Fluidi; mercurio in un tubicino
Ciao a tutti.
Posto subito il testo di un problema che mi ha demoralizzato (facendomi capire quanto sia basso il mio Q.I.).
"Un tubicino cilindrico di vetro (aperto a entrambi gli estremi), di sezione $A=1cm^2$ e lunghezza $L=20cm$, viene immerso fino a metà della sua lunghezza in un recipiente contenente mercurio (densità $\delta_(Hg)=1.36*10^4(Kg)/m^3$). Dopo averne chiuso l'estremità superiore, il tubicino viene estratto dal recipiente (mantenendolo sempre verticale) e si nota che durante tale operazione parte del mercurio contenuto nel tubicino fuoriesce. Supponendo che la pressione ($P_0=1atm$) e la temperatura dell'ambiente rimangano costanti per tutta la durata dell'esperimento e che si possa considerare l'aria come un gas perfetto, calcolare l'altezza $h$ della colonnina di mercurio che rimane nel tubicino".
Inizialmente ho pensato a uguagliare la pressione che è presente tra le due facce della superficie di separazione tra il mercurio e l'aria esterna ma subito mi sono reso conto che così non funziona, neanche considerando la pressione della poca aria contenuta nel tubicino sopra il mercurio perché l'altezza della colonna di mercurio dovrebbe essere circa 75 cm (conti a spanne). L'idea è oltremodo scorretta anche perché se ribaltassi il tubicino il mercurio dovrebbe scendere lungo il tubicino (ho provato con dell'acqua e non succede). Ho cercato in vari libri, su internet, su questo forum ma non riesco a trovare l'idea. Cosa sto trascurando? Devo considerare la resistenza al flusso del tubicino (non saprei neanche come metterla in conto)?
Grazie di qualsiasi suggerimento
Posto subito il testo di un problema che mi ha demoralizzato (facendomi capire quanto sia basso il mio Q.I.).
"Un tubicino cilindrico di vetro (aperto a entrambi gli estremi), di sezione $A=1cm^2$ e lunghezza $L=20cm$, viene immerso fino a metà della sua lunghezza in un recipiente contenente mercurio (densità $\delta_(Hg)=1.36*10^4(Kg)/m^3$). Dopo averne chiuso l'estremità superiore, il tubicino viene estratto dal recipiente (mantenendolo sempre verticale) e si nota che durante tale operazione parte del mercurio contenuto nel tubicino fuoriesce. Supponendo che la pressione ($P_0=1atm$) e la temperatura dell'ambiente rimangano costanti per tutta la durata dell'esperimento e che si possa considerare l'aria come un gas perfetto, calcolare l'altezza $h$ della colonnina di mercurio che rimane nel tubicino".
Inizialmente ho pensato a uguagliare la pressione che è presente tra le due facce della superficie di separazione tra il mercurio e l'aria esterna ma subito mi sono reso conto che così non funziona, neanche considerando la pressione della poca aria contenuta nel tubicino sopra il mercurio perché l'altezza della colonna di mercurio dovrebbe essere circa 75 cm (conti a spanne). L'idea è oltremodo scorretta anche perché se ribaltassi il tubicino il mercurio dovrebbe scendere lungo il tubicino (ho provato con dell'acqua e non succede). Ho cercato in vari libri, su internet, su questo forum ma non riesco a trovare l'idea. Cosa sto trascurando? Devo considerare la resistenza al flusso del tubicino (non saprei neanche come metterla in conto)?
Grazie di qualsiasi suggerimento
Risposte
se estrai il tubicino mantenendo la parte inferiore che pesca nel mercurio è si 75,76 cm perchè quella colonnina serve a equilibrare la pressione atmosferica, e 1 atm è proprio 760 mm di mercurio. comunque per la soluzione basta imporre l'uguaglianza delle pressioni sulla bocca inferiore del tubicino, come nei vasi comunicanti
GRAZIE veramente di cuore,
ma non credo di aver compreso. Intendi per caso $P_(Hg)=P_(atm)$, indicando con $P_(Hg)$ la pressione esercitata dalla colonnina di mercurio nel tubicino e con $P_(atm)$ la pressione atmosferica? Non credo che tu mi suggerisca questo perché così non torna di sicuro:
$g\delta_(Hg)h=P_(atm)$
$h=\frac{P_(atm)}{g\delta_(Hg)}=0,7601m$
Se considero l'aria dentro il tubicino e che sta sopra il mercurio (assumo la densità dell'aria $\delta_a=1,225 (Kg)/m^3$:
$g\delta_a(L-h)+g\delta_(Hg)h=P_(atm)$
$h=(P_(atm)-g\delta_aL)/(g(\delta_(Hg)-\delta_a))=0,7593m$
Lo so sono un'idiota puoi scriverlo in maiuscolo.
ma non credo di aver compreso. Intendi per caso $P_(Hg)=P_(atm)$, indicando con $P_(Hg)$ la pressione esercitata dalla colonnina di mercurio nel tubicino e con $P_(atm)$ la pressione atmosferica? Non credo che tu mi suggerisca questo perché così non torna di sicuro:
$g\delta_(Hg)h=P_(atm)$
$h=\frac{P_(atm)}{g\delta_(Hg)}=0,7601m$
Se considero l'aria dentro il tubicino e che sta sopra il mercurio (assumo la densità dell'aria $\delta_a=1,225 (Kg)/m^3$:
$g\delta_a(L-h)+g\delta_(Hg)h=P_(atm)$
$h=(P_(atm)-g\delta_aL)/(g(\delta_(Hg)-\delta_a))=0,7593m$
Lo so sono un'idiota puoi scriverlo in maiuscolo.
