[Fisica Matematica] Momento d'inerzia
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio:
prince of persia movie ending
Ho calcolato le coordinate del baricentro con facilità, l'ascissa si ricava per simmetria mentre per l'ordinata ho proceduto così:
$y_g=((m_p x_p)-(m_1 x_1) - (...))/m $ ($p$ sta per "figura piena", dunque ho proceduto per sottrazione).
Il momento d'inerzia, invece, non riesco proprio a calcolarlo: vorrei procedere con gli integrali, ma ho difficoltà quando vado a calcolare il momento d'inerzia dei due triangoli. Credo dunque che ci sia una strada più semplice, senza servirsi degli integrali: potreste indicarmela, per favore?
prince of persia movie ending
Ho calcolato le coordinate del baricentro con facilità, l'ascissa si ricava per simmetria mentre per l'ordinata ho proceduto così:
$y_g=((m_p x_p)-(m_1 x_1) - (...))/m $ ($p$ sta per "figura piena", dunque ho proceduto per sottrazione).
Il momento d'inerzia, invece, non riesco proprio a calcolarlo: vorrei procedere con gli integrali, ma ho difficoltà quando vado a calcolare il momento d'inerzia dei due triangoli. Credo dunque che ci sia una strada più semplice, senza servirsi degli integrali: potreste indicarmela, per favore?
Risposte
Perchè trovi difficile trovare il momento d'inerzia dei triangoli? Fai conto che ruotino intorno al cateto verticale (poi usi H.S.)
Devi integrare $rho int_0^(2a) h(x)x^2dx$ dove $rho$ indica la densità superficiale, e $h(x)$ è l'altezza del triangolo a distanza x, che, nel caso nostro, è $h(x) = a - 1/2x$
Devi integrare $rho int_0^(2a) h(x)x^2dx$ dove $rho$ indica la densità superficiale, e $h(x)$ è l'altezza del triangolo a distanza x, che, nel caso nostro, è $h(x) = a - 1/2x$
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta. Vorrei chiederti se procedendo così sbaglio: calcolo il momento d'inerzia del triangolo in alto a sinistra (non quello già "disegnato", ma quello "ideale", in quanto dopo vado a sottrarre al momento d'inerzia della figura piena tutti i momenti d'inerzia della figura vuota per poi trovare il momento d'inerzia "reale"). Dunque, procedo così:
$ I_x = rho int_ (0) ^ (2a) dx int_ (2a) ^ (-(1/2) x + a) y^2 dy $
in quanto so che, per definizione,
$ I_x = int rho (y^2 + z^2) dydz $
ma in questo caso la figura è piana e quindi $ z $ non c'è.
$ I_x = rho int_ (0) ^ (2a) dx int_ (2a) ^ (-(1/2) x + a) y^2 dy $
in quanto so che, per definizione,
$ I_x = int rho (y^2 + z^2) dydz $
ma in questo caso la figura è piana e quindi $ z $ non c'è.
Francamente, non ho capito:
cos'è il triangolo "ideale"
cos'è quello strano doppio integrale
cos'è il triangolo "ideale"
cos'è quello strano doppio integrale
Scusa, non mi sono espresso bene, il triangolo "ideale" è quello che ho disegnato qui in rosso:
compound formula for ammonia
Mentre il doppio integrale esce dalla definizione di momento d'inerzia:
$ I_x = int_ (B) rho (y^2 + z^2) dB $
compound formula for ammonia
Mentre il doppio integrale esce dalla definizione di momento d'inerzia:
$ I_x = int_ (B) rho (y^2 + z^2) dB $
Non ho capito ancora.
Poi avevo equivocato, pensavo a una rotazione intorno all'asse verticale.
Comunque,
il triangolo alto $a$, largo $2a$ con la base distante $2a$ dall'asse di rotazione x:
l'elemento orizzontale generico del triangolo, di altezza $dx$ è largo $6a - 2x$, e dista $x$ dall'asse. Il suo momento d'inerzia
è $rho x^2 (6a - 2x) dx$, e va integrato per $x$ fra $2a$ e $3a$
Poi avevo equivocato, pensavo a una rotazione intorno all'asse verticale.
Comunque,
il triangolo alto $a$, largo $2a$ con la base distante $2a$ dall'asse di rotazione x:
l'elemento orizzontale generico del triangolo, di altezza $dx$ è largo $6a - 2x$, e dista $x$ dall'asse. Il suo momento d'inerzia
è $rho x^2 (6a - 2x) dx$, e va integrato per $x$ fra $2a$ e $3a$
Più o meno ho capito cosa intendi, ma secondo me abbiamo basi teoriche diverse... il tuo ragionamento è sicuramente corretto, ma a lezione non abbiamo affrontato così il problema :/
Cioè, la definizione che il professore ci ha dato è quella che ho scritto sopra
Cioè, la definizione che il professore ci ha dato è quella che ho scritto sopra
"floyd123":
secondo me abbiamo basi teoriche diverse...
Mah, non saprei... una volta che si sappia che il momento d'inerzia di una massa $m$ a distanza $r$ dall'asse è $mr^2$, non so proprio quali altre basi ci vogliano...
Ecco cosa intendo, vorrei fare una cosa del genere:
Mi arrendo 
Troppo complicato...
Troppo complicato...
Nessun problema, grazie mille comunque 
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