Formula di Binet moto centrale

oleg.fresi
Sto studiando la dimostrazione della formula di Binet per i moti centrali ma non riesco a capire alcui passaggi.
In un moto centrale esprimiamo l'accelerazione di un punto materiale P in componenti polari: la componente trasversa è nulla, mentre quella radiale in modulo vale: $a=(d^2r)/dt^2-r((dTheta)/dt)^2$. Ora eliminiamo la dipendenza dal tempo ricordando che $r^2(dTheta)/dt=L/m$ e calcoliamo $(dr)/t$ e $(d^2r)/dt^2$.
$(dr)/dt=(dr)/(dTheta)(dTheta)/dt=L/(mr^2)(dr)/(dTheta)=-L/m(d(1/r))/(dTheta)$
$(d^2r)/dt^2=d((dr)/dt)/(dTheta)(dTheta)/dt=L/(mr^2)d(-L/m(d(1/r))/(dTheta))/(dTheta)=-l^2/(m^2r^2)(d^2(1/r))/(dTheta^2)$

Quello che non capisco nelle due formule è come sviluppa il $(dr)/t$ e il $(d^2r)/dt^2$.
Potreste aiutarmi a capire per favore?

Risposte
Capitan Harlock1
Che passaggio non ti è chiaro?

Kanal
Trovi la formula di Binet e la sua dimostrazione al paragrafo 2.3.3 di questa dispensa.

oleg.fresi
Non mi è chiaro perchè $(dr)/dt$ diventi $(dr)/(dTheta)(dTheta)/dt$

Kanal
Perchè si considera $r$ funzione composta : $ r(t) = r(theta(t))$ , e quindi si deriva la funzione composta con la “chain rule” .

oleg.fresi
Ok, ora questo è chiaro, poi non capisco come da $L/(mr^2)(dr)/(dTheta)$ si arrivi a $-L/m(d(1/r))/(dTheta)$. In che modo è valutato $(dr)/(dTheta)$?

Kanal
Si ha :

$d/(d\theta) 1/r =-1/r^2 (dr)/(d\theta) $

devi applicare la regola di derivazione del quoziente di due funzioni; a denominatore devi mettere il quadrato $r^2$; al numeratore hai : la derivata del numeratore 1 (che è zero) per il denominatore non derivato, meno la derivata del denominatore per il numeratore non derivato. Insomma, ripeto, il numeratore è la funzione $1$ , il denominatore è la funzione $r(theta)$ : deriva il loro quoziente .

Poi c’è il coefficiente $L/m $ .

Capitan Harlock1
Ma scusa, fai meccanica razionale, e trovi difficile fare derivate?

oleg.fresi
Ancora non faccio meccanica razionale, e la mia difficoltà non sta nel non sapr derivare, ma nel capire a cosa riferisce una notazione. Kanal ha scritto $d/(dTheta)1/r$, quindi in questo passaggio bisogna inegrare anzichè derivare, giusto?

Kanal
"ZfreS":
Ok, ora questo è chiaro, poi non capisco come da $L/(mr^2)(dr)/(dTheta)$ si arrivi a $-L/m(d(1/r))/(dTheta)$. In che modo è valutato $(dr)/(dTheta)$?


diciamo che devi “integrare “, anzi considerare l’operazione inversa della derivazione,per passare da sinistra a destra. si tratta di leggere i due membri di una uguaglianza da da a sn o viceversa. Fai la riprova, derivando rispetto a x la funzione $y =1/x$ . Ma su questi passaggi non devi avere incertezze.

Devi conoscere bene le regole di derivazione

oleg.fresi
Ok ok, non era un'incertezza, era per capire qual operazione era da fare in ordine di lettura del passaggio.

Capitan Harlock1
Era un incertezza eccome, è una derivata elementare pure

oleg.fresi
Ora, per trovare $(d^2r)/(dt^2)$ devo sfruttare ciò che ho ricavato per $(dr)/(dt)$, giusto?

Capitan Harlock1
Ovvio, è la derivata della derivata prima che hai

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