Ti scrivo quello che mi viene da pensare ... e quindi prendila così com'è ... 
Il peso del mercurio all'interno del tubicino (con i dati che hai scritto) a me viene $0.272\ Kg$ (sarebbe la massa ma va bene lo stesso ...
)
Ora se tu togli il tubicino senza tappare niente, il mercurio fuoriesce tutto in quanto la pressione sopra il mercurio della bacinella e sopra il mercurio del tubicino è la stessa e quindi il mercurio nel tubicino è soggetto solo al suo peso e quindi "cade" fuori dal tubicino.
Però se tu lo tappi, man mano che il mercurio esce dal tubetto la pressione sopra (cioè nella parte chiusa) diminuisce e quindi non controbilancia più la pressione atmosferica esterna quindi il mercurio nel tubicino inizia a subire una pressione che lo "spinge" verso l'interno; procedendo nell'operazione lo squilibrio fra le due pressioni aumenta mentre diminuisce il peso del mercurio all'interno del tubo; probabilmente ad un certo le due forze si bilanciano ed il mercurio non esce più.
La pressione atmosferica da una parte, dall'altra il peso del mercurio rimasto nel tubo e la pressione residua dell'aria bloccata nel tubicino.
Che ne dici? Potrebbe andare?
Cordialmente, Alex
Il peso del mercurio all'interno del tubicino (con i dati che hai scritto) a me viene $0.272\ Kg$ (sarebbe la massa ma va bene lo stesso ...
)Ora se tu togli il tubicino senza tappare niente, il mercurio fuoriesce tutto in quanto la pressione sopra il mercurio della bacinella e sopra il mercurio del tubicino è la stessa e quindi il mercurio nel tubicino è soggetto solo al suo peso e quindi "cade" fuori dal tubicino.
Però se tu lo tappi, man mano che il mercurio esce dal tubetto la pressione sopra (cioè nella parte chiusa) diminuisce e quindi non controbilancia più la pressione atmosferica esterna quindi il mercurio nel tubicino inizia a subire una pressione che lo "spinge" verso l'interno; procedendo nell'operazione lo squilibrio fra le due pressioni aumenta mentre diminuisce il peso del mercurio all'interno del tubo; probabilmente ad un certo le due forze si bilanciano ed il mercurio non esce più.
La pressione atmosferica da una parte, dall'altra il peso del mercurio rimasto nel tubo e la pressione residua dell'aria bloccata nel tubicino.
Che ne dici? Potrebbe andare?
Cordialmente, Alex
ma scusa ma quanto ti torna, cioè 0.759 m non è quanto ti dovrebbe tornare a intuito?
comunque alex il conto che suggerisci è lo stesso (mi sa)
Grazie per i vostri interventi.
Ci ho pensato tutta la mattina fin qui. Come suggerisce Alex è la pressione dell'aria rimasta nel tubicino a compensare assieme al mercurio la pressione atmosferica. Allora ho pensato così: poiché il testo dice di considerare l'aria come un gas perfetto detta $P_1$ la pressione dell'aria nel tubo al momento in cui tappo la bocca superiore del tubo e $P_2$ la pressione dell'aria nel tubo al nuovo equilibrio, si può ricavare $P_2$ dalla legge di Boyle dato che la temperatura rimane costante;
$P_1V_1=P_2V_2$
dove $V_1$ è il volume occupato dall'aria nel tubo quando tappo e $V_2$ il volume di aria nel tubo all'equilibrio una volta estratto il tubo.
$V_1=AL/2$
$V_2=A(L-h)$
da cui
$P_2=P_1L/(2(L-h)$
A questo punto (indicando con $\delta$ la densità del mercurio:
$\deltagh+P_2=P_0$
$\deltagh+P_1L/(2(L-h))=P_0$
Mi rimane il problema di calcolare $P_1$
Se suppongo $P_1=P_0$ non mi tornano i conti ottengo un $h<0$. Cosa mi sfugge ancora?
Ci ho pensato tutta la mattina fin qui. Come suggerisce Alex è la pressione dell'aria rimasta nel tubicino a compensare assieme al mercurio la pressione atmosferica. Allora ho pensato così: poiché il testo dice di considerare l'aria come un gas perfetto detta $P_1$ la pressione dell'aria nel tubo al momento in cui tappo la bocca superiore del tubo e $P_2$ la pressione dell'aria nel tubo al nuovo equilibrio, si può ricavare $P_2$ dalla legge di Boyle dato che la temperatura rimane costante;
$P_1V_1=P_2V_2$
dove $V_1$ è il volume occupato dall'aria nel tubo quando tappo e $V_2$ il volume di aria nel tubo all'equilibrio una volta estratto il tubo.
