Fluidodinamica: domanda sull'equazione di continuità
Ciao, avrei una doamda abbastanza semplice ma che non riesco bene a capire riguardo l'equazione di continuità.
Il libro la espone in modo semplificato: $\int_Sdq=\int_SvdS=v_mS$ e dice che nel caso di fluido ideale $v_mS=\const$ ed è abbastanza intuitiva.
Il professore la propone in forma più generale come $\int_Sdq=\int_S\vecv*\vecndS=v_mS$ dove a parole proiettò v lungo la direzione del versore ortogonale n ed è ok: è un po' come se raddrizzassi il campo v lungo tale direzione e ne calcolassi v*ds però c'è un altro livello di tale formula che mi risulta meno intuitiva, vediamo se riesco ad illustrarlo: non capisco infatti perché se prendessi una sezione obliqua S2 la quantità $v_mS$ rimanga uguale alla quantità per una sezione non obliqua.
Se considero il caso come in figura mi sembra che nel tratto di tubo compreso tra S1 e S2 il campo velocità possa cambiare in intensità, però mentre nella parte superiore la v che fluisce per S2 è molto differente dalla v che fluisce per S1, sulla base (in basso nel disegno) del tubo si nota come v per S1 sia praticamente uguale a v per S2 (le due superfici coincidono quasi come si vede). Quindi come fa a mantenersi uguale quell'integrale?
Sono d'accordo che per S3 invece il flusso sia uguale poiché il campo v che la passa ha avuto modo di cambiare tutto allo stesso modo trovandosi ogni punto di S3 a medesima distanza L da S1, ma in quella obliqua S2 è "investita" dal campo che si trova in un punto L0 sulla base e parte dal campo che è nella posizione L. NOn capisco il perché debba essere costante questa quantità $\int\vecv*\vecndS$, non mi pare in generale possa esserlo.
Il libro la espone in modo semplificato: $\int_Sdq=\int_SvdS=v_mS$ e dice che nel caso di fluido ideale $v_mS=\const$ ed è abbastanza intuitiva.
Il professore la propone in forma più generale come $\int_Sdq=\int_S\vecv*\vecndS=v_mS$ dove a parole proiettò v lungo la direzione del versore ortogonale n ed è ok: è un po' come se raddrizzassi il campo v lungo tale direzione e ne calcolassi v*ds però c'è un altro livello di tale formula che mi risulta meno intuitiva, vediamo se riesco ad illustrarlo: non capisco infatti perché se prendessi una sezione obliqua S2 la quantità $v_mS$ rimanga uguale alla quantità per una sezione non obliqua.
Se considero il caso come in figura mi sembra che nel tratto di tubo compreso tra S1 e S2 il campo velocità possa cambiare in intensità, però mentre nella parte superiore la v che fluisce per S2 è molto differente dalla v che fluisce per S1, sulla base (in basso nel disegno) del tubo si nota come v per S1 sia praticamente uguale a v per S2 (le due superfici coincidono quasi come si vede). Quindi come fa a mantenersi uguale quell'integrale?
Sono d'accordo che per S3 invece il flusso sia uguale poiché il campo v che la passa ha avuto modo di cambiare tutto allo stesso modo trovandosi ogni punto di S3 a medesima distanza L da S1, ma in quella obliqua S2 è "investita" dal campo che si trova in un punto L0 sulla base e parte dal campo che è nella posizione L. NOn capisco il perché debba essere costante questa quantità $\int\vecv*\vecndS$, non mi pare in generale possa esserlo.
Risposte
Ti faccio un esempio preso da un'altra situazione, che magari ti sembrerà che non c'entri niente.
Prendi un salame, e fai dei tagli perpendicolari all'asse, a distanza di 1mm l'uno dall'altro. Se il salame è lungo 50cm, otterrai 500 fette circolari spesse 1mm
Ora invece taglia lo stesso salame con tagli obliqui (come di fatto si usa col salame). Fai ancora i tagli spostando il coltello lungo l'asse ogni volta di 1mm. Otterrai (salvo gli effetti di bordo) 500 fette, ellittiche, più grandi di quelle di prima. Come mai? Moltiplicazione del salame? No, il fatto è che ora le fette non sono spesse 1mm, ma meno (il fattore di riduzione è $cos theta$, esattamente come il fattore di aumento della superficie delle fette).
