Flusso in una superficie chiusa
Ho un dubbio per quanto riguardo il flusso del campo vettoriale lungo qualsiasi superficie chiusa. Questo è definito in questo modo:
$\int_{S} vec A * d vec S$
Ora, io so che vale questa relazione:
$\int_{S} d vec S= 0 $
cioè che la somma vettoriale delle superfici infinitesime di una superficie chiusa è uguale a 0, in quanto ogni superficie elementare corrisponde ad un' altra con stesso modulo ma verso opposto. Allora il flusso non dovrebbe a sua volta annullarsi? Se consideriamo un esempio semplice, quello in cui il campo non dipende dalla sua posizione lungo la superficie, possiamo tirarlo fuori dall'integrale e in questo rimarrebbe solo la somma dei vettori superficie uguali a 0. Cos'è che mi sfugge?
$\int_{S} vec A * d vec S$
Ora, io so che vale questa relazione:
$\int_{S} d vec S= 0 $
cioè che la somma vettoriale delle superfici infinitesime di una superficie chiusa è uguale a 0, in quanto ogni superficie elementare corrisponde ad un' altra con stesso modulo ma verso opposto. Allora il flusso non dovrebbe a sua volta annullarsi? Se consideriamo un esempio semplice, quello in cui il campo non dipende dalla sua posizione lungo la superficie, possiamo tirarlo fuori dall'integrale e in questo rimarrebbe solo la somma dei vettori superficie uguali a 0. Cos'è che mi sfugge?
Risposte
Penso che ti stia sfuggendo il fatto che nella prima notazione stai integrando uno scalare, nella seconda invece non si capisce bene cosa stai intendendo.
In ogni caso il flusso è appunto definito come un integrale di un prodotto scalare, quindi nell'esempio da te citato hai una cosa del genere, supponendo anche che il campo sia parallelo a $d\vec{S}$ in ogni punto della superficie (è solo per semplicità):
ora $\int_S dS = A(S)$ semplicemente, dove $A(S)$ è l'area della superficie. Un po' più chiaro ora?
In ogni caso il flusso è appunto definito come un integrale di un prodotto scalare, quindi nell'esempio da te citato hai una cosa del genere, supponendo anche che il campo sia parallelo a $d\vec{S}$ in ogni punto della superficie (è solo per semplicità):
$\int_S \vec{F} \cdot d\vec{S}=\int_S FdS= F \int_S dS$
ora $\int_S dS = A(S)$ semplicemente, dove $A(S)$ è l'area della superficie. Un po' più chiaro ora?
La seconda relazione che ho scritto e un integrazione di tutti i vettori superficie orientati che compongono la superficie totale, e la loro somma dovrebbe essere 0.
Riguardando il tuo esempio mi e venuto un altro dubbio: quindi non mi è consentito portare fuori la f dall'integrale e poi solo successivamente fare il prodotto scalare tra la F e l'integrale dei vettori superficie?
Riguardando il tuo esempio mi e venuto un altro dubbio: quindi non mi è consentito portare fuori la f dall'integrale e poi solo successivamente fare il prodotto scalare tra la F e l'integrale dei vettori superficie?
"simi2799":
quindi non mi è consentito portare fuori la f dall'integrale e poi solo successivamente fare il prodotto scalare tra la F e l'integrale dei vettori superficie?
No, proprio per definizione! Devi fare prima il prodotto scalare e poi integrare!
Ok grazie per il chiarimento. Ora cerco di spiegare meglio il ragionamento (ovviamente sbagliato) che faccio e che ho fatto con la domanda.
Prendiamo una superficie chiusa, ad esempio una sfera. Supponiamo che la sfera abbia dei vettori superficie uscenti, quindi dovrebbe essere simile ad una mazza chiodata, se vogliamo.
Consideriamo il flusso elementare che è uguale a $vec A *vec d vec S$.
Ora a causa della simmetria di una sfera, non c'è sempre un vettore $d vec S$ uguale e contrario ad un altro? (come una mazza chiodata). Se consideriamo il campo $ vec A$ costante in ogni punto, ad ogni flusso elementare che otteniamo non dovrebbe esserci un altro di segno opposto? Non otteniamo prodotti scalari che sono a due a due uguali ma contrari di verso?
Prendiamo una superficie chiusa, ad esempio una sfera. Supponiamo che la sfera abbia dei vettori superficie uscenti, quindi dovrebbe essere simile ad una mazza chiodata, se vogliamo.
Consideriamo il flusso elementare che è uguale a $vec A *vec d vec S$.
Ora a causa della simmetria di una sfera, non c'è sempre un vettore $d vec S$ uguale e contrario ad un altro? (come una mazza chiodata). Se consideriamo il campo $ vec A$ costante in ogni punto, ad ogni flusso elementare che otteniamo non dovrebbe esserci un altro di segno opposto? Non otteniamo prodotti scalari che sono a due a due uguali ma contrari di verso?
"simi2799":
Se consideriamo il campo $ vec A$ costante in ogni punto, ad ogni flusso elementare che otteniamo non dovrebbe esserci un altro di segno opposto? Non otteniamo prodotti scalari che sono a due a due uguali ma contrari di verso?
Si! Ma bada bene che il campo $vec(A)$ costante in ogni punto significa che, oltre ad avere lo stesso modulo, ha anche la stessa direzione e verso in ogni punto. Immagina il solito $RR^3$, prendiamo il campo $vec(A)$ costante e verticale e una sfera come superficie gaussiana. In questo caso la situazione è quella che descrivi tu e il flusso di $vec(A)$ attraversola sfera è banalmente nullo ed è anche abbastanza "trivial" (inutile!) calcolarlo.
La cosa importante che vorrei farti capire è che è proprio il prodotto scalare tra $vec(A)$ e $d vec(S)$ che comanda il gioco, in questo caso banale:
il $dvec(S)$ al polo nord della sfera e il campo sono concordi $rarr$ contributo al flusso positivo
il $d vec(S)$ al polo sud e il campo sono discordi $rarr$ contributo al flusso negativo
e quindi,estendendo il ragionamento, per ragioni di simmetria della sfera il flusso totale è nullo.
MA se invece hai la classica carica elettrica dentro la sfera, essa produrrà un campo $vec(E)$ radiale che sarà sempre concorde (discorde) a $d vec(S)$, di conseguenza il "flusso elementare" $vec(E) \cdot d vec(S)$ sarà solo positivo (negativo) così come il flusso totale, che dunque non potrà mai essere nullo.
Grazie mi hai chiarito tutto! Essendomi appena avvicinato al concetto di flusso avevo concepito solamente una sorgente di campo esterna, ma non avevo considerato la possibilità di una sorgente interna.
Prego, mi fa molto piacere essere riuscito ad aiutarti!
Andando più avanti negli studi (immagino di Elettromagnetismo, ma potrei sbagliarmi), scoprirai che la tua intuizione è giusta, in quanto una delle conseguenze del Teorema di Gauss è proprio che una carica elettrica esterna ad una superficie chiusa genera un flusso nullo attraverso tale superficie.
Andando più avanti negli studi (immagino di Elettromagnetismo, ma potrei sbagliarmi), scoprirai che la tua intuizione è giusta, in quanto una delle conseguenze del Teorema di Gauss è proprio che una carica elettrica esterna ad una superficie chiusa genera un flusso nullo attraverso tale superficie.
Ok. Ma vale sempre se il campo e costante lungo la superficie, giusto?
Vale per qualsiasi campo che sia dipendente dal reciproco del quadrato della distanza da un punto interno alla superficie chiusa.
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