Forma Onde
buongiorno, qualcuno mi sa spiegare e dimostrare matematicamente perchè la forma delle onde generate da una sorgente armonica è un coseno? ok che un corpo di moto armonico fa uno spazio s=cos*t, a meno di costanti quali A e w. ma chi mi dice che se io muovo un'estremità di una corda di moto armonico lei (la corda) prende la forma di un coseno? potrebbe per dire disporsi diagonalmente in linea retta, così:
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a/ \__________ e in questo caso il corpo "a" potrebbe sempre muoversi di moto armonico, in quanto lo spazio che percorre è in verticale. la domanda può essere trasformata in: come faccio a essere sicuro che la particella vicina ad "a" subisca un'accelerazione (tirata dalla particella a appunto) che è direttamente proporzionale all'allungamento di un'eventuale molla interposta tra le due? il problema è che bisogna tenere conto sia della forza che a fa su "B", sia della forza che "C" (la particella a destra di b) fa su "B", rallentandola. è una cosa simile al problema dei tre corpi, o forse degli n corpi visto che anche "C" è rallentata dalla presenza di una particella "D" eccetera.
ok che la forma delle onde ricorda a buon senso la funzione coseno, ma ci sarà una spiegazione capace di dimostrare che viene fuori proprio un coseno e perchè non può venire fuori qualcos'altro.
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a/ \__________ e in questo caso il corpo "a" potrebbe sempre muoversi di moto armonico, in quanto lo spazio che percorre è in verticale. la domanda può essere trasformata in: come faccio a essere sicuro che la particella vicina ad "a" subisca un'accelerazione (tirata dalla particella a appunto) che è direttamente proporzionale all'allungamento di un'eventuale molla interposta tra le due? il problema è che bisogna tenere conto sia della forza che a fa su "B", sia della forza che "C" (la particella a destra di b) fa su "B", rallentandola. è una cosa simile al problema dei tre corpi, o forse degli n corpi visto che anche "C" è rallentata dalla presenza di una particella "D" eccetera.
ok che la forma delle onde ricorda a buon senso la funzione coseno, ma ci sarà una spiegazione capace di dimostrare che viene fuori proprio un coseno e perchè non può venire fuori qualcos'altro.
Risposte
La soluzione dell'equazione delle onde in generale non è una sinusoide, dipende dalle condizioni al contorno impostate e dalle condizioni iniziali.
Riguardo alla derivazione dell'equazione per una corda, nel caso di corda continua, si deve tener conto della tensione della corda (per piccoli spostamenti supposta costante, indipendente dallo spostamento del tratto di corda) che, quando questa risulta curvata determina una risultante sul tratto di corda "infinitesimo" in direzione trasversalle alla corda.
Quindi non è come avere delle molle con delle masse collegate, per cui tra l'altro sarebbe lo spostamento trasversale del secondo ordine ad allungare le molle, o lo spostamento longitudinale (cioè lungo l'asse della "corda", o meglio molla), ma è l'inclinazione delle forze che agiscono sulla singola massa e quindi la curvatura della corda e la sua tensione a determinare la forza.
Prova ad immaginare una massa con due funi inestendibili applicati ai lati. Se le funi tirano lungo la stessa direzione in versi opposti la risultante delle forze è nulla, mentre se le funi sono inclinate l'una rispetto all'altra, il che equivale a corda continua curvata, c'è una risultante trasversale.
Riguardo alla derivazione dell'equazione per una corda, nel caso di corda continua, si deve tener conto della tensione della corda (per piccoli spostamenti supposta costante, indipendente dallo spostamento del tratto di corda) che, quando questa risulta curvata determina una risultante sul tratto di corda "infinitesimo" in direzione trasversalle alla corda.
