Fluttuazione di energia ensemble canonico

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La dimostrazione che il canonico e il microcanonico sono matematicamente equivalenti, si conclude col calcolo dello scarto quadratico medio dell' Hamiltoniana.
Nei miei appunti, per dei calcoli precedenti ciò è uguale a
Scarto=Kb*T*Cv/² . Il tutto si conclude facendo il limite termodinamico per N che diverge in cui otteniamo
N/N²=1/N.
Non capendo la ragion d'essere del N a numeratore, sono andato su wikipedia e nella sezione delle fluttuazioni di energia della pagina "insieme canonico", viene detto che: Scarto=1/Kb*$\beta$ ²*Cv=NKbT²Cv.
Quindi la N deriverebbe da lì, se non fosse che a me quel conto non torna in quanto 1/$\beta$ =Kb*T.
Qualcuno saprebbe dirmi come stanno le cose?

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Mi è venuta una parziale illuminazione. Durante il corso spesso abbiamo ricordato l'ipotesi che l'energia è proporzionale al numero di particelle (in vari sviluppi asintotici) quindi mi viene in mente di pensare che per l'omogeneità dell'operatore derivata, dal momento che il calore specifico a volume costante non è altro che la derivata parziale a volume costante dell'energia rispetto alla temperatura, che il calore specifico sia anch'esso proporzionale al numero di particelle. Può essere questa la spiegazione?