Forza gravitazionale e corpi sferici
"I corpi sferici esercitano e subiscono forze gravitazionali come se avessero tutta la massa concentrata nel centro": perché quest'affermazione è vera, cioè qual è la sua dimostrazione? Grazie in anticipo a chi risponderà.
Risposte
Si dimostra applicando il teorema di gauss al potenziale generato dalla massa del pianeta. Se hai studiato elettromagnetismo è un procedimento analogo a ciò che si dimostra per il campo elettrico generato da una sfera carica
Come ha succintamente spiegato Matteo111, si usa il teorema di Gauss relativo al flusso (qui riportato) di un campo vettoriale, di intensità proporzionale all'inverso del quadrato della distanza , per calcolare la forza gravitazionale esercitata da un guscio sferico omogeneo su una massa puntiforme posto a una certa distanza dal guscio. Il campo esterno dipende solo dalle cariche , o masse, racchiuse nel guscio, non dalla loro posizione.
Qui trovi il teorema del guscio sferico.
Poi dal guscio sferico si passa alla massa sferica omogenea , tenendo presente che , per un punto materiale P posto all'interno di un guscio omogeneo, la forza di attrazione gravitazionale totale dovuta al guscio è nulla ; perciò , per P dentro una sfera piena , la massa che conta è solo la parte contenuta all'interno della sfera più piccola , di raggio uguale alla distanza di P dal centro, perché tutto ciò che è oltre questa distanza è "guscio" per P .
Nel link prima dato si trova anche la seconda parte.
È notevole la conseguenza che , per un punto all'interno della sfera, la forza varia linearmente con $r$ . Questo succede perché la forza gravitazionale è proporzionale a $1/r^2$ , ma aumentando la distanza dal centro la massa che origina il campo è proporzionale a $r^3$ : in definitiva , ecco come varia il campo , dentro e fuori la sfera iniziale data:
Se hai il Mencuccini-Silvestrini , oppure il Mazzoldi , trovi queste cose spiegate in modo più dettagliato. Ma dovresti trovare la spiegazione in qualunque libro di fisica di buon livello .
Qui trovi il teorema del guscio sferico.
Poi dal guscio sferico si passa alla massa sferica omogenea , tenendo presente che , per un punto materiale P posto all'interno di un guscio omogeneo, la forza di attrazione gravitazionale totale dovuta al guscio è nulla ; perciò , per P dentro una sfera piena , la massa che conta è solo la parte contenuta all'interno della sfera più piccola , di raggio uguale alla distanza di P dal centro, perché tutto ciò che è oltre questa distanza è "guscio" per P .
Nel link prima dato si trova anche la seconda parte.
È notevole la conseguenza che , per un punto all'interno della sfera, la forza varia linearmente con $r$ . Questo succede perché la forza gravitazionale è proporzionale a $1/r^2$ , ma aumentando la distanza dal centro la massa che origina il campo è proporzionale a $r^3$ : in definitiva , ecco come varia il campo , dentro e fuori la sfera iniziale data:
Se hai il Mencuccini-Silvestrini , oppure il Mazzoldi , trovi queste cose spiegate in modo più dettagliato. Ma dovresti trovare la spiegazione in qualunque libro di fisica di buon livello .
Ma se nello spazio un corpo dentro ad un guscio vuoto non subisce alcuna forza da parte del guscio e nello spazio la forza gravitazionale è inversamente proporzionale al quadrato della distanza (e direttamente proporzionale al prodotto delle masse) capita poi che se riduciamo tutto a due dimensioni (in un piano) e usiamo una forza che è inversamente proporzionale alla distanza (e non al quadrato) e piazziamo un corpo all'interno di una corona sferica (e non un guscio) dotata di massa, questa lo stesso poi non esercita alcuna forza sul corpo che sta dentro?
Insomma invece di usare la forza di Newton ne usiamo una che è inversamente proporzionale alla distanza e usiamo al posto del guscio vuoto una corona circolare, e al posto dello spazio tridimensionale uno bidimensionale.
