto:
L'attrito volvente, se ho ben compreso, è solo uno dei fattori che contribuiscono a definire la resistenza al rotolamento che, anche dal nome stesso, è interpretabile invece come l'insieme di tutti i fenomeni che si oppongono al rotolamento, i quali non sono sempre modellabili analiticamente. Mi sorge questo dubbio perché ho letto diverse volte questi due concetti usati come sinonimi.
Per la resistenza al rotolamento è definita una relazione semplificata: $F_r = f F_z$, con $f$ coefficiente di resistenza al rotolamento (da wiki).
Se volessi riscrivere l'equazione della dinamica per i momenti, tenendo conto anche della resistenza al rotolamento, quale braccio si potrebbe considerare per la resistenza al rotolamento? Esistono, come per l'attrito volvente, della relazioni empiriche per calcolarlo o si utilizza il raggio della ruota?
Intanto l'equazione sarebbe così: $ C - F R - F_r b = I \alpha$
con $C$ coppia applicata, $F$ forza esercitata dalla strada sulla ruota, $R$ raggio della ruota, $F_r$ resistenza al rotolamento e $b$ braccio della resistenza al rotolamento.
Buon fine settimana a tutti
il fatto che tu non riesca a trovare un senso a questa cosa un po' mi conforta, fin dall'inizio ho sempre avuto sospetti sulla validità di questo modello, a maggior ragione ora che ho fatto maggiore chiarezza sul moto di rotolamento.
"dries":
Sulla base del valore di $ v $, si hanno due casi:
- $ 0\le v <\eps $ ---------> $ F_t = F - \mu_s F_z $ ($ \eps $ parametro di progetto, scelto pari a 0.001)
- $ v > \eps $ ---------> $ F_t = F - \mu_d F_z $ (i coefficienti di attrito sono parametri di progetto)
Anche perché continuo a vedere, per questa parte qui citata, una forte analogia con i classici problemi di una massa $m$ che si muove lungo un piano, a causa di una forza applicata. Quando il corpo è fermo la forza risultante è $F-\mu_s F_z$, quando il corpo si muove è invece $F - \mu_d F_z$.
Mi sorge un dubbio ora però sul tuo ultimo commento
"Faussone":
Mi dispiace, ma continuo a non capire molto.
L'unico modo in cui, in base a quanto hai scritto, posso attribuire un senso a
$ F=C/R $
è che se si procede a velocità costante allora
$ F_t=F_a \equiv F $
e quindi sì che $ F=C/R $
Perché in questo caso la forza di attrito vale esattamente $F=\frac{C}{R}$? Mi sarei aspettato un risultato simile a quanto riportato nel mio vecchio post, cioè avrei approssimato la ruota ad un disco e quindi la forza di attrito sarebbe stata $A = \frac{2}{3}F$, come nei calcoli precedenti.
Vorrei concludere con l'attrito volvente, che è sempre presente quando si parla di fenomeni reali.
Cito due passaggi, uno tuo e uno di Shackle, che di fatti esprimono lo stesso concetto:
"Faussone":
L'attrito volvente invece è dovuto alla deformazione della ruote e/o del piano che fa sì che il contatto tra ruota e piano non sia un segmento ma una piccola superficie. Come hai accennato anche giustamente tu, quindi anche se macroscopicamente la ruota non slitta, in realtà c'è sempre un piccolo "strofinio" tra pneumatico e ruota (è questo che consuma gli pneumatici essenzialmente) ed è quello causa dell'attrito volvente.
Di solito si schematizza l'attrito volvente (a meno di non essere interessati a vedere nei dettagli come avviene il fenomeno, per esempio se si è progettisti di pneumatici
"Shackle":
ho fatto cenno anche alla resistenza di attrito volvente, che è dovuta alla deformabilità dei corpi a contatto, specie la ruota : il punto di applicazione della reazione del piano non è esattamente sulla verticale per il centro del disco, è spostato in avanti , per cui si crea un momento resistente: il braccio di questa coppia resistente si assume come parametro per calcolare la resistenza in questione, e sono state proposte varie formule empiriche per calcolare questo braccio.
Ma la resistenza al rotolamento dipende anche da altri fattori, per esempio lo strisciamento tra i due corpi a contatto, le imperfezioni del terreno, oltre alle imperfezioni elastiche dei materiali a contatto e l’attrito nei perni, che c’è sempre nella meccanica reale delle macchine. Ogni causa che produce perdita di energia è una resistenza al moto
L'attrito volvente, se ho ben compreso, è solo uno dei fattori che contribuiscono a definire la resistenza al rotolamento che, anche dal nome stesso, è interpretabile invece come l'insieme di tutti i fenomeni che si oppongono al rotolamento, i quali non sono sempre modellabili analiticamente. Mi sorge questo dubbio perché ho letto diverse volte questi due concetti usati come sinonimi.
Per la resistenza al rotolamento è definita una relazione semplificata: $F_r = f F_z$, con $f$ coefficiente di resistenza al rotolamento (da wiki).
Se volessi riscrivere l'equazione della dinamica per i momenti, tenendo conto anche della resistenza al rotolamento, quale braccio si potrebbe considerare per la resistenza al rotolamento? Esistono, come per l'attrito volvente, della relazioni empiriche per calcolarlo o si utilizza il raggio della ruota?
Intanto l'equazione sarebbe così: $ C - F R - F_r b = I \alpha$
con $C$ coppia applicata, $F$ forza esercitata dalla strada sulla ruota, $R$ raggio della ruota, $F_r$ resistenza al rotolamento e $b$ braccio della resistenza al rotolamento.
Buon fine settimana a tutti
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