Fluidodinamica: domanda sull'equazione di continuità
Ciao, avrei una doamda abbastanza semplice ma che non riesco bene a capire riguardo l'equazione di continuità.
Il libro la espone in modo semplificato: $\int_Sdq=\int_SvdS=v_mS$ e dice che nel caso di fluido ideale $v_mS=\const$ ed è abbastanza intuitiva.
Il professore la propone in forma più generale come $\int_Sdq=\int_S\vecv*\vecndS=v_mS$ dove a parole proiettò v lungo la direzione del versore ortogonale n ed è ok: è un po' come se raddrizzassi il campo v lungo tale direzione e ne calcolassi v*ds però c'è un altro livello di tale formula che mi risulta meno intuitiva, vediamo se riesco ad illustrarlo: non capisco infatti perché se prendessi una sezione obliqua S2 la quantità $v_mS$ rimanga uguale alla quantità per una sezione non obliqua.
Se considero il caso come in figura mi sembra che nel tratto di tubo compreso tra S1 e S2 il campo velocità possa cambiare in intensità, però mentre nella parte superiore la v che fluisce per S2 è molto differente dalla v che fluisce per S1, sulla base (in basso nel disegno) del tubo si nota come v per S1 sia praticamente uguale a v per S2 (le due superfici coincidono quasi come si vede). Quindi come fa a mantenersi uguale quell'integrale?
Sono d'accordo che per S3 invece il flusso sia uguale poiché il campo v che la passa ha avuto modo di cambiare tutto allo stesso modo trovandosi ogni punto di S3 a medesima distanza L da S1, ma in quella obliqua S2 è "investita" dal campo che si trova in un punto L0 sulla base e parte dal campo che è nella posizione L. NOn capisco il perché debba essere costante questa quantità $\int\vecv*\vecndS$, non mi pare in generale possa esserlo.
Il libro la espone in modo semplificato: $\int_Sdq=\int_SvdS=v_mS$ e dice che nel caso di fluido ideale $v_mS=\const$ ed è abbastanza intuitiva.
Il professore la propone in forma più generale come $\int_Sdq=\int_S\vecv*\vecndS=v_mS$ dove a parole proiettò v lungo la direzione del versore ortogonale n ed è ok: è un po' come se raddrizzassi il campo v lungo tale direzione e ne calcolassi v*ds però c'è un altro livello di tale formula che mi risulta meno intuitiva, vediamo se riesco ad illustrarlo: non capisco infatti perché se prendessi una sezione obliqua S2 la quantità $v_mS$ rimanga uguale alla quantità per una sezione non obliqua.
Se considero il caso come in figura mi sembra che nel tratto di tubo compreso tra S1 e S2 il campo velocità possa cambiare in intensità, però mentre nella parte superiore la v che fluisce per S2 è molto differente dalla v che fluisce per S1, sulla base (in basso nel disegno) del tubo si nota come v per S1 sia praticamente uguale a v per S2 (le due superfici coincidono quasi come si vede). Quindi come fa a mantenersi uguale quell'integrale?
Sono d'accordo che per S3 invece il flusso sia uguale poiché il campo v che la passa ha avuto modo di cambiare tutto allo stesso modo trovandosi ogni punto di S3 a medesima distanza L da S1, ma in quella obliqua S2 è "investita" dal campo che si trova in un punto L0 sulla base e parte dal campo che è nella posizione L. NOn capisco il perché debba essere costante questa quantità $\int\vecv*\vecndS$, non mi pare in generale possa esserlo.
Risposte
"mgrau":
Mi sbaglio o una condizione di continuità implica che il campo vettoriale abbia divergenza nulla? E il tuo campo rispetta questa condizione? Non riesco tanto a immaginare una situazione reale.
Ho letto con interesse dato che sono alle prese con lo studio dei fluidi. Anzi, mi scuso con l'intromissione.. ma è davvero interessante quanto avete detto.
C'è però una parte che non torna nella mia mente: effettivamente la divergenza deve essere nulla da definizione. Però se metto la coordinata x lungo il flusso, la y lungo lo spessore del tubo, noto che se avessi un campo di velocità che decresce scendendo lungo la y (tale campo è costante lungo x ma ha derivata non nulla per la componente y da cui dipende) e quindi in teoria la divergenza non è nulla, eppure la costanza della portata (e la legge di continuità) valgono. Non capisco cosa sbaglio nella mia figurazione.