Quindi non è come avere delle molle con delle masse collegate, per cui tra l'altro sarebbe lo spostamento trasversale del secondo ordine ad allungare le molle, o lo spostamento longitudinale (cioè lungo l'asse della "corda", o meglio molla), ma è l'inclinazione delle forze che agiscono sulla singola massa e quindi la curvatura della corda e la sua tensione a determinare la forza.
Prova ad immaginare una massa con due funi inestendibili applicati ai lati. Se le funi tirano lungo la stessa direzione in versi opposti la risultante delle forze è nulla, mentre se le funi sono inclinate l'una rispetto all'altra, il che equivale a corda continua curvata, c'è una risultante trasversale.
grazie per la risposta. mi permane però un dubbio: se una corda è in tensione alzando un estremo di esempio 50 cm non dovrebbe inclinarsi subito tutta diagonalmente, anzichè solo una parte? immaginando di attaccare un filo a un sostegno, tenderlo e poi sollevarne un'estremità, tutto il filo dispone IMMEDIATAMENTE in posizione diagonale no? oppure in un tempo impercettibile prima si alza un pezzo e poi un altro creando un'onda che però non vediamo perchè è troppo piccola? e se è così perchè si alza un pezzo per volta e non tutto insieme come mostra l'esperienza? bisogna forse muovere l'estremo con una velocità elevata per creare la "spezzatura"?
muovendo lentamente un estremo di una corda fissata mi pare si comporti come nella prima situazione rappresentata, mentre tu dici che in realtà si comporta come nella seconda? e perchè allora non vedo partire l'onda in quel caso (ossia muovendo lentamente un cordino fissato a un estremo)?
grazie ancora
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grazie ancora
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Saprai sicuramente che gli infinitesimi hanno un certo ordine, per cui prova a considerare un piccolo tratto della corda genericamente curva, con distribuzione continua di massa e ad applicare i principi della dinamica. Facendo tendere a 0 la lunghezza del tratto si può verificare che sia la forza trasversale alla corda che la massa tendono a 0 con lo stesso ordine e si giunge alla equazione d'onda.
Per maggiore chiarezza ti rimando a queste dispense, in cui sono presenti la figura e i passaggi.
http://www2.de.unifi.it/anum/zecca/ED/Equazioni%20Differenziali.pdf
Potenzialmente la soluzione dell'equazione è una qualsiasi funzione che la soddisfa, inoltre deve soddisfare le condizioni al contorno e i dati iniziali.
Per maggiore chiarezza ti rimando a queste dispense, in cui sono presenti la figura e i passaggi.
http://www2.de.unifi.it/anum/zecca/ED/Equazioni%20Differenziali.pdf
Potenzialmente la soluzione dell'equazione è una qualsiasi funzione che la soddisfa, inoltre deve soddisfare le condizioni al contorno e i dati iniziali.
ti ringrazio ancora una volta per la disponibilità e ti pongo un ultimo quesito volto a capire le onde da un punto di vista più intuitivo: ammesso che io dia ad un primo segmento dell'onda (EF) una velocità trasversale v, è corretto supporre che tale velocità si traferisca a orizzontalmente per mezzo di urti elastici? infatti immaginando di bloccare la sorgente dopo un certo spazio che ha percorso in verticale, la corda tende comunque a continuare il suo moto. muovendosi solleva altra massa (nel disegno alla immediata destra di "e") che però tenderebbe a fermare "e" stesso visto le che è adiacente, a sua volta "e" è sollevato da un'altra massa alla sua sinistra fino a giungere all'estremo "f", che si ferma e non avendo nessun'altra massa alla sua sinistra che lo tira rimane fermo.
altrimenti uno potrebbe anche pensare che dopo una certa velocità iniziale data a EF il sistema passi nella condizione rappresentata nella terza immagine, non essendoci altri motivi per prefeire l'una o l'altra.
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altrimenti uno potrebbe anche pensare che dopo una certa velocità iniziale data a EF il sistema passi nella condizione rappresentata nella terza immagine, non essendoci altri motivi per prefeire l'una o l'altra.
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