Ho ragionato per analogia, non ho alcuna idea del perché una cosa del genere si trovi
, può essere tranquillamente che non si trovi.
Poi si potrebbe anche salire di dimensione e usare invece di una calotta sferica una calotta ipersferica e una forza che è inversamente proporzionale al cubo della distanza e si otterrebbe lo stesso.
Insomma invece di usare la forza di Newton ne usiamo una che è inversamente proporzionale alla distanza e usiamo al posto del guscio vuoto una corona circolare, e al posto dello spazio tridimensionale uno bidimensionale.
Ho ragionato per analogia, non ho alcuna idea del perché una cosa del genere si trovi
, può essere tranquillamente che non si trovi.Poi si potrebbe anche salire di dimensione e usare invece di una calotta sferica una calotta ipersferica e una forza che è inversamente proporzionale al cubo della distanza e si otterrebbe lo stesso.
"bub":
.....se riduciamo tutto a due dimensioni (in un piano) e usiamo una forza che è inversamente proporzionale alla distanza (e non al quadrato) e piazziamo un corpo all'interno di una corona sferica (e non un guscio) dotata di massa, questa lo stesso poi non esercita alcuna forza sul corpo che sta dentro?
Direi di sí , il teorema di Gauss funziona anche in due dimensioni. Qualche elettrotecnico avvezzo a considerare distribuzioni piane di cariche potrebbe confermare , o bocciare...
Poi si potrebbe anche salire di dimensione e usare invece di una calotta sferica una calotta ipersferica e una forza che è inversamente proporzionale al cubo della distanza e si otterrebbe lo stesso.
Non ho idea di che cosa possa succedere in uno spazio euclideo a dimensioni maggiori, ma vorrei evitare di affidarmi all'intuito, che mi porterebbe a dire di sí ....
Direi "guscio" e non "calotta" , ma poco male.
Mi sa che volevo scrivere 'guscio' e m è venuta 'calotta', chiedo venia.
In due dimensioni allora sei quasi sicuro che vale quel che ho immaginato?
Se scediamo ad 1 dimensione è facile vedere che si trova perché l esponente della distanza diventa 0 (2, 1, 0), la forza perciò sarà dipendente solo dalle masse.
Se su una linea un corpo puntiforme si trova in mezzo a due segmenti uguali le due forze opposte e uguali che questi esercitano si annullano.
La forza (in modulo) in base al numero di dimensioni x dello spazio (euclideo
) segue la regola
$(m_1*m_2)/(D^(x-1))$.
Con D distanza tra i due corpi.
In due dimensioni allora sei quasi sicuro che vale quel che ho immaginato?
Se scediamo ad 1 dimensione è facile vedere che si trova perché l esponente della distanza diventa 0 (2, 1, 0), la forza perciò sarà dipendente solo dalle masse.
Se su una linea un corpo puntiforme si trova in mezzo a due segmenti uguali le due forze opposte e uguali che questi esercitano si annullano.
La forza (in modulo) in base al numero di dimensioni x dello spazio (euclideo
) segue la regola$(m_1*m_2)/(D^(x-1))$.
Con D distanza tra i due corpi.
"bub":
In due dimensioni allora sei quasi sicuro che vale quel che ho immaginato?
In due dimensioni si .
Se scediamo ad 1 dimensione è facile vedere che si trova perché l esponente della distanza diventa 0 (2, 1, 0), la forza perciò sarà dipendente solo dalle masse.
Se su una linea un corpo puntiforme si trova in mezzo a due segmenti uguali le due forze opposte e uguali che questi esercitano si annullano.
La forza (in modulo) in base al numero di dimensioni x dello spazio (euclideo
$(m_1*m_2)/(D^(x-1))$.
Con D distanza tra i due corpi.
Come fai a dire questo ? Anche nel caso tridimensionale a cui siamo abituati esistono forze che variano come $d$ , distanza da un centro d attrazione ; pensa alle forze elastiche. Insomma, il problema è la "legge" con cui varia la forza con la distanza, io non farei illazioni non richieste.