"lozaio":
C'è però una parte che non torna nella mia mente: effettivamente la divergenza deve essere nulla da definizione. Però se metto la coordinata x lungo il flusso, la y lungo lo spessore del tubo, noto che se avessi un campo di velocità che decresce scendendo lungo la y (tale campo è costante lungo x ma ha derivata non nulla per la componente y da cui dipende) e quindi in teoria la divergenza non è nulla, eppure la costanza della portata (e la legge di continuità) valgono. Non capisco cosa sbaglio nella mia figurazione.
Se ho capito bene, sarebbe come il flusso in una autostrada? Tre corsie, una lenta, una così così e una veloce?
In questo caso la derivata della velocità secondo y (la direzione trasversale) non è zero.
Ma la divergenza è zero, perchè entrano le derivate parziali (non le so scrivere con le formule) di $v_x$ secondo x e $v_y$ secondo y, sommate: ma $v_y = 0$ quindi anche la sua derivata rispetto a y; e $v_x$ è costante rispetto a x.
Però non è vero che la continuità implichi divergenza nulla (ho già fatto ammenda): è così solo nel caso di fluido incompressibile, altrimenti ci possono essere zone di accumulo e zone di rarefazione. Per esempio, in un'onda sonora nell'aria.
Sì, fai bene a specificarlo! Nell'ipotesi di incompressibilità. Però avevo letto il discorso e lo davo per chiaro, tranquillo 
. Ma grazio per la nota
Ma certo, che scemo che sono!
Dicevo beh ma se la derivata lungo y è nulla allora anche la divergenza che è la derivata di v lungo y sommata ad altre lo sarà diversa da zero. E invece son un somaro, dovevo scriverlo esplicitamente
, come fai notare derivo nella divergenz la componente y di v rispetto a y, mentre nella derivata rispetto a y derivo la funzione scalare v (cioè il modulo di v). Dovrebbe essere l'errore?
. Ma grazio per la nota"mgrau":
In questo caso la derivata della velocità secondo y (la direzione trasversale) non è zero.
Ma la divergenza è zero, perchè entrano le derivate parziali (non le so scrivere con le formule) di $v_x$ secondo x e $v_y$ secondo y, sommate: ma $v_y = 0$ quindi anche la sua derivata rispetto a y; e $v_x$ è costante rispetto a x
Ma certo, che scemo che sono!
Dicevo beh ma se la derivata lungo y è nulla allora anche la divergenza che è la derivata di v lungo y sommata ad altre lo sarà diversa da zero. E invece son un somaro, dovevo scriverlo esplicitamente
, come fai notare derivo nella divergenz la componente y di v rispetto a y, mentre nella derivata rispetto a y derivo la funzione scalare v (cioè il modulo di v). Dovrebbe essere l'errore?
"lozaio":
Dovrebbe essere l'errore?
Beh, la divergenza è questa...
$"div"F = (∂f_x)/(∂x) +(∂f_y)/(∂y) +(∂f_z)/(∂z) $
"mgrau":
[quote="lozaio"] Dovrebbe essere l'errore?
Beh, la divergenza è questa...
$"div"F = (∂f_x)/(∂x) +(∂f_y)/(∂y) +(∂f_z)/(∂z) $[/quote]
Esatto, mentre la derivata rispetto a y la farei di F (nel nostro caso v) ma scalare (cioè sul modulo di quel campo di cui faccio la divergenza). La divergenza invece la faccio sulle componenti del campo.
Se consideri una regione piccola del campo, in cui puoi pensare di considerare costante la direzione dei vettori (non i moduli) puoi pensare ad un cubo con uno spigolo parallelo alla direzione del campo, e prendere i tre assi paralleli agli spigoli del cubo. In questo modo il campo vettoriale ha una sola componente non nulla, mettiamo x, e la divergenza si riduce ad una sola derivata parziale, la componente x rispetto a x. Il fatto che non sia nulla significa in sostanza che sulle facce del cubo parallele a yz c'è un differente flusso: da una entra di più (o di meno) di quello che esce dall'altra, ossia c'è un inghiottitoio (nel primo caso) o una sorgente (nel secondo) all'interno del cubo.
Sì certo, mi è chiaro grazie.
Il punto è che sbagliavo in realtà perché dicevo se il gradiente non è nullo, allora anche il differenziale non lo sarà. Però il gradiente nella componente y è in questo specifico caso la derivata parziale di tuttav (scalare) e non $v_y$ come la divergenza. Stavo solo dicendo dove era l'errore mio.
Il punto è che sbagliavo in realtà perché dicevo se il gradiente non è nullo, allora anche il differenziale non lo sarà. Però il gradiente nella componente y è in questo specifico caso la derivata parziale di tuttav (scalare) e non $v_y$ come la divergenza. Stavo solo dicendo dove era l'errore mio.
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