Flusso campo gravitazionale
Avrei una domanda, come mai il flusso del campo gravitazionale generato da una massa puntiforme ma esterno a una superficie chiusa è nullo?
Risposte
Ciao Daniele
molto semplicemente per la definizione stessa di flusso ossia:
$ Phi (V) =oint_(S) vec(V)*vec(n) dS $ (1)
dove convenzionalmente $vec(n)$ è la normale alla superficie rivolta verso l'esterno della superficie chiusa.
Per chiarire, se parliamo di flusso come numero totale di linee di campo uscenti da $S$, è chiaro che, se entro la superficie stessa non vi sono sorgenti del campo vettoriale $vec(V)$, il numero totale delle linee di campo entranti è pari a quelle uscenti (in quanto queste poverette da qualche parte devono pur andare non essendoci ne pozzi e ne sorgenti all'interno) e quindi il flusso totale è nullo.
Lo puoi vedere prendendo la (1) e integrandola su una superficie chiusa qualunque (es. un cubo).
Oppure utilizza il TEO della divergenza di Gauss:
$ Phi (V) =oint_(S) vec(V)*vec(n) dS = int_(V) grad * vec(V) dV $
dove V è il volume racchiuso dalla superficie $S$.
Se ti può bastare altrimenti devi passare ad una dimostrazione più analitica.
SSSSC
Bye
molto semplicemente per la definizione stessa di flusso ossia:
$ Phi (V) =oint_(S) vec(V)*vec(n) dS $ (1)
dove convenzionalmente $vec(n)$ è la normale alla superficie rivolta verso l'esterno della superficie chiusa.
Per chiarire, se parliamo di flusso come numero totale di linee di campo uscenti da $S$, è chiaro che, se entro la superficie stessa non vi sono sorgenti del campo vettoriale $vec(V)$, il numero totale delle linee di campo entranti è pari a quelle uscenti (in quanto queste poverette da qualche parte devono pur andare non essendoci ne pozzi e ne sorgenti all'interno) e quindi il flusso totale è nullo.
Lo puoi vedere prendendo la (1) e integrandola su una superficie chiusa qualunque (es. un cubo).
Oppure utilizza il TEO della divergenza di Gauss:
$ Phi (V) =oint_(S) vec(V)*vec(n) dS = int_(V) grad * vec(V) dV $
dove V è il volume racchiuso dalla superficie $S$.
Se ti può bastare altrimenti devi passare ad una dimostrazione più analitica.
SSSSC
Bye
Perche il campo gravitazionale e' una funzione inversamente proporzionale alla distanza.
Quindi quando entra nella superficie piu "vicina" il flusso ha un certo valore/ Quando esce dalla superficie "opposta", il campo si e' ridotta quadraticamente ma la superficie e' aumentata quadraticamente. Quindi il flusso entrante e' pari al flusso uscente. Si dimostra che questo vale su tutta la superficie chiusa.
il nocciolo della questione resta la proporzionailita quadratica inversa del campo. Se un campo non presenta questa caratteristica, il flusso attraverso la superficie non e' necessariamente nullo.
Quindi quando entra nella superficie piu "vicina" il flusso ha un certo valore/ Quando esce dalla superficie "opposta", il campo si e' ridotta quadraticamente ma la superficie e' aumentata quadraticamente. Quindi il flusso entrante e' pari al flusso uscente. Si dimostra che questo vale su tutta la superficie chiusa.
il nocciolo della questione resta la proporzionailita quadratica inversa del campo. Se un campo non presenta questa caratteristica, il flusso attraverso la superficie non e' necessariamente nullo.
Ah, ok ha risposto Scotti allo stesso momento!
Come sempre, alla fine del processo storico (spesso lungo e travagliato) della formazione di una teoria fisica, la teoria conviene scriverla e riassumerla all'incontrario, cioè partendo dalla fine 
L'equazione che descrive il campo gravitazionale newtoniano è l'equazione di Poisson:
$\Delta \varphi =4 \pi G \rho$,
dove $\Delta$ è il laplaciano, $\varphi$ è il potenziale del campo gravitazionale e $\rho$ è la densità di massa.
Poiché per definizione $\vec{g}=-\nabla \varphi$, possiamo scrivere:
$\Delta \varphi =\vec{\nabla} \cdot (\nabla \varphi)=4 \pi G \rho$
e:
$\vec{\nabla} \cdot \vec{g}=-4 \pi G \rho$.
