Forza di lorentz in all'interno di un quarto di circonferenza

[Dido34ITA]

Buona sera, qualcuno saprebbe come giustificare il fatto che l'integrale della forza di lorentz sul tratto curvilineo, perchè venga corretto l'esercizio, deve prendere come percorso non il quarto di circonferenza ma la diagonale che congiunge i due punti P' e P"? Grazir mille del tempo

[RenzoDF]

Premesso che non serve nessuna integrazione per determinare le componenti di quella forza in quanto sul tratto di filo che congiunge P'' a P' le componenti saranno semplicemente

$|F_x|=|F_y|=BLi$

qualunque sia la forma di quel filo, non solo per quella particolare della diagonale, lo puoi dimostrare (per esempio) ricordando che per un circuito (chiuso) $C$, percorsa da una corrente $i$, in un campo magnetico uniforme, la forza risulta in ogni caso nulla [nota]Anche se non il momento sulla stessa.[/nota] visto che, essendo il campo uniforme, puoi fattorizzare l'integrale come segue

$\mathbf{F}=i \oint_{ C}^{}\text{d}\mathbf{l}\times \mathbf{B} =i (\oint_{ C}^{}\text{d}\mathbf{l})\times \mathbf{B}=0$

e quindi, immaginando di chiudere il circuito aggiungendo al quarto di circonferenza un ulteriore filo sulla diagonale, avrai che le forze sulle due parti, a parità di verso per la corrente $i$, saranno uguali.

Morale della favola: dati due punti A e B del piano xy, vista l'ortogonalità e l'uniformità del campo, la forza su ogni filo che colleghi A con B, indipendentemente dalla sua forma, sarà uguale e direttamente proporzionale alla distanza $d$ fra gli stessi.