[Fisica1] Corda tesa durante la rotazione
Un corpo di massa $m$ è attaccato all'estremo di una corda e fatto ruotare verticalmente a velocità costante. La lunghezza della corda è $r$. A quale velocità è necessario far ruotare la corda per mantenerla tesa? La corda si rompe quanto la massa si trova nel punto più basso della sua traiettoria: in quale direzione e con quale velocità il corpo inizia a muoversi?
Il testo mi fa partire con qualche perplessità: è possibile che in una situazione simile la massa del corpo si muova di velocità costante? Questo vorrebbe dire che la sua energia potenziale dovrebbe essere costante lungo tutta l'osservazione del moto: via conservazione d'energia meccanica. Nel punto più alto raggiunto dalla massa avrei:
$E_"iniziale" = E_"finale"$
$1/2 m v_"iniziale"^2 = mg(2R) + 1/2 mv^2$
Comunque: per mantenere la corda tesa devo impedire che la velocità nel punto più alto raggiunto dalla massa sia nulla. Scrivo:
$1/2 m v_"iniziale"^2 = m g*2R + 1/2 m v^2$
$v_"iniziale"^2 = g*4R + v^2 > g*4R$
Dunque, sicuramente
$v_"iniziale"^2 > g*4R$
Ora:
la situazione limite sarà nel caso in cui nel punto più alto sia la sola forza peso a mantenere il punto in traiettoria circolare. Cioé, se in generale varrà:
$mg + T = m * a_"centripeta"$
nel caso limite si avrà
$mg = m * a_"centripeta"$
Allora, dato che per quanto scritto sopra
$v^2 = v_"iniziale"^2 - g*4R$
$\rArr g + T = v^2 / R = v_i^2 / R - 4g$
Dunque:
$v_i^2 = 5g * R$, che rispetta la condizione cercata all'inizio.
Mi rimane il dubbio sulla questione iniziale, però...
Risposte
non è vero che la velocità deve essere nulla nel punto più alto. non è sufficiente affinchè la corda rimanga tesa
la forza centripeta è definita come la somma di tutte le forze con componente radiale e il modulo di questa somma è noto è $m v^2/R$. quando si è nel punto più alto della traiettoria si hanno lungo il raggio la tensione del filo e il peso della massa. quindi, affinchè il filo rimanga teso, deve accadere che il modulo della forza centripeta sia almeno uguale al modulo della forza peso
la forza centripeta è definita come la somma di tutte le forze con componente radiale e il modulo di questa somma è noto è $m v^2/R$. quando si è nel punto più alto della traiettoria si hanno lungo il raggio la tensione del filo e il peso della massa. quindi, affinchè il filo rimanga teso, deve accadere che il modulo della forza centripeta sia almeno uguale al modulo della forza peso
"eugeniobene58":
non è vero che la velocità deve essere nulla nel punto più alto. non è sufficiente affinchè la corda rimanga tesa
la forza centripeta è definita come la somma di tutte le forze con componente radiale e il modulo di questa somma è noto è $m v^2/R$. quando si è nel punto più alto della traiettoria si hanno lungo il raggio la tensione del filo e il peso della massa. quindi, affinchè il filo rimanga teso, deve accadere che il modulo della forza centripeta sia almeno uguale al modulo della forza peso
Sono d'accordo. Però non mi sembra ci sia nulla di sbagliato nel mio esercizio, detta così. Più che altro la questione che mi disturba di più è che il testo dell'esercizio mi chieda che la velocità sia costante, quando a me verrebbe da dire che questo non si verifica mai.
ah, se è quello il problema, non ti preoccupare. siamo in un caso ideale di un esercizio. se le condizioni in cui viene fatta quella prova sono di velocità sia costante, la velocità è costante.
già dire che la velocità è costante, anche se si tratta di moto piano è una semplificazione, perchè costante non è...comunque non mi ero accorto che avevi fatto l'operazione che ho detto. avevo letto di velocità nulla, e la cosa non mi piaceva.
già dire che la velocità è costante, anche se si tratta di moto piano è una semplificazione, perchè costante non è...comunque non mi ero accorto che avevi fatto l'operazione che ho detto. avevo letto di velocità nulla, e la cosa non mi piaceva.
"eugeniobene58":
se le condizioni in cui viene fatta quella prova sono di velocità sia costante, la velocità è costante.
Faccio fatica a capire il senso di questa frase. Comunque non è una questione di idealità o no. Sto dicendo che anche idealmente la velocità non può essere costante via conservazione dell'energia. Ma evidentemente interpreto male il testo dell'esercizio.
"giuscri":
Più che altro la questione che mi disturba di più è che il testo dell'esercizio mi chieda che la velocità sia costante, quando a me verrebbe da dire che questo non si verifica mai.
La condizione richiesta ha carattere locale. Se è soddisfatta nel punto più alto della traiettoria, sarà soddisfatta ovunque. Quindi:
$[mv^2/R=mg] rarr [v=sqrt(gR)]$
come è già stato datto. Tipicamente, questo esercizio viene posto nella seguente forma: supponendo la corda in quiete lungo la verticale, quale velocità minima orizzontale è necessario impartire alla massa perchè la corda rimanga tesa nel corso di un giro. E allora, la velocità non può essere considerata costante nemmeno in modulo:
$\{(1/2mv_0^2=1/2mv^2+2mgR),(mv^2/R=mg):} rarr [v_0=sqrt(5gR)]$
Questo non toglie che il problema possa essere formulato anche diversamente. A priori si dice che il corpo si muove lungo una circonferenza verticale a velocità in modulo costante: si tratta di un problema di dinamica inversa. La condizione non cambia. A cambiare è la forza che deve essere trasmessa mediante la fune affinchè il moto sia quello voluto. Ovviamente, conoscendo a priori l'accelerazione, è possibile risalire alla forza utilizzando il secondo principio, senza trascurare il peso s'intende.
@giuscri
Hai implicitamente risolto la versione più comune. Tuttavia, nel corso delle tue argomentazioni, hai fatto un po' di confusione.
"speculor":
Questo non toglie che il problema possa essere formulato anche diversamente. A priori si dice che il corpo si muove su una circonferenza verticale a velocità in modulo costante: si tratta di un problema di dinamica inversa. La condizione non cambia. A cambiare è la forza che deve essere trasmessa mediante la fune affinchè il moto sia quello voluto. Ovviamente, conoscendo a priori l'accelerazione, è possibile risalire alla forza utilizzando il secondo principio, senza trascurare il peso s'intende.
La forza non sarebbe più costante nel tempo però, giusto?
"giuscri":
La forza non sarebbe più costante nel tempo però, giusto?
La tensione della fune non è costante anche nel caso più comune. In ogni modo, solo adesso mi accorgo che, quel problema di dinamica inversa, non può essere soddisfatto mediante una fune. Per il semplice motivo che la tensione non può compiere lavoro:
"giuscri":
$[1/2 m*v_0^2=2mgR+1/2mv_0^2]$
Mi scuso per la svista.
In definitiva, il problema è mal posto. Non resta che risolverlo nel caso comune.
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