Ora, applicando il teorema di Gauss, otteniamo:
$int_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{g} dV=int_{\partial V} \vec{g} \cdot d\vec{S} =int_{V} -4 \pi G \rho dV=-4\pi G M$
(dove $M$ è la massa contenuta nel volume $V$ il cui contorno è la superficie $\partial V$) ovvero:
$int_{\partial V} \vec{g} \cdot d\vec{S} =-4\pi G M$.
Ora prendiamo il caso semplice della massa puntiforme $M$ e della sfera di raggio $r$ centrata in essa. Dalla precedente avremo:
$-4 \pi r^2 g=-4 \pi G M$
da cui si ricava la legge gravitazionale di Newton:
$g=\frac{G M}{r^2}$.
Abbiamo così rovesciato la Storia
L'equazione che descrive il campo gravitazionale newtoniano è l'equazione di Poisson:
$\Delta \varphi =4 \pi G \rho$,
dove $\Delta$ è il laplaciano, $\varphi$ è il potenziale del campo gravitazionale e $\rho$ è la densità di massa.
Poiché per definizione $\vec{g}=-\nabla \varphi$, possiamo scrivere:
$\Delta \varphi =\vec{\nabla} \cdot (\nabla \varphi)=4 \pi G \rho$
e:
$\vec{\nabla} \cdot \vec{g}=-4 \pi G \rho$.
Ora, applicando il teorema di Gauss, otteniamo:
$int_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{g} dV=int_{\partial V} \vec{g} \cdot d\vec{S} =int_{V} -4 \pi G \rho dV=-4\pi G M$
(dove $M$ è la massa contenuta nel volume $V$ il cui contorno è la superficie $\partial V$) ovvero:
$int_{\partial V} \vec{g} \cdot d\vec{S} =-4\pi G M$.
Ora prendiamo il caso semplice della massa puntiforme $M$ e della sfera di raggio $r$ centrata in essa. Dalla precedente avremo:
$-4 \pi r^2 g=-4 \pi G M$
da cui si ricava la legge gravitazionale di Newton:
$g=\frac{G M}{r^2}$.
Abbiamo così rovesciato la Storia
Quindi discende dalla definizione e intuitivamente non vuol dire nulla?
Una interpretazione intuitiva potrebbe essere questa.
Se il flusso è nullo, si può immaginare che tante linee di forza entrano quante ne escono, e ciò è compatibile con l'assenza di masse all'interno della superficie stessa.
Se il flusso è nullo, si può immaginare che tante linee di forza entrano quante ne escono, e ciò è compatibile con l'assenza di masse all'interno della superficie stessa.
"anonymous_ad4c4b":
Per me non c;e' problema, Arturo. La mia risposta era breve e concisa perche mi interessava solo attrarre l'attenzione sul fatto che il flusso non e' sempre nullo alla superficie esterna, ma solo in caso in cui il campo dipende da $1/r^2$ come per esempio accade con il campo gravitazionale o il campo elettrico.
Saluti
E' che confondevo una superficie chiusa con una limitata.
Anche se mi pare inappropriato aggiungere questo voglio dire che aver ricevuto più risposte mi è stato di aiuto per chiarire il mio problema. Vi ringrazio.
Anche se mi pare inappropriato aggiungere questo voglio dire che aver ricevuto più risposte mi è stato di aiuto per chiarire il mio problema. Vi ringrazio.
Spiego meglio l'arcano.
1) In presenza di un campo come quello gravitazionale $vec(G)$, che dipende dall'inverso del quadrato della distanza, se la carica gravitazionale M è all'interno di una superficie chiusa, ragionando per differenziali, abbiamo
$dPhi(vec(G)) =vec(G) * vec(n) dS = -gM/r^2 ds$
dove $ds$ è la porzione di superficie ortogonale a $vec(G)$, $g$ costante gravitazionale. Possiamo allora esprimere la porzione $ds$ attraverso l'angolo solido visto dalla massa $M$ cioè:
$ds = r^2 domega$
$ dPhi(vec(G)) = -gM/r^2 r^2 domega = -gMdomega$
che integrando per tutto l'angolo solido cioè $4pi$:
$ Phi(vec(G)) = -gM int(domega) = -4pi gM $
quindi il flusso dipende solo dalla massa $M$ contenuta in $S$, che con il teorema della divergenza diventa:
$ grad * vec(G) = -4 pi g rho $ dove $rho$ è la massa per unità di volume.
