Fisica
Ciao...
Come mai nel moto oscillatorio armonico le piccole oscillazioni sono isocrone?
Penso che la risposta sia ovvia, ma non riesco sinceramente ad arrivarci; sò che dipende dal periodo T, cioè il tempo caratteristico che deve trascorrere affinchè il moto si ripeta con regolarità , ma non sò in che modo...
Come mai nel moto oscillatorio armonico le piccole oscillazioni sono isocrone?
Penso che la risposta sia ovvia, ma non riesco sinceramente ad arrivarci; sò che dipende dal periodo T, cioè il tempo caratteristico che deve trascorrere affinchè il moto si ripeta con regolarità , ma non sò in che modo...
Risposte
In realtà non è assolutamente vero che le picole oscillazioni sono isocrone.
Sarebbero isocrone se l'angolo di oscillazione fosse infinitesimo.
Vediamo di essere più chiari:
L'equazione del pendolo risulta essere m*l*t''+m*g*sin(t)=0
dove t indica l'angolo di rotazione del pendolo, l è la lungezza dell'asta o della fune e t'' è la derivata seconda di t rispetto al tempo (l'accelerazione angolare).
Questa equazione è non lineare e non ammette soluzioni in forma chiusa.
Se le oscillazioni sono piccole il seno di t può essere sviluppato in serie di Mac Laurin troncata al primo ