Forze e la loro dipendenza da certe variabili cinematiche (e non da altre).
Salve a tutti,
Oggi stavo leggendo degli appunti sulle forze in dinamica ed ho letto che una forza puo' dipendere, nel modo piu' generale, dalla posizione del corpo $x$, dalla velocita' del corpo $v$, e dal tempo $t$, cioe' $F=F(x,v,t)$. Ne consegue che anche l'accelerazione piu' generale possibile e' data da $a(x,v,t)$.
In cinematica la posizione di un corpo in movimento $x$ e' parametrizzata in funzione del tempo $t$, cioe' $x(t)$, e lo stesso vale per la velocita' $v$, cioe' $v(t)$. Data $v(t)$, e' possibile passare a $v(x)$ oppure anche a $v(s)$ dove $s$ e' la distanza percorsa, ecc. senza cambiare la fisica del moto. Lo stesso vale per l'accelerazione $a$, definita come la derivata temporale della velocita': data $a(t)$, e' possibile passare all'accelerazione espressa come $a(x)$ visto che il corpo in movimento occupa posizione spaziali $x$ diverse ad instanti $t$ diversi.
Detto questo (ammesso che sia corretto), le varie forze vengono presentate con una dipendenza "esplicita" da una (o piu' ) particolare variabile cinematica e non da altre. Per esempio, la forza di resistenza dell'aria $-k v$ dipende dalla velocita' $v$ del corpo. Sarebbe possibile esprime questa stessa forza $-k v$ non in termini di $v$ ma in termini della posizione $x$. Tutto questo sembra matematicamente corretto. Ma cosa significa che una forza dipende esplicitamente da certe variabili cinematiche e solo implicitamente da altre visto che e' sempre possibile cambiare la dipendenza attraverso la parametrizzazione?
Un altro esempio: la forza elastica di Hooke's, e l'accelerazione che essa causa, dipende dalla posizione $x$ del corpo. Ovviamente, il corpo in moto occupa posizioni $x$ diverse in istanti diversi $t$ ed e' possibile esprimere la forza di Hooke come $F(t)$ invece che $F(x)$...
Grazi e saluti,
Astruso83
Oggi stavo leggendo degli appunti sulle forze in dinamica ed ho letto che una forza puo' dipendere, nel modo piu' generale, dalla posizione del corpo $x$, dalla velocita' del corpo $v$, e dal tempo $t$, cioe' $F=F(x,v,t)$. Ne consegue che anche l'accelerazione piu' generale possibile e' data da $a(x,v,t)$.
In cinematica la posizione di un corpo in movimento $x$ e' parametrizzata in funzione del tempo $t$, cioe' $x(t)$, e lo stesso vale per la velocita' $v$, cioe' $v(t)$. Data $v(t)$, e' possibile passare a $v(x)$ oppure anche a $v(s)$ dove $s$ e' la distanza percorsa, ecc. senza cambiare la fisica del moto. Lo stesso vale per l'accelerazione $a$, definita come la derivata temporale della velocita': data $a(t)$, e' possibile passare all'accelerazione espressa come $a(x)$ visto che il corpo in movimento occupa posizione spaziali $x$ diverse ad instanti $t$ diversi.
Detto questo (ammesso che sia corretto), le varie forze vengono presentate con una dipendenza "esplicita" da una (o piu' ) particolare variabile cinematica e non da altre. Per esempio, la forza di resistenza dell'aria $-k v$ dipende dalla velocita' $v$ del corpo. Sarebbe possibile esprime questa stessa forza $-k v$ non in termini di $v$ ma in termini della posizione $x$. Tutto questo sembra matematicamente corretto. Ma cosa significa che una forza dipende esplicitamente da certe variabili cinematiche e solo implicitamente da altre visto che e' sempre possibile cambiare la dipendenza attraverso la parametrizzazione?
Un altro esempio: la forza elastica di Hooke's, e l'accelerazione che essa causa, dipende dalla posizione $x$ del corpo. Ovviamente, il corpo in moto occupa posizioni $x$ diverse in istanti diversi $t$ ed e' possibile esprimere la forza di Hooke come $F(t)$ invece che $F(x)$...
Grazi e saluti,
Astruso83
Risposte
Non è assolutamente vero che le forze dipendono nel modo più generale da x,v,t, possono dipendere anche dalle derivate seconde e terze di x e così via, solo che non sono casi comuni in dinamica e quindi, soprattutto in meccanica razionale, ci si limita a studiare le forze dipendenti da t,x e v
Grazie. Hai ragione.
Dire che una forza dipende esplicitamente da $x$ significa che è $F=F(x)$, quindi, dato un certo punto materiale soggetto a quella forza, se riusciamo a risolvere l'equazione del moto F=ma, allora riusciamo a determinare il moto del punto materiale x=x(t), una volta determinato questo moto allora si può fare quello che dici tu, ossia fare un cambiamento di variabile ed esprimere F in funzione di qualcos'altro, ma non puoi farlo senza prima aver risolto l'equazione del moto. Ossia F dipende solo da x, se F viene applicata a un certo punto materiale essa ne determina il moto x=x(t), e una volta determinato questo moto possiamo scrivere F in funzione di qualche altra variabile collegata a x in qualche modo. Ma appunto non si può fare senza prima aver risolto l'equazione del moto, stessa cosa per $F(v)=-kv$, essa dipende solo dalla velocità, non la puoi esprimere in funzione di x se non conosci x, e per conoscere x devi risolvere l'equazione del moto.
Grazie Vulplasir.
Vediamo se ho capito bene. Nel caso della forza $F(v)= - kv$, l'equazione differenziale di moto da risolvere e' la seguente:
$ \frac{dv} {dt}= \frac{-kv} {m} $
oppure
$ \frac{d^2x} {dt^2}= \frac{-kv} {m} = \frac{-k dx}{m dt}$
Ora l'equazione e' scritta interamente in termini di $x$...
Vediamo se ho capito bene. Nel caso della forza $F(v)= - kv$, l'equazione differenziale di moto da risolvere e' la seguente:
$ \frac{dv} {dt}= \frac{-kv} {m} $
oppure
$ \frac{d^2x} {dt^2}= \frac{-kv} {m} = \frac{-k dx}{m dt}$
Ora l'equazione e' scritta interamente in termini di $x$...
Si parte dall'equazione per trovare $x(t)$ oppure $v(t)$ e da questi si puo' far discendere $v(x)$, $a(x)$ ma mi sembra che esprimere la forza in termini di una variabile cinematica od un'altra sia una cosa arbitraria.
Se diciamo che una forza dipende dal tempo ed un'altra forza dipende dalla posizione, sembra possibile sostenere che entrambe le forze dipendono dal tempo visto che il corpo occupa una certa posizione ad un preciso istante di tempo.
Se diciamo che una forza dipende dal tempo ed un'altra forza dipende dalla posizione, sembra possibile sostenere che entrambe le forze dipendono dal tempo visto che il corpo occupa una certa posizione ad un preciso istante di tempo.
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