Il legame con la tua domanda sta nel fatto che, quando consideri una superficie obliqua, non devi prendere la velocità del fluido, ma la componente normale alla superficie.
Prendi un salame, e fai dei tagli perpendicolari all'asse, a distanza di 1mm l'uno dall'altro. Se il salame è lungo 50cm, otterrai 500 fette circolari spesse 1mm
Ora invece taglia lo stesso salame con tagli obliqui (come di fatto si usa col salame). Fai ancora i tagli spostando il coltello lungo l'asse ogni volta di 1mm. Otterrai (salvo gli effetti di bordo) 500 fette, ellittiche, più grandi di quelle di prima. Come mai? Moltiplicazione del salame? No, il fatto è che ora le fette non sono spesse 1mm, ma meno (il fattore di riduzione è $cos theta$, esattamente come il fattore di aumento della superficie delle fette).
Il legame con la tua domanda sta nel fatto che, quando consideri una superficie obliqua, non devi prendere la velocità del fluido, ma la componente normale alla superficie.
In realtà quello che dici mi torna abbastanza, più che altro quello che non mi torna non è tanto il fatto che v vada "raddrizzato" lungo la normale.
Il punto è che data l'inclinazione della superficie io sto considerando la funzione campo di velocità in punti di applicazione diversi, è come se nella parte superiore lo scostamento tra la superficie S1 e S2 sia molto maggiore che nella parte inferiore, come si vede in figura, infatti, inferiormente S1 è vicina a S2.
Questo vuol dire che quando faccio quell'integrale sto integrando per un campo v (che immagino sia continuo come funzione: quindi punti vicini del dominio punto di applicazione corrispondono a valori di v simili) in punti di applicazione riferiti a punti diversi del tubo, insomma: sulla base del tubo è come se per ogni pezzo infinitesimo di superficie S2 calcolassi il flusso dopo una variazione di campo minima rispetto al calcolo su S1 (S1 coincide quasi con S2 come posizione); mentre sulla cima del tubo quando calcolo il flusso per S2 (poiché mi sono spostato molto rispetto al punto di applicazione del campo rispetto cui calcolo il flusso su S1) il campo è cambiato molto in tale punto di applicazione rispetto a quanto valeva in S1. E questo mi pare renda non valida la continuità, perché inclinando diversamente avrò punti di applicazione diversi dove nella base valgono sempre più o meno lo stesso valore ma sulla cima cambiano molto e questi pesano in modo diverso sui vari integrali.
Il punto è che data l'inclinazione della superficie io sto considerando la funzione campo di velocità in punti di applicazione diversi, è come se nella parte superiore lo scostamento tra la superficie S1 e S2 sia molto maggiore che nella parte inferiore, come si vede in figura, infatti, inferiormente S1 è vicina a S2.
Questo vuol dire che quando faccio quell'integrale sto integrando per un campo v (che immagino sia continuo come funzione: quindi punti vicini del dominio punto di applicazione corrispondono a valori di v simili) in punti di applicazione riferiti a punti diversi del tubo, insomma: sulla base del tubo è come se per ogni pezzo infinitesimo di superficie S2 calcolassi il flusso dopo una variazione di campo minima rispetto al calcolo su S1 (S1 coincide quasi con S2 come posizione); mentre sulla cima del tubo quando calcolo il flusso per S2 (poiché mi sono spostato molto rispetto al punto di applicazione del campo rispetto cui calcolo il flusso su S1) il campo è cambiato molto in tale punto di applicazione rispetto a quanto valeva in S1. E questo mi pare renda non valida la continuità, perché inclinando diversamente avrò punti di applicazione diversi dove nella base valgono sempre più o meno lo stesso valore ma sulla cima cambiano molto e questi pesano in modo diverso sui vari integrali.
