Fisica I - conservazione q. di moto in un sistema con molla
Descrivo qui sotto un sistema un po' particolare:
Un corpo di massa $m = 1.4 kg$ è appoggiato sul una lasta orizzontale di massa $M = 12 kg$ che giace su un piano liscio anch’esso orizzontale. Il corpo di massa m è attaccato ad una fune ideale tesa orizzontale collegata all’altra estremità ad una molla di costante elastica $k = 80 N/m$ per mezzo di una carrucola ideale di massa trascurabile (vedi figura); la molla è vincolata alla lastra ed è tenuta allungata di una quantità $\Deltax = 0.11 m $ per mezzo di un opportuno sistema di bloccaggio del corpo. Tutto il sistema è fermo, e dopo aver sbloccato la molla si mette in movimento. Il corpo di massa m scorre inizialmente su un tratto liscio del piano della lastra, di lunghezza maggiore di $\Deltax$, poi entra in un tratto scabro con coefficiente di attrito dinamico $\mu= 0.13 $(NB durante il moto del corpo, il filo non più teso non crea intralcio). Determinare:
a) il modulo $a_m$ dell’accelerazione del corpo nell’istante in cui l’allungamento della molla è metà di quello iniziale;
b) il modulo ed il verso $V$ della velocità della lastra un istante prima che il corpo entri nel tratto scabro del piano;
c) il modulo $v’$ della velocità del corpo relativamente alla lastra un istante dopo che è entrato nel tratto scabro;
d) la forza$ F’$ (modulo, direzione e verso) relativamente alla lastra complessivamente sentita dal corpo di massa m mentre si trova sul tratto scabro;
e) la lunghezza $L’$ del tratto scabro, sapendo che quando il corpo ne esce la lastra ha una velocità $V_f = 0.02 m/s$.
Il punto A dovrebbe risolversi così:
l'equazione del moto di $m$ è data da
$T = ma_m$ con l'accelerazione $a_m$ misurata rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (SRI) a terra.
Poiché $T = Fel = -kx$
$-kx = ma_m$
Che è la classica equazione differenziale del secondo ordine del moto armonico:
$\ddot x +k/mx = 0$
La soluzione è la solita:
posto $\omega^2 = k/m$
$\{(x(t) = c_1cos(\omegat) + c_2sin(\omegat)),
(x(0) = \Deltax),
(\dotx(0) = v = 0):}$.
Risolvendo si ricava che
$x(t) = \Deltaxcos(\omegat)$
$v(t) = -\omega\Deltaxsin(omegat)$
$a_m(t) = -\omega^2\Deltaxcos(\omegat)$
Attenzione però! La presenza della carrucola ci costringe a cambiare il segno a tutte le quantità se vogliamo restare nel sistema di riferimento con l'asse x orientato verso destra.
$x(t) = -\Deltaxcos(\omegat)$
$v(t) = \omega\Deltaxsin(omegat)$
$a_m(t) = \omega^2\Deltaxcos(\omegat)$
Ponendo $x(t_1) = -(\Deltax)/2$ ricavo l'istante $t_1$ in cui calcolare l'accelerazione. Il "meno" l'ho inserito per il motivo precedente.
$t_1 = 1/\omegaarccos(1/2)$
sostituendo nell'accelerazione si ricava che
$a_m(t_1) = \omega^2(\Deltax)/2$
Per il punto B.
Lungo la direzione X agiscono solo forze interne, quindi la quantità di moto lungo tale direzione dovrebbe conservarsi.
Se però immaginiamo in corpo $m$ partire verso destra con velocità $v(t)$ nulla, essa aumenta nel tempo sino a raggiungere un valore massimo (quando la molla passa per la posizione di equilibrio). Poi manterrà tale valore sino a che non incontrerà il pezzo scabro.
Contemporaneamente il corpo $M$ procede anch'esso con velocità $V(t)$ crescente verso destra sino a raggiungere il valore massimo.
Ciò mi fa intuire che la quantità di moto vari nel tempo. Eppure non mi pare agiscano forze esterne al sistema massa-lastra. Come si spiega tale situazione ? Deve agire per forza una forza esterna, ma quale ? Credo che la responsabilità sia della carrucola, ma non riesco a capire come ciò avvenga
Un corpo di massa $m = 1.4 kg$ è appoggiato sul una lasta orizzontale di massa $M = 12 kg$ che giace su un piano liscio anch’esso orizzontale. Il corpo di massa m è attaccato ad una fune ideale tesa orizzontale collegata all’altra estremità ad una molla di costante elastica $k = 80 N/m$ per mezzo di una carrucola ideale di massa trascurabile (vedi figura); la molla è vincolata alla lastra ed è tenuta allungata di una quantità $\Deltax = 0.11 m $ per mezzo di un opportuno sistema di bloccaggio del corpo. Tutto il sistema è fermo, e dopo aver sbloccato la molla si mette in movimento. Il corpo di massa m scorre inizialmente su un tratto liscio del piano della lastra, di lunghezza maggiore di $\Deltax$, poi entra in un tratto scabro con coefficiente di attrito dinamico $\mu= 0.13 $(NB durante il moto del corpo, il filo non più teso non crea intralcio). Determinare:
a) il modulo $a_m$ dell’accelerazione del corpo nell’istante in cui l’allungamento della molla è metà di quello iniziale;
b) il modulo ed il verso $V$ della velocità della lastra un istante prima che il corpo entri nel tratto scabro del piano;
c) il modulo $v’$ della velocità del corpo relativamente alla lastra un istante dopo che è entrato nel tratto scabro;
d) la forza$ F’$ (modulo, direzione e verso) relativamente alla lastra complessivamente sentita dal corpo di massa m mentre si trova sul tratto scabro;
e) la lunghezza $L’$ del tratto scabro, sapendo che quando il corpo ne esce la lastra ha una velocità $V_f = 0.02 m/s$.