Ad esempio, nel caso da cui siamo partiti (punto materiale dentro una sfera omogenea, forza che varia linearmente con la distanza dal centro, vedi diagramma da me allegato ) , se scaviamo un tunnel nella terra che la attraversi passando per il centro ( e non solo...) , un punto materiale che viene fatto cadere in uno dei due buchi è soggetto a una accelerazione gravitazionale decrescente, e arriva al centro con accelerazione nulla , e all'altro buco con accelerazione uguale in modulo ancora a $g$ : c'è un classico problemino di meccanica su questo.
Mi sa che non sono riuscito a spiegarmi.
Sto dicendo che se la forza di attrazione la modifichiamo come ho detto, in due dimensioni abbiamo che un "corpo" (ma è chiaro che si tratta di un'astrazione dato che si ha a che fare con un oggetti bidimensionale) dentro una corona circolare non subisce alcuna forza di gravitazione da parte della corona, in una dimensione (sempre tenendo presente la modifica della legge di attrazione) un corpo tra due segmenti uguali (che sarebbe poi la sezione di una corona circolare con una linea che passa dal centro) non subisce attrazione da parte dei segmenti, e così via... Non sto dicendo che tutte le forze funzionano così!
Ho solo esposto la regola per modificare come funziona questa forza di attrazione che dovrebbe poi far trovare questa cosa e cioé che il corpo dentro al guscio sferico (con massa distribuita in modo omogeneo) relativo alla dimensione considerata, non subisce alcuna attrazione da parte del guscio perché tutte le forze (attrattive) che esercita il guscio su ogni zona del corpo si annullano tra di loro.
In 1 dimensioni la forza attrattiva lungo la congiungente D sarebbe
$(m_1*m_2)/D^0$
In 2 dimensioni la forza attrattiva lungo la congiungente D sarebbe
$(m_1*m_2)/D^1$
In 3 dimensioni la forza attrattiva lungo la congiungente D sarebbe
$(m_1*m_2)/D^2$
...
La congettura.
In ogni spazio euclideo di dimensione $x$ se un corpo si trova nel guscio sferico (relativo a questa dimensione x) di massa omogenea (distribuita uniformemente) e questo guscio esercita una forza attrattiva $(m_1*m_2)/D^(x-1)$ il guscio non esercita alcuna forza sul corpo perché tutte le forze che esercita (in base a questa legge modificata) si annullano tra loro.
Ma è una congettura, non so se si trova, in una dimensione mi è chiaro che si trova, in tre si trova, io immagino che in ogni dimensione poi si trovi, ma non l'ho dimostrato.
Ma è un problema astratto, non bisogna andare a verificare nulla concretamente.
Sto dicendo che se la forza di attrazione la modifichiamo come ho detto, in due dimensioni abbiamo che un "corpo" (ma è chiaro che si tratta di un'astrazione dato che si ha a che fare con un oggetti bidimensionale) dentro una corona circolare non subisce alcuna forza di gravitazione da parte della corona, in una dimensione (sempre tenendo presente la modifica della legge di attrazione) un corpo tra due segmenti uguali (che sarebbe poi la sezione di una corona circolare con una linea che passa dal centro) non subisce attrazione da parte dei segmenti, e così via... Non sto dicendo che tutte le forze funzionano così!
Ho solo esposto la regola per modificare come funziona questa forza di attrazione che dovrebbe poi far trovare questa cosa e cioé che il corpo dentro al guscio sferico (con massa distribuita in modo omogeneo) relativo alla dimensione considerata, non subisce alcuna attrazione da parte del guscio perché tutte le forze (attrattive) che esercita il guscio su ogni zona del corpo si annullano tra di loro.
In 1 dimensioni la forza attrattiva lungo la congiungente D sarebbe
$(m_1*m_2)/D^0$
In 2 dimensioni la forza attrattiva lungo la congiungente D sarebbe
$(m_1*m_2)/D^1$
In 3 dimensioni la forza attrattiva lungo la congiungente D sarebbe
$(m_1*m_2)/D^2$
...
