Formula di Binet moto centrale
Sto studiando la dimostrazione della formula di Binet per i moti centrali ma non riesco a capire alcui passaggi.
In un moto centrale esprimiamo l'accelerazione di un punto materiale P in componenti polari: la componente trasversa è nulla, mentre quella radiale in modulo vale: $a=(d^2r)/dt^2-r((dTheta)/dt)^2$. Ora eliminiamo la dipendenza dal tempo ricordando che $r^2(dTheta)/dt=L/m$ e calcoliamo $(dr)/t$ e $(d^2r)/dt^2$.
$(dr)/dt=(dr)/(dTheta)(dTheta)/dt=L/(mr^2)(dr)/(dTheta)=-L/m(d(1/r))/(dTheta)$
$(d^2r)/dt^2=d((dr)/dt)/(dTheta)(dTheta)/dt=L/(mr^2)d(-L/m(d(1/r))/(dTheta))/(dTheta)=-l^2/(m^2r^2)(d^2(1/r))/(dTheta^2)$
Quello che non capisco nelle due formule è come sviluppa il $(dr)/t$ e il $(d^2r)/dt^2$.
Potreste aiutarmi a capire per favore?
In un moto centrale esprimiamo l'accelerazione di un punto materiale P in componenti polari: la componente trasversa è nulla, mentre quella radiale in modulo vale: $a=(d^2r)/dt^2-r((dTheta)/dt)^2$. Ora eliminiamo la dipendenza dal tempo ricordando che $r^2(dTheta)/dt=L/m$ e calcoliamo $(dr)/t$ e $(d^2r)/dt^2$.
$(dr)/dt=(dr)/(dTheta)(dTheta)/dt=L/(mr^2)(dr)/(dTheta)=-L/m(d(1/r))/(dTheta)$
$(d^2r)/dt^2=d((dr)/dt)/(dTheta)(dTheta)/dt=L/(mr^2)d(-L/m(d(1/r))/(dTheta))/(dTheta)=-l^2/(m^2r^2)(d^2(1/r))/(dTheta^2)$
Quello che non capisco nelle due formule è come sviluppa il $(dr)/t$ e il $(d^2r)/dt^2$.
Potreste aiutarmi a capire per favore?
Risposte
Che passaggio non ti è chiaro?
Non mi è chiaro perchè $(dr)/dt$ diventi $(dr)/(dTheta)(dTheta)/dt$
Perchè si considera $r$ funzione composta : $ r(t) = r(theta(t))$ , e quindi si deriva la funzione composta con la “chain rule” .
Ok, ora questo è chiaro, poi non capisco come da $L/(mr^2)(dr)/(dTheta)$ si arrivi a $-L/m(d(1/r))/(dTheta)$. In che modo è valutato $(dr)/(dTheta)$?
Si ha :
$d/(d\theta) 1/r =-1/r^2 (dr)/(d\theta) $
devi applicare la regola di derivazione del quoziente di due funzioni; a denominatore devi mettere il quadrato $r^2$; al numeratore hai : la derivata del numeratore 1 (che è zero) per il denominatore non derivato, meno la derivata del denominatore per il numeratore non derivato. Insomma, ripeto, il numeratore è la funzione $1$ , il denominatore è la funzione $r(theta)$ : deriva il loro quoziente .
Poi c’è il coefficiente $L/m $ .
$d/(d\theta) 1/r =-1/r^2 (dr)/(d\theta) $
devi applicare la regola di derivazione del quoziente di due funzioni; a denominatore devi mettere il quadrato $r^2$; al numeratore hai : la derivata del numeratore 1 (che è zero) per il denominatore non derivato, meno la derivata del denominatore per il numeratore non derivato. Insomma, ripeto, il numeratore è la funzione $1$ , il denominatore è la funzione $r(theta)$ : deriva il loro quoziente .
Poi c’è il coefficiente $L/m $ .
Ma scusa, fai meccanica razionale, e trovi difficile fare derivate?
Ancora non faccio meccanica razionale, e la mia difficoltà non sta nel non sapr derivare, ma nel capire a cosa riferisce una notazione. Kanal ha scritto $d/(dTheta)1/r$, quindi in questo passaggio bisogna inegrare anzichè derivare, giusto?
"ZfreS":
Ok, ora questo è chiaro, poi non capisco come da $L/(mr^2)(dr)/(dTheta)$ si arrivi a $-L/m(d(1/r))/(dTheta)$. In che modo è valutato $(dr)/(dTheta)$?
diciamo che devi “integrare “, anzi considerare l’operazione inversa della derivazione,per passare da sinistra a destra. si tratta di leggere i due membri di una uguaglianza da da a sn o viceversa. Fai la riprova, derivando rispetto a x la funzione $y =1/x$ . Ma su questi passaggi non devi avere incertezze.
Devi conoscere bene le regole di derivazione
Ok ok, non era un'incertezza, era per capire qual operazione era da fare in ordine di lettura del passaggio.
Era un incertezza eccome, è una derivata elementare pure
Ora, per trovare $(d^2r)/(dt^2)$ devo sfruttare ciò che ho ricavato per $(dr)/(dt)$, giusto?
Ovvio, è la derivata della derivata prima che hai
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