Il punto A dovrebbe risolversi così:
l'equazione del moto di $m$ è data da
$T = ma_m$ con l'accelerazione $a_m$ misurata rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (SRI) a terra.
Poiché $T = Fel = -kx$
$-kx = ma_m$
Che è la classica equazione differenziale del secondo ordine del moto armonico:
$\ddot x +k/mx = 0$
La soluzione è la solita:
posto $\omega^2 = k/m$
$\{(x(t) = c_1cos(\omegat) + c_2sin(\omegat)),
(x(0) = \Deltax),
(\dotx(0) = v = 0):}$.
Risolvendo si ricava che
$x(t) = \Deltaxcos(\omegat)$
$v(t) = -\omega\Deltaxsin(omegat)$
$a_m(t) = -\omega^2\Deltaxcos(\omegat)$
Attenzione però! La presenza della carrucola ci costringe a cambiare il segno a tutte le quantità se vogliamo restare nel sistema di riferimento con l'asse x orientato verso destra.
$x(t) = -\Deltaxcos(\omegat)$
$v(t) = \omega\Deltaxsin(omegat)$
$a_m(t) = \omega^2\Deltaxcos(\omegat)$
Ponendo $x(t_1) = -(\Deltax)/2$ ricavo l'istante $t_1$ in cui calcolare l'accelerazione. Il "meno" l'ho inserito per il motivo precedente.
$t_1 = 1/\omegaarccos(1/2)$
sostituendo nell'accelerazione si ricava che
$a_m(t_1) = \omega^2(\Deltax)/2$
Per il punto B.
Lungo la direzione X agiscono solo forze interne, quindi la quantità di moto lungo tale direzione dovrebbe conservarsi.
Se però immaginiamo in corpo $m$ partire verso destra con velocità $v(t)$ nulla, essa aumenta nel tempo sino a raggiungere un valore massimo (quando la molla passa per la posizione di equilibrio). Poi manterrà tale valore sino a che non incontrerà il pezzo scabro.
Contemporaneamente il corpo $M$ procede anch'esso con velocità $V(t)$ crescente verso destra sino a raggiungere il valore massimo.
Ciò mi fa intuire che la quantità di moto vari nel tempo. Eppure non mi pare agiscano forze esterne al sistema massa-lastra. Come si spiega tale situazione ? Deve agire per forza una forza esterna, ma quale ? Credo che la responsabilità sia della carrucola, ma non riesco a capire come ciò avvenga
Risposte
In assenza di attrito, il modo più sintetico per determinare le forze esterne dirette lungo l'orizzontale che agiscono sul sistema lastra-carrucola è quello di operare un taglio in corrispondenza del tratto superiore della fune a cui è collegato il corpo. Ne risulta un'unica forza esterna orizzontale diretta verso sinistra di intensità $T$.
Questa non l'ho capita. Come può il sistema lastra-carrucola accelerare verso destra se la forza esterna di cui sopra è diretta verso sinistra?
"fender97":
Contemporaneamente il corpo $M$ procede anch'esso con velocità $V(t)$ crescente verso destra sino a raggiungere il valore massimo.
Questa non l'ho capita. Come può il sistema lastra-carrucola accelerare verso destra se la forza esterna di cui sopra è diretta verso sinistra?
Faccio le seguenti considerazioni utilizzando un diagramma di corpo libero per ogni pezzo del sistema:
La tensione della fune accelera il corpo $m$ verso destra.
La molla esercita una forza elastica sulla lastra orientata verso destra.
Essendo la molla estesa esercita una forza di richiamo diretta verso il centro della molla. Tale forza è uguale alle estremità, quindi la lastra è tirata verso destra. Analogamente il corpo $m$ viene tirato verso destra.
Entrambi accelerano verso destra o sbaglio?
La tensione della fune accelera il corpo $m$ verso destra.
La molla esercita una forza elastica sulla lastra orientata verso destra.
Essendo la molla estesa esercita una forza di richiamo diretta verso il centro della molla. Tale forza è uguale alle estremità, quindi la lastra è tirata verso destra. Analogamente il corpo $m$ viene tirato verso destra.
Entrambi accelerano verso destra o sbaglio?