2) Nel caso la carica gravitazionale $M$ è esterna alla superficie chiusa $S$ il flusso infinitesimo calcolato sull'angolo solido $domega$ risulterà negativo sulla superficie uscente in quanto il campo non è nella stessa direzione della normale, mentre è positivo sulla superficie entrante per il conseguente motivo opposto. Allora questo significa:
$ dPhi_1(vec(G)) + dPhi_2(vec(G)) = +gM/r_1^2 ds_1 -gM/r_2^2 ds_2 $
ma siccome le due superfici $ds_1$ e $ds_2$ sono viste sotto lo stesso angolo solido posso scrivere:
$ dPhi_1(vec(G)) + dPhi_2(vec(G)) = +gM/r_1^2 ds_1 -gM/r_2^2 ds_2= -gM/r_1^2 r_1^2domega +gM/r_2^2 r_2^2 domega $
$ dPhi_1(vec(G)) + dPhi_2(vec(G)) = +gMdomega -gMdomega = 0$
Quindi per una carica gravitazionale esterna ad un superficie chiusa il flusso di $vec(G)$ attraverso la superficie è nullo.
Con questo si può andare a riposare.
Bye
Vorrei approfondire un attimo il legame fra flusso e forma matematica della forza gravitazionale.
Nego l'equazione di Poisson scrivendo:
$\Delta \varphi =4 \pi G \rho+f$,
dove $f$ è una funzione sufficientemente regolare delle coordinate.
Da questa ricavo direttamente (usando $\vec{g}=-\nabla \varphi$):
$\vec{\nabla} \cdot \vec{g}=-4 \pi G \rho - f$.
Ora applico il teorema di Gauss e ricavo:
(1) $\Phi_{\partial V}(\vec{g}) = int_{\partial V} \vec{g} \cdot d\vec{S} =-4\pi G M-\mu_V$,
dove $M$ è la massa contenuta nel volume $V$ e $\mu_V=int_V f dV$ è un numero che dipende da $V$.
Questa è la legge di flusso nel presente caso. Si vede bene subito che:
$\Phi_{\partial V}(\vec{g}) =0 \Rightarrow M = - \frac{\mu_V}{4 \pi G}$,
per cui, in presenza di flusso nullo, la massa contenuta nel volume non è necessariamente nulla.
Ora prendiamo una massa puntiforme $M$ ed una sfera di raggio $r$ centrata in essa. Supponiamo (come è giusto fare) che il campo $\vec{g}$ sia a simmetria radiale ed attrattivo e calcoliamo il flusso usando la (1). Si ottiene:
$-4 \pi r^2 g = -4 \pi G M - \mu_V(r)$,
dove $\mu_V(r)$ dipende da $r$, e:
$g=\frac{G M}{r^2} + \frac{\mu_V(r)}{4 \pi r^2}$.
Da questo risultato di deduce, in conclusione, che, negando Poisson, si nega Newton (come è giusto che sia) (s.e.e.o.)
Nego l'equazione di Poisson scrivendo:
$\Delta \varphi =4 \pi G \rho+f$,
dove $f$ è una funzione sufficientemente regolare delle coordinate.
Da questa ricavo direttamente (usando $\vec{g}=-\nabla \varphi$):
$\vec{\nabla} \cdot \vec{g}=-4 \pi G \rho - f$.
Ora applico il teorema di Gauss e ricavo:
(1) $\Phi_{\partial V}(\vec{g}) = int_{\partial V} \vec{g} \cdot d\vec{S} =-4\pi G M-\mu_V$,
dove $M$ è la massa contenuta nel volume $V$ e $\mu_V=int_V f dV$ è un numero che dipende da $V$.
Questa è la legge di flusso nel presente caso. Si vede bene subito che:
$\Phi_{\partial V}(\vec{g}) =0 \Rightarrow M = - \frac{\mu_V}{4 \pi G}$,
per cui, in presenza di flusso nullo, la massa contenuta nel volume non è necessariamente nulla.
Ora prendiamo una massa puntiforme $M$ ed una sfera di raggio $r$ centrata in essa. Supponiamo (come è giusto fare) che il campo $\vec{g}$ sia a simmetria radiale ed attrattivo e calcoliamo il flusso usando la (1). Si ottiene:
$-4 \pi r^2 g = -4 \pi G M - \mu_V(r)$,
dove $\mu_V(r)$ dipende da $r$, e:
$g=\frac{G M}{r^2} + \frac{\mu_V(r)}{4 \pi r^2}$.
Da questo risultato di deduce, in conclusione, che, negando Poisson, si nega Newton (come è giusto che sia) (s.e.e.o.)
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