Forza tra due sbarrette
Due sbarrette di lunghezza L hanno ciascuna una carica q distribuita uniformemente.sulla loro lunghezza. Esse sono sull'asse x e la distanza dei loro centri vale d. Calcolare la forza tra le due bacchette.
Potrei trovarmi il campo elettrostatico generato dalla prima sbarretta in un punto generico sull'asse a distanza x dall'origine che coincide con l'estremo della prima sbarretta. Moltiplicando quest'ultimo per la carica infinitesima della seconda sbarretta avrei la forza con cui interagiscono? Però gli estremi di integrazione quali sarebbero? Però in pratica non saprei come fare ragazzi. Qualche consiglio?
Potrei trovarmi il campo elettrostatico generato dalla prima sbarretta in un punto generico sull'asse a distanza x dall'origine che coincide con l'estremo della prima sbarretta. Moltiplicando quest'ultimo per la carica infinitesima della seconda sbarretta avrei la forza con cui interagiscono? Però gli estremi di integrazione quali sarebbero? Però in pratica non saprei come fare ragazzi. Qualche consiglio?
Risposte
"speculor":
Prova a svolgere il seguente integrale, evidentemente $d>=L$:
$F=1/(4\pi\epsilon_0)\int_{0}^{L}Q/Ldx_1\int_{d}^{d+L}Q/Ldx_(2)1/(x_1-x_2)^2=1/(4\pi\epsilon_0)Q^2/L^2log(d^2/(d^2-L^2))$
mi potresti spiegare il ragionamento che ti ha portato a scrivere e risolvere quell'integrale doppio?
Grazie mille
Mediante il principio di sovrapposizione:
$[dF=1/(4piepsilon_0)(dQ_1dQ_2)/r^2] ^^ [dQ_1=Q/Ldx_1] ^^ [dQ_2=Q/Ldx_2] ^^ [r=|x_1-x_2|]$
Per intenderci, hai $[oo^2]$ coppie di cariche infinitesime puntiformi (ogni coppia è identificata dalle variabili $[x_1]$ e $[x_2]$), $[dQ_1=Q/Ldx_1]$ appartenente alla prima sbarrettta, $[dQ_2=Q/Ldx_2]$ appartenente alla seconda, di distanza mutua $[|x_1-x_2|]$. Per determinare la forza complessiva, devi integrare sulle due sbarrette tenendo conto della loro posizione, $[0<=x_1<=L]$ le ascisse occupate dalle porzioni infinitesime della prima sbarretta, $[d<=x_2<=d+L]$ le ascisse occupate dalle porzioni infinitesime della seconda.
La tua soluzione è del tutto equivalente. Di fatto, svolgi un primo integrale per calcolare il campo elettrico complessivo generato dalla prima sbarretta, $[x_1]$ è la variabile d'integrazione, $[x_2]$ un parametro, quindi un secondo integrale per calcolare la forza complessiva, $[x_2]$ diventa la seconda variabile d'integrazione. Tanto vale impostarlo subito come ti ho mostrato, a mio parere più intuitivo ed efficace.
$[dF=1/(4piepsilon_0)(dQ_1dQ_2)/r^2] ^^ [dQ_1=Q/Ldx_1] ^^ [dQ_2=Q/Ldx_2] ^^ [r=|x_1-x_2|]$
Per intenderci, hai $[oo^2]$ coppie di cariche infinitesime puntiformi (ogni coppia è identificata dalle variabili $[x_1]$ e $[x_2]$), $[dQ_1=Q/Ldx_1]$ appartenente alla prima sbarrettta, $[dQ_2=Q/Ldx_2]$ appartenente alla seconda, di distanza mutua $[|x_1-x_2|]$. Per determinare la forza complessiva, devi integrare sulle due sbarrette tenendo conto della loro posizione, $[0<=x_1<=L]$ le ascisse occupate dalle porzioni infinitesime della prima sbarretta, $[d<=x_2<=d+L]$ le ascisse occupate dalle porzioni infinitesime della seconda.
"smaug":
Potrei trovarmi il campo elettrostatico generato dalla prima sbarretta in un punto generico sull'asse a distanza x dall'origine che coincide con l'estremo della prima sbarretta. Moltiplicando quest'ultimo per la carica infinitesima della seconda sbarretta avrei la forza con cui interagiscono?
La tua soluzione è del tutto equivalente. Di fatto, svolgi un primo integrale per calcolare il campo elettrico complessivo generato dalla prima sbarretta, $[x_1]$ è la variabile d'integrazione, $[x_2]$ un parametro, quindi un secondo integrale per calcolare la forza complessiva, $[x_2]$ diventa la seconda variabile d'integrazione. Tanto vale impostarlo subito come ti ho mostrato, a mio parere più intuitivo ed efficace.
Io teoricamente l'ho capito l'esercizio però analiticamente non mi torna qualcosa. Gli estremi di integrazione li ho capiti però:
$F=1/(4\pi\epsilon_0)\int_{0}^{L}Q/Ldx_1\int_{d}^{d+L}Q/Ldx_(2)1/(x_1-x_2)^2$
non ho capito cosa è $1/(x_1-x_2)^2$, poi non ho capito se usi il concetto di densità di carica uniformemente distribuita...
$F=1/(4\pi\epsilon_0)\int_{0}^{L}Q/Ldx_1\int_{d}^{d+L}Q/Ldx_(2)1/(x_1-x_2)^2$
non ho capito cosa è $1/(x_1-x_2)^2$, poi non ho capito se usi il concetto di densità di carica uniformemente distribuita...