La congettura.
In ogni spazio euclideo di dimensione $x$ se un corpo si trova nel guscio sferico (relativo a questa dimensione x) di massa omogenea (distribuita uniformemente) e questo guscio esercita una forza attrattiva $(m_1*m_2)/D^(x-1)$ il guscio non esercita alcuna forza sul corpo perché tutte le forze che esercita (in base a questa legge modificata) si annullano tra loro.
Ma è una congettura, non so se si trova, in una dimensione mi è chiaro che si trova, in tre si trova, io immagino che in ogni dimensione poi si trovi, ma non l'ho dimostrato.
Ma è un problema astratto, non bisogna andare a verificare nulla concretamente.
Prendo atto del chiarimento. Per ora ti saluto, magari ci incontreremo nuovamente su qualche esercizio , chissà . 
Spero solo di essermi riuscito a spiegare, ho visto la traccia di dimostrazione in wikipedia e penso che dovrebbe trovarsi perché alla fine i termini che si semplificano PA e PB nella dimostrazione relativa al guscio (vedi wikipedia) tridimensionale sono al quadrato in tre dimensioni mentre sono al cubo in quattro e così via. Il cono infinitesimo in due dimensioni diventa un triangolo infinitesimo che ha per base un pezzetto di circonferenza che è poi proporzionale a PA (e PB) e non al loro quadrato (come avviene in tre).
In due dimensioni avremmo (dove il guscio spesso dS si riduce ad una circonferenza)
$m_A=sigma * PA * tg(alpha) * dS$
$m_B=sigma * PA * tg(alpha) * dS$
$F_A = (m_P * m_A)/(PA) = (m_P * sigma * PA * tg(alpha) * dS) / (PA) = m_P * sigma * tg(alpha) * dS$
$F_B = (m_P * m_B)/(PB) = (m_P * sigma * PB * tg(alpha) * dS) / (PB) = m_P * sigma * tg(alpha) * dS$
mentre in quattro dimensioni (dove il guscio spesso dS è una ipersuperficie di una ipersfera)
$m_A=sigma * 4/3 * pi * (PA * tg(alpha))^3 * dS$
$m_B=sigma * 4/3 * pi * (PB * tg(alpha))^3 * dS$
$F_A = (m_P * m_A)/(PA^3) = (m_P * sigma * 4/3 * pi * (PA * tg(alpha))^3 * dS) / (PA)^3 = m_P * sigma * 4/3 * pi * (tg(alpha))^3 * dS$
$F_B = (m_P * m_B)/(PB^3) = (m_P * sigma * 4/3 * pi * (PB * tg(alpha))^3 * dS) / (PB)^3 = m_P * sigma * 4/3 * pi * (tg(alpha))^3 * dS$
E così via...
La legge di attrazione la si deve far variare però come ho scritto prima (ho omesso la costante di gravitazione per semplicità).
In due dimensioni avremmo (dove il guscio spesso dS si riduce ad una circonferenza)
$m_A=sigma * PA * tg(alpha) * dS$
$m_B=sigma * PA * tg(alpha) * dS$
$F_A = (m_P * m_A)/(PA) = (m_P * sigma * PA * tg(alpha) * dS) / (PA) = m_P * sigma * tg(alpha) * dS$
$F_B = (m_P * m_B)/(PB) = (m_P * sigma * PB * tg(alpha) * dS) / (PB) = m_P * sigma * tg(alpha) * dS$
mentre in quattro dimensioni (dove il guscio spesso dS è una ipersuperficie di una ipersfera)
$m_A=sigma * 4/3 * pi * (PA * tg(alpha))^3 * dS$
$m_B=sigma * 4/3 * pi * (PB * tg(alpha))^3 * dS$
$F_A = (m_P * m_A)/(PA^3) = (m_P * sigma * 4/3 * pi * (PA * tg(alpha))^3 * dS) / (PA)^3 = m_P * sigma * 4/3 * pi * (tg(alpha))^3 * dS$
$F_B = (m_P * m_B)/(PB^3) = (m_P * sigma * 4/3 * pi * (PB * tg(alpha))^3 * dS) / (PB)^3 = m_P * sigma * 4/3 * pi * (tg(alpha))^3 * dS$
E così via...