Ma perchè pensi che $v$ cambi spostandosi lungo il tubo? Se il tubo è cilindrico e il fluido è incompressibile, $v$ sarà costante, e che ci importa che $S_1$ e $S_2$ siano vicine o lontane?
Quanto al "raddrizzare la velocità", non si raddrizza niente: si prende la componente in quella direzione, ecco tutto. Quella normale contribuisce al flusso, quella tangenziale no.
Quanto al "raddrizzare la velocità", non si raddrizza niente: si prende la componente in quella direzione, ecco tutto. Quella normale contribuisce al flusso, quella tangenziale no.
Forse con un esempio rende meglio il dubbio
Abbiamo un tubo con all'interno un fluido con campo come disegnato, ossia ho un campo che nella posizione corrispondente a S1 ha valori grandi in cima, scendondo nella sezione del tubo esso diminuisce fino a metà altezza. Da metà in giù ha un valore fisso. Supponiamo che nella metà superiore il campo si compoti come segue: esso è una funzione continua e diminuisce nella parte superiore tanto quanto aumenta nella parte inferiore a pari spostqamento lungo L, e supponiamo un caso in cui in corrispondenza della superficie S3 tale campo sarà invertito nella parte superiore, ovverosia avràvalore basso in cima e sarà pari al valore precedente superiore nella metà (lunghezza freccia=intensitàdel vettore).
Poiché la prima frecia in altro deresce nello spostamento a dx tanto quando quella a metà cresce (entrambe linearmente supponiamo), notiamo che nella superficie S2 il campo in alto avrà compiuto uno spostamento lungo L maggiore di quello inferiore quindi sarà cresciuto di più.
Ora, anche se vado a scalarli con il fattore coseno cambia poco: abbiamo che il campo nel tratto superiore in proporzione (essendosi spostato di più il punto di applicazione) è decresciuto di più di quando sia cresciuta la seconda freccetta. Le due frecce sotto la metà non contribuiscono rimanendo sempre costanti per ogni valore di L (asse orizzontale)
[EDIT]
Avevo scritto prima della tua ultima risposta
scusami, tuttavia volevo fare un ragionamento più generale, alla fine v è un campo, lasciamo stare sia di velocità o meno (e quindi, come tale può variare un po'come gli apre essendo una funzione). Quello in figura vale per un campo in generale, e mi sembra la continuità non sia vera in tal caso.
Abbiamo un tubo con all'interno un fluido con campo come disegnato, ossia ho un campo che nella posizione corrispondente a S1 ha valori grandi in cima, scendondo nella sezione del tubo esso diminuisce fino a metà altezza. Da metà in giù ha un valore fisso. Supponiamo che nella metà superiore il campo si compoti come segue: esso è una funzione continua e diminuisce nella parte superiore tanto quanto aumenta nella parte inferiore a pari spostqamento lungo L, e supponiamo un caso in cui in corrispondenza della superficie S3 tale campo sarà invertito nella parte superiore, ovverosia avràvalore basso in cima e sarà pari al valore precedente superiore nella metà (lunghezza freccia=intensitàdel vettore).
Poiché la prima frecia in altro deresce nello spostamento a dx tanto quando quella a metà cresce (entrambe linearmente supponiamo), notiamo che nella superficie S2 il campo in alto avrà compiuto uno spostamento lungo L maggiore di quello inferiore quindi sarà cresciuto di più.
Ora, anche se vado a scalarli con il fattore coseno cambia poco: abbiamo che il campo nel tratto superiore in proporzione (essendosi spostato di più il punto di applicazione) è decresciuto di più di quando sia cresciuta la seconda freccetta. Le due frecce sotto la metà non contribuiscono rimanendo sempre costanti per ogni valore di L (asse orizzontale)
[EDIT]
Avevo scritto prima della tua ultima risposta
scusami, tuttavia volevo fare un ragionamento più generale, alla fine v è un campo, lasciamo stare sia di velocità o meno (e quindi, come tale può variare un po'come gli apre essendo una funzione). Quello in figura vale per un campo in generale, e mi sembra la continuità non sia vera in tal caso.