"smaug":
...non ho capito cosa è $1/(x_1-x_2)^2$...
L'inverso della distanza al quadrato tra le due cariche infinitesime, nel rispetto della legge di Coulomb.
"smaug":
...non ho capito se usi il concetto di densità di carica uniformemente distribuita...
Certamente sì: $[dQ_1=Q/Ldx_1] ^^ [dQ_2=Q/Ldx_2]$
Allora mi sono un pò confuso con la simbologia che utllizzi.
Diciamo che
$dF = (dq_1 dq_2) / (4\ \pi\ \varepsilon_0\ r^2)$
dove $dq_1 = \lambda dx_1$ e $dq_2 = \lambda dx_2$ essendo $\lambda$ la densità lineare di carica e $r = |x_1 - x_2|$
Quindi avrei
$F = (\lambda^2)/ (4\ \pi\ \varepsilon_0) \int_0^L dx_1 \int_d^(d+L) dx_2 / (x_1 - x_2)^2$
$F = (\lambda^2\ L)/ (4\ \pi\ \varepsilon_0) \int_d^(d+L) dx_2 / (x_1 - x_2)^2$
il secondo integrale non mi viene come il tuo, come hai fatto? So che ora non è più un problema di fisica ma non mi viene.
Grazie mille
Diciamo che
$dF = (dq_1 dq_2) / (4\ \pi\ \varepsilon_0\ r^2)$
dove $dq_1 = \lambda dx_1$ e $dq_2 = \lambda dx_2$ essendo $\lambda$ la densità lineare di carica e $r = |x_1 - x_2|$
Quindi avrei
$F = (\lambda^2)/ (4\ \pi\ \varepsilon_0) \int_0^L dx_1 \int_d^(d+L) dx_2 / (x_1 - x_2)^2$
$F = (\lambda^2\ L)/ (4\ \pi\ \varepsilon_0) \int_d^(d+L) dx_2 / (x_1 - x_2)^2$
il secondo integrale non mi viene come il tuo, come hai fatto? So che ora non è più un problema di fisica ma non mi viene.
Grazie mille
"smaug":
$F = (\lambda^2)/ (4\ \pi\ \varepsilon_0) \int_0^L dx_1 \int_d^(d+L) dx_2 / (x_1 - x_2)^2$
$F = (\lambda^2\ L)/ (4\ \pi\ \varepsilon_0) \int_d^(d+L) dx_2 / (x_1 - x_2)^2$
Veramente, la funzione integranda è $[1/(x_1 - x_2)^2]$. Quindi, non si comprende come tu possa svolgere il primo integrale come se fosse costante rispetto a $[x_1]$. Voglio dire, le notazioni che ho usato possono magari indurre in errore, facendo pensare che il primo integrale sia semplicemente uguale a $[L]$. Tuttavia, ti posso assicurare che sono ampiamente utilizzate. In definitiva:
$F = (\lambda^2)/ (4\ \pi\ \varepsilon_0) \int_0^L dx_1 \int_d^(d+L) dx_2 / (x_1 - x_2)^2 rarr $
$rarr F = (\lambda^2)/ (4\ \pi\ \varepsilon_0) \int_d^(d+L) dx_2 [-1/ (x_1 - x_2)]_0^L rarr$
$rarr F = (\lambda^2)/ (4\ \pi\ \varepsilon_0) \int_d^(d+L) dx_2 (-1/ (L - x_2)- 1/x_2) rarr$
$rarr F = (\lambda^2)/ (4\ \pi\ \varepsilon_0)[log|L - x_2|-logx_2]_d^(d+L) rarr$
$rarr F = (\lambda^2)/ (4\ \pi\ \varepsilon_0)(logd-log(d+L)-log(d-L)+logd) rarr$
$rarr F = (\lambda^2)/(4\pi\epsilon_0)log(d^2/(d^2-L^2))$
Perfetto perfetto ci sono!
ho fatto prima $\int_d^(d + L) dx_2 / (x_1 - x_2)^2$ con una sostituzione e poi ho integrato rispetto a $x_1$
e solo l'integrale doppio mi viene $\log (d^2 / (d^2 - L2))$
Grazie mille, quando non si è esperti è facile sbagliare
ho fatto prima $\int_d^(d + L) dx_2 / (x_1 - x_2)^2$ con una sostituzione e poi ho integrato rispetto a $x_1$
e solo l'integrale doppio mi viene $\log (d^2 / (d^2 - L2))$
Grazie mille, quando non si è esperti è facile sbagliare
Nel frattempo ho rifatto i conti. 
ahahah pensavo che "giustamente" stavi aspettando la mia risposta trattandosi ormai di un problema di analisi 
Grazie mille mi sei molto di aiuto!
Grazie mille mi sei molto di aiuto!
Nessun problema e buona serata. 
Se invece ho una sbarretta sottile lunga $L$ con una carica $q$ uniformemente distribuita di cui volessi calcolare il campo elettrico lungo il suo asse a distanza $a$ dal suo estremo più vicino?
$E = \int (\lambda dx) / (4 \pi \varepsilon_0 r^2)$
dovrei dire $r = |x - (L + a)|$ mentre gli estremi vanno da 0 a L ?
Gracias, buona serata anche a te
$E = \int (\lambda dx) / (4 \pi \varepsilon_0 r^2)$
dovrei dire $r = |x - (L + a)|$ mentre gli estremi vanno da 0 a L ?
Gracias, buona serata anche a te
Risolto
Qualcuno sa spiegarmi perché per x2 gli estremi sono e e d+L?
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