La legge di attrazione la si deve far variare però come ho scritto prima (ho omesso la costante di gravitazione per semplicità).
Sì certo, imponendo quella legge di attrazione e svolgendo pedissequamente i calcoli il risultato torna. Ma non vedo una grande utilità, se non nel caso che è oggetto del topic o nel caso del piano. Accontentiamoci di questi.
Ciao ciao.
Ciao ciao.
"Shackle":
Sì certo, imponendo quella legge di attrazione e svolgendo pedissequamente i calcoli il risultato torna. Ma non vedo una grande utilità, se non nel caso che è oggetto del topic o nel caso del piano. Accontentiamoci di questi.
Ciao ciao.
Ma l'avevo scritto dall'inizio che si andava in dimensioni superiori alla terza, è ovvio che cose del genere tante applicazioni pratiche non ce le hanno.
Il fatto che si trovi questa cosa suggerisce anche magari di fare un ragionamento inverso (non matematico 'sta volta, si cerca di risalire alle cause di un effetto in modo analitico).
La forza decresce col quadrato della distanza perché siamo in uno spazio tridimensionale e si trova questa cosa perché è generata da un qualche segnale.
Nel disegno sopra immaginiamo un corpo bidimensionale che emana un segnale circolare nel quale si potrebbe immaginare siano distribuiti uniformemente dei proiettili, se il numero di proiettili che colpiscono il primo corpo grigio che si trova a distanza d è x, il numero di proiettili che colpiscono un corpo che occupa lo stesso spazio (uguale al primo) a distanza 2*d diventa x/2, il numero di proiettili che colpisce un certo corpo è inversamente proporzionale alla distanza. Se ci trovavamo in 3 dimensioni (con segnali non circolari ma sferici) il numero di proiettili che colpiscono il corpo sarebbe stato inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
Il fatto che occhio e croce vari in maniera inversamente proporzionale al quadrato questa forza non è tanto casuale.
Il numero di dimensioni dello spazio magari è legato in qualche modo alla legge di decrescita della forza di attrazione (e tutte le forze che funzionano in modo anagolo).
Immaginando poi i corpi macroscopici formati da tante piccole palline occhio e croce si troverà una cosa del genere: il segnale colpisce un corpo con un'intesità direttamente proporzionale al numero di palline da cui è costituito questo corpo (intuitivamente la massa), ed inversamente proporzionale alla distanza quadrata del corpo dalla sorgente di questo segnale.
In questo senso qua ci saranno tutta una serie di forze che sono imparentate perché si "diffondono" con segnali simili a quello che ho immaginato.
Anche se non si immagina ci siano proiettili ma una sorta di sostanza continua distribuita sulla cresta del segnale ci troviamo, più si allarga e allontana dalla sorgente meno diventa intenso in relazione a questa legge di decrescita (inversamente proporzionale al quadrato della distanza) perché la stessa quantità di sostanza sarà distribuita uniformemente su di una superficie più grande.
Anche i segnali luminosi penso funzionino in modo analogo, se un corpo a forma di palla riesce ad essere colpito da un faretto a distanza d ed è illumintato con un'intesità x, se lo spostiamo a distanza 2*d (senza che ci siano altri corpi avanti perché la luce di un certo tipo si può schermare) sarà illuminato con un'intensità x/4, a distanza 3*d, x/9 e così via... Più lo allontaniamo dal faro, più l'illuminazione diventerà fioca in base a questa legge di decrescita di intensità dell'illuminazione (inversa al quadrato della distanza).
Tutte queste cose son legate da una certa forma di analogia.
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