Mi sbaglio o una condizione di continuità implica che il campo vettoriale abbia divergenza nulla? E il tuo campo rispetta questa condizione? Non riesco tanto a immaginare una situazione reale.
Ok forse ho capito l'errore con questo tuo intervento, in pratica io pensavo che la condizione di continuità valesse per ogni tipo di campo per cui non perdo linee di flusso (il mio in effetti non le perde, varia solo il campo nello spostamento lungo L) e quindi immaginavo un campo come quello che illustravo. Invece mi sembra di capire che tale campo non rispetterebbe la nullità della divergenza.
Fatico un po' ora con gli strumenti che ho, però il prof dice proprio essere solenoidale per valere la continuità. Ma in che modo il mio non è solenoidale? A me sembra esserlo
Fatico un po' ora con gli strumenti che ho, però il prof dice proprio essere solenoidale per valere la continuità. Ma in che modo il mio non è solenoidale? A me sembra esserlo
"alterbi":
Ma in che modo il mio non è solenoidale?
Se calcoli la divergenza, visto che il tuo campo ha componente solo lungo x, basta vedere che la derivata di $v_x$ rispetto a x non è zero
Grazie mille, ho capito in effetti il mio non avrebbe divergenza nulla, non so perché ma pensavo che l'equazione di continuità non valesse solo a casi in cui sparivano le linee di flusso, invece anche nelmio non varrebbe.
Posso chiederti un'ultima cosa a riguardo? Non odiarmi
Stavo immaginando un tubo con una sfera appesa al centro, in tal caso so che al centro della sfera si ha un punto di stagnazione. Dunque il mio campo ha un punto di discontinuità al centro di quella sfera: la velocità nel punto di stagnazione è zero.
Ora se faccio la divergenza ho un po' un problema perché in realtà manco è derivabile (primo problema)
(secondo problema) è vero che non vale la legge di continuità se prendo una sezione S1 prima della sfera e S2 che intercetti la sfera, tuttavia se prendo altre due superfici S3 e S4 dopo la sfera, lì l'equzione torna a valere, dunque dovrei porre delle condizioni sul dominio del campo? Cioè posso dire: l'equazione di continuità non vale globalmente ma daun certo punto in poi sì? O avendo quel problema sulla divergenza non vale mai?
Spero di esser stato chiaro
Posso chiederti un'ultima cosa a riguardo? Non odiarmi
Stavo immaginando un tubo con una sfera appesa al centro, in tal caso so che al centro della sfera si ha un punto di stagnazione. Dunque il mio campo ha un punto di discontinuità al centro di quella sfera: la velocità nel punto di stagnazione è zero.
Ora se faccio la divergenza ho un po' un problema perché in realtà manco è derivabile (primo problema)
(secondo problema) è vero che non vale la legge di continuità se prendo una sezione S1 prima della sfera e S2 che intercetti la sfera, tuttavia se prendo altre due superfici S3 e S4 dopo la sfera, lì l'equzione torna a valere, dunque dovrei porre delle condizioni sul dominio del campo? Cioè posso dire: l'equazione di continuità non vale globalmente ma daun certo punto in poi sì? O avendo quel problema sulla divergenza non vale mai?
Spero di esser stato chiaro
Premetto di sapere poco o nulla di fluidodinamica. Però il tuo caso di una sfera all'interno di un flusso laminare non credo che dia problemi, nel senso che la continuità vale certamente anche lì, visto che comunque non c'è creazione nè sparizione di fluido. Non so che dirti riguardo ai punti singolari, ma penso che per l'appunto si tratta di singoli punti, e forse non è il caso di andare troppo per il sottile; mentre nel tuo caso la divergenza era non nulla su tutto il volume. E guarda che lì c'è effettivamente una creazione e sparizione di linee di flusso: se hai un cubetto in cui, dalla faccia sinistra entra fluido con una certa velocità, dalle pareti laterali non entra o esce niente, e dalla faccia destra esce con velocità minore, beh, non è una sparizione questa?
