Forza ed energia magnetica di un cubetto

[R4z0r]

Si consideri un cubetto di materiale diamagnetico con permeabilità relativa $mu_r$, avente massa m e spigolo di lunghezza l, libero di scorrere su un piano orizzontale. Il cubetto è sottoposto a un campo magnetico H diretto orizzontalmente, il cui modulo varia con la posizione x secondo la legge $H(x) = k/(x +1) $ . Si calcoli la forza agente sul cubetto; si assuma, ai fini del calcolo, che il cubetto sia di piccole dimensioni e che il campo H non vari passando dall’aria al materiale.
Ho pensato a due vie per risolverlo:
1) Sfrutto la relazione della magnetizzazione $m = M tau $, utilizzo la relazione per l'energia magnetica $U_m = -mB$ e sapendo che $M= chi_r H$ e $B= mu H$ il gioco è fatto calcolando $F=-m $ \( \bigtriangledown \) $ (B)$
2)Utilizzo la formula $U_m = 1/2 (B)^2 /(mu) tau$ successivamente la relazione $B=mu H$ ed infine $F=- m $ \( \bigtriangledown \) $ (B) $

Come mai nel secondo metodo non ritrovo lo stesso risultato del primo?
La formula dell'energia nel secondo caso non dovrebbe avere validità generale e valere sempre?

[RenzoDF]

Nel secondo caso direi che devi andare a considerare la variazione di energia fra volume occupato da un mezzo con permeabilità $\mu_0$ e volume con mezzo a pearmeabilità $\mu$, ovvero dovresti calcolarti la forza via gradiente di

$\Delta U=U_0-U_d=(\frac{\mu_0 H^2}{2}-\frac{\mu H^2}{2})\tau$

ottenendo (se non erro) per la forza

$F_x=\frac{\mu_0(1-\mu_r)k^2l^3}{(x+1)^3}$

come mi sembra risulti anche con il primo metodo.

[R4z0r]

Grazie mille.