$V_1=AL/2$
$V_2=A(L-h)$
da cui
$P_2=P_1L/(2(L-h)$
A questo punto (indicando con $\delta$ la densità del mercurio:
$\deltagh+P_2=P_0$
$\deltagh+P_1L/(2(L-h))=P_0$
Mi rimane il problema di calcolare $P_1$
Se suppongo $P_1=P_0$ non mi tornano i conti ottengo un $h<0$. Cosa mi sfugge ancora?
Mi sembra che la tua formula sia giusta, sei sicuro che i conti li fai bene?
Prendendo un sistema di riferimento con origine la base del tubo e orientato a salire, la pressione necessaria per non fare uscire il mercurio segue la legge
$p=p_a-\rhog*y$
D'altra parte, passato il transitorio, quando il tubo si e svuotato, se l'aria si comporta come un gas perfetto, deve sussistere la relazione:
$p={p_a*V_0}/{V_f}=p_a*{AL}/{2}*{1}/{(L-y)*A}=p_a*{L}/{2}*{1}/{(L-y)}$
Eguagliando
$p_a-\rhog*y=p_a*{L}/{2}*{1}/{(L-y)}$
Da cui l'equazione risolutiva
$2\rhog*y^2-2(p_a+2\rhogL)y+p_aL=0$
In numeri: $P_a=101,300N$, $\rho=13,600{kg}/{m^3}$, $L=0.20m$
$0.267*10^6y^2-0.256*10^6y+0.020*10^6=0$
che risolta da' $y_1=0.87m$ (soluzione evidentemente non accettabile) e $y_2=0.086$ che e' l'altezza della colonna di mercurio cercata (ti ricordo, misurata dall'estremita' aperta, cioe' il liquido scende di 1.4cm rispetto ai 10cm iniziali di altezza).
Fammi sapere come mai a te non torna; mi sa che hai fatto lo stesso ragionamento, ma devi aver sbagliato qualche numerello quando hai risolto l'equazione, forse qualche unita' di misura.
ciao
Prendendo un sistema di riferimento con origine la base del tubo e orientato a salire, la pressione necessaria per non fare uscire il mercurio segue la legge
$p=p_a-\rhog*y$
D'altra parte, passato il transitorio, quando il tubo si e svuotato, se l'aria si comporta come un gas perfetto, deve sussistere la relazione:
$p={p_a*V_0}/{V_f}=p_a*{AL}/{2}*{1}/{(L-y)*A}=p_a*{L}/{2}*{1}/{(L-y)}$
Eguagliando
$p_a-\rhog*y=p_a*{L}/{2}*{1}/{(L-y)}$
Da cui l'equazione risolutiva
$2\rhog*y^2-2(p_a+2\rhogL)y+p_aL=0$
In numeri: $P_a=101,300N$, $\rho=13,600{kg}/{m^3}$, $L=0.20m$
$0.267*10^6y^2-0.256*10^6y+0.020*10^6=0$
che risolta da' $y_1=0.87m$ (soluzione evidentemente non accettabile) e $y_2=0.086$ che e' l'altezza della colonna di mercurio cercata (ti ricordo, misurata dall'estremita' aperta, cioe' il liquido scende di 1.4cm rispetto ai 10cm iniziali di altezza).
Fammi sapere come mai a te non torna; mi sa che hai fatto lo stesso ragionamento, ma devi aver sbagliato qualche numerello quando hai risolto l'equazione, forse qualche unita' di misura.
ciao
Grazie professorkappa.
Ho infatti fatto per ben 3 volte di seguito lo stesso errore (manco il diavolo). Sbagliavo un segno e scrivevo:
$2\deltagh^2-2(dgL-P_0)h+P_0L=0$
(ma si potrà?!!
)
Ringrazio ancora tutti quelli che mi hanno aiutato a risolvere quello per me è stato un rompicapo.
Ho infatti fatto per ben 3 volte di seguito lo stesso errore (manco il diavolo). Sbagliavo un segno e scrivevo:
$2\deltagh^2-2(dgL-P_0)h+P_0L=0$
(ma si potrà?!!
)Ringrazio ancora tutti quelli che mi hanno aiutato a risolvere quello per me è stato un rompicapo.
Ho fatto anche io un errore, ma di trascrizione. Nel passare dalla carta al pc, non ho portato fuori il 2 dal secondo membro in parentesi del termine di primo grado.
$2\rhog⋅y2−2(p_a+\rhogL)y+p_aL=0$
E' un errore di trascrizione: su carta e' corretto, nel senso che i coefficienti numerici della successiva 'equazione sono giusti e pertanto e' riconfermato il risultato $y=8.6cm$
$2\rhog⋅y2−2(p_a+\rhogL)y+p_aL=0$
E' un errore di trascrizione: su carta e' corretto, nel senso che i coefficienti numerici della successiva 'equazione sono giusti e pertanto e' riconfermato il risultato $y=8.6cm$
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