Bella controbiezione, hai ragione. Lo è! Ci ero cascato con ambo i piedi
Per quando riguarda la sfera, invece, https://it.wikipedia.org/wiki/Punto_di_ristagno a me sembra sparisca proprio per poi ricomparire dietro l'ala. Insomma se ho una discontnuità è bella estesa (un "Pozzo" per la linea di flusso), d'altra parte per definizione la velocità è tangente alla linea di flusso e tale linea sparisce sull'ostacolo: velocità nulla.
Però non sono per nulla convinto di questo XD.
Per quando riguarda la sfera, invece, https://it.wikipedia.org/wiki/Punto_di_ristagno a me sembra sparisca proprio per poi ricomparire dietro l'ala. Insomma se ho una discontnuità è bella estesa (un "Pozzo" per la linea di flusso), d'altra parte per definizione la velocità è tangente alla linea di flusso e tale linea sparisce sull'ostacolo: velocità nulla.
Però non sono per nulla convinto di questo XD.
"alterbi":
Insomma se ho una discontinuità è bella estesa
Sempre ricordando che non ne so niente, però la discontinuità che tu dici "estesa", forse sarà estesa in una o due dimensioni, ma credo comunque che abbia volume nullo, se i competenti in materia mi perdonano l'espressione:D
Ho capito quel che dici forse: alla fine si tratta di una "lamina" di linee di flusso (cioè l'ostacolo "ostacola" 
lungo x e y -una sorta di misura nulla per l'integrale-) avrei una discontinuità solo sul piano quindi, mentre lungo z non avrei problemi, dunque alla fine il contributo 3D volumetrico sarebbe nullo di questo punto di stagnazione. Per questo non crea problemi..
(molto informalmente mi sembra questo quel che volevi farmi capire?)
lungo x e y -una sorta di misura nulla per l'integrale-) avrei una discontinuità solo sul piano quindi, mentre lungo z non avrei problemi, dunque alla fine il contributo 3D volumetrico sarebbe nullo di questo punto di stagnazione. Per questo non crea problemi..(molto informalmente mi sembra questo quel che volevi farmi capire?)
"alterbi":
(molto informalmente mi sembra questo quel che volevi farmi capire?)
Sì
Penso di aver afferrato l'intuizione, grazie molte mgrau!
Sei molto paziente
Sei molto paziente
Ecco sotto spoiler una chiara esposizione dell’equazione di continuità, che esprime la conservazione della massa per un fluido in moto. L’idea è semplice : in un dato intervallo di tempo $Deltat$ , la massa che entra nel volume di controllo meno la massa che esce dallo stesso volume deve essere uguale alla variazione di massa nel volume di controllo.
da notare ciò che dice all’inizio dell’ultima pagina : una regola semplice per scegliere un volume di controllo è di assumere la superficie del volume normale al flusso , laddove è possibile. Comunque :
$dotm = rho(Vcostheta)(A/(costheta) )= rhoV A $ . (fig. 5.9) .
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da notare ciò che dice all’inizio dell’ultima pagina : una regola semplice per scegliere un volume di controllo è di assumere la superficie del volume normale al flusso , laddove è possibile. Comunque :
$dotm = rho(Vcostheta)(A/(costheta) )= rhoV A $ . (fig. 5.9) .
Grazie!
Me li leggo, cercando di capirci qualcosa
Me li leggo, cercando di capirci qualcosa
Rileggendo, mi accorgo di aver dato per scontato che il fluido fosse incompressibile. Ma, se non lo è, certo non è vero che la continuità implica la divergenza zero. Ci possono essere accumuli e rarefazioni, e quindi divergenza non zero anche se la continuità continua naturalmente a valere.
Mi spiace di averti tratto fuori strada.
Mi spiace di averti tratto fuori strada.