"anonymous_0b37e9":
In assenza di attrito, il modo più sintetico per determinare le forze esterne dirette lungo l'orizzontale che agiscono sul sistema lastra-carrucola è quello di operare un taglio in corrispondenza del tratto superiore della fune a cui è collegato il corpo. Ne risulta un'unica forza esterna orizzontale diretta verso sinistra di intensità $T$.
Ribadisco che le considerazioni di cui sopra sono le più sintetiche in assoluto. Mi viene il dubbio che tu non le abbia lette con la sufficiente attenzione.
"fender97":
La tensione della fune accelera il corpo $m$ verso destra.
Ok. Per quanto riguarda il resto, non ho capito quale sistema stai considerando: solo la lastra, solo la carrucola, solo la molla, il sistema lastra-carrucola etcetera etcetera. Se non sei più che preciso, quasi impossibile comprendere quello che hai scritto.
"fender97":
Entrambi accelerano verso destra o sbaglio?
Sbagli, visto che la quantità di moto totale lungo la direzione orizzontale si conserva. Anche solo intuitivamente dovresti renderti conto che avrebbe dell'assurdo.
Le ho lette ma non mi ci sono ritrovato. Per convincermene ho dovuto costruire il sistema con i Lego e vedere che realmente accadeva come tu dici. Solo in seguito ho capito (forse) quello che tu intendevi.
Si, hai ragione: il modo migliore per capire quali forze agiscono sulla lastra è quello di "tagliare" la fune. Se si sommano tutte le forze agenti sulla lastra si ha
$-T + T - T +F_(el) - F_(el) = -T = MA $
Così è possibile notare che la lastra in effetti accelera verso sinistra.
Quando parlo di "sistema" intendo sempre la totalità degli elementi dotati di massa che compongono la figura, altrimenti specifico di quali parti sto parlando. In ogni caso d'ora in poi specificherò sempre tutto
Così come ho rappresentato la situazione è corretto ?
Si, hai ragione: il modo migliore per capire quali forze agiscono sulla lastra è quello di "tagliare" la fune. Se si sommano tutte le forze agenti sulla lastra si ha
$-T + T - T +F_(el) - F_(el) = -T = MA $
Così è possibile notare che la lastra in effetti accelera verso sinistra.
Quando parlo di "sistema" intendo sempre la totalità degli elementi dotati di massa che compongono la figura, altrimenti specifico di quali parti sto parlando. In ogni caso d'ora in poi specificherò sempre tutto
Così come ho rappresentato la situazione è corretto ?
"fender97":
Se si sommano tutte le forze agenti sulla lastra si ha ...
A rigore non è corretto. Se per lastra intendi il sistema lastra-carrucola, l'unica forza esterna è la tensione della fune nel tratto superiore, quella di cui parlavo nei miei messaggi precedenti per intenderci. Se senti la necessità di rappresentare altre forze, necessariamente interne, significa che stai ulteriormente scomponendo il sistema lastra-carrucola nelle sue parti componenti. Più che lecito per carità, ma bisogna esserne consapevoli. Solo per fare un esempio, se si vogliono determinare le forze esterne che agiscono sulla lastra senza la carrucola:
1. Bisogna staccare la carrucola dalla lastra e applicare nel punto in cui erano vincolati, il centro per intenderci, la reazione vincolare che la prima esercita sulla seconda. A tale scopo, è necessario considerare prima la carrucola. Poiché la carrucola ha massa trascurabile, la somma delle forze che agiscono su di essa deve essere nulla, nonostante sia in fase di accelerazione. Per questo motivo, nel punto in cui la carrucola è vincolata alla lastra, la lastra esercita sulla carrucola una forza diretta verso destra uguale a $2T$. Per il principio di azione e reazione la carrucola esercita sulla lastra una forza diretta verso sinistra della stessa intensità. In definitiva, $2T$ verso sinistra dovuta alla carrucola.
2. Bisogna staccare la molla dalla parete sinistra della lastra e applicare nel punto in cui erano collegate la forza elastica diretta verso destra. In definitiva, $F_e$ verso destra dovuta alla molla.
Poiché $[T=F_e]$, ne risulta una forza complessiva $[T=F_e]$ verso sinistra.
Adesso ci siamo ! Grazie, ho capito. Ho sempre dei dubbi riguardo ai diagrammi di corpo libero in quanto non vengono mai trattati in modo esaustivo a lezione, ma si lasciano all'esercitazione. Non ho un metodo per la loro costruzione e vado piuttosto "a occhio".
Seguendo il tuo procedimento però riesco a trovare un metodo semplice ed efficace. In fin dei conti si tratta di separare tutte le parti del sistema e applicare le reazioni vincolari al posto giusto. L'errore più comune che commetto è quello di non sapere come considerare le parti prive di massa (molle, carrucole) mentre ora ho capito come fare. Ti ringrazio molto per l'aiuto
Seguendo il tuo procedimento però riesco a trovare un metodo semplice ed efficace. In fin dei conti si tratta di separare tutte le parti del sistema e applicare le reazioni vincolari al posto giusto. L'errore più comune che commetto è quello di non sapere come considerare le parti prive di massa (molle, carrucole) mentre ora ho capito come fare. Ti ringrazio molto per l'aiuto
Felice di esserti stato d'aiuto. 
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