La derivata totale della densità é:
${D \rho}/{Dt} = {\partial \rho} / {\partial t} + \vec v * \nabla \rho $
Mentre l'equazione di continuità in forma differenziale dice:
${\partial \rho} / {\partial t} + \nabla * (\rho \vec v) = 0$
ovvero
${\partial \rho} / {\partial t} + \rho \nabla * \vec v + \vec v * \nabla \rho = {D \rho}/{Dt} + \rho \nabla * \vec v = 0$
Quindi la derivata totale della densità è nulla nel caso in cui il campo di moto abbia divergenza nulla ($\nabla * \vec v = 0$). In maniera analoga si ha che per fluidi incompressibili (${D \rho}/{Dt} = 0$) l'equazione di continuità si riduce a $\nabla * \vec v = 0$, cioè la divergenza del campo di velocità è nulla.
${D \rho}/{Dt} = {\partial \rho} / {\partial t} + \vec v * \nabla \rho $
Mentre l'equazione di continuità in forma differenziale dice:
${\partial \rho} / {\partial t} + \nabla * (\rho \vec v) = 0$
ovvero
${\partial \rho} / {\partial t} + \rho \nabla * \vec v + \vec v * \nabla \rho = {D \rho}/{Dt} + \rho \nabla * \vec v = 0$
Quindi la derivata totale della densità è nulla nel caso in cui il campo di moto abbia divergenza nulla ($\nabla * \vec v = 0$). In maniera analoga si ha che per fluidi incompressibili (${D \rho}/{Dt} = 0$) l'equazione di continuità si riduce a $\nabla * \vec v = 0$, cioè la divergenza del campo di velocità è nulla.
"mgrau":
Rileggendo, mi accorgo di aver dato per scontato che il fluido fosse incompressibile. Ma, se non lo è, certo non è vero che la continuità implica la divergenza zero. Ci possono essere accumuli e rarefazioni, e quindi divergenza non zero anche se la continuità continua naturalmente a valere.
Mi spiace di averti tratto fuori strada.
In realtà non mi hai portato fuori strada perché il professore parlava di $\rho\vecv$ (d'altra parte dimensionalmente questo è una massa nel tempo e ci sta che non vari: $M/L^3*L/s*ds$, ove ds=L^2) quindi avevo bene in mente la differenza. Inoltre io volevo capire le cose nel caso generico di un campo vettoriale v a prescindere dalla interpretazione come velocità del fluido.
Si avrebbe infatti $\int_S\rho\vecv*\vecndS=-\(partial)/(partial t)(\int\rhodV)$ per una superficie chiusa: ciò che transita (flusso) a primo membro è uguale a qunta massa varia nel tempo.
Bisognerebbe garantire poi che possa scambiare la derivata col segno di integrale (che non mi è chiarissimo perché valga) e applicare un teorema datomi per buono e che vedrò solo ad analisi 2 diceva il prof (teorema della divergenza) e giungo all'equazione di continuità, con vari passaggi: $(\partial\rho)/(\partialt)+\nabla(\rho\vecv)=0$
A questo punto se incompressibile ovviamente rho non varia nel tempo ed ecco la solenoidalità del campo v di cui parlammo.
Che mi sembra quello che dice anche il gentile Five, grossomodo
Per ricordare il teorema della divergenza , io uso 4 parole imparate a memoria : “ integrale divergenza=flusso vettore” .
Questo vuol dire che , in certe condizioni di regolarità , dato un campo vettoriale $vecv$ e un volume $\tau$ racchiuso da una superficie $S$ , l’integrale della divergenza di $vecv$ esteso al volume $tau$ è uguale al flusso del vettore $vecv$ attraverso la superficie. L’equazione di continuità in forma differenziale si può ricavare anche mediante considerazioni sul cubetto elementare, come di seguito riportato.
Questo vuol dire che , in certe condizioni di regolarità , dato un campo vettoriale $vecv$ e un volume $\tau$ racchiuso da una superficie $S$ , l’integrale della divergenza di $vecv$ esteso al volume $tau$ è uguale al flusso del vettore $vecv$ attraverso la superficie. L’equazione di continuità in forma differenziale si può ricavare anche mediante considerazioni sul cubetto elementare, come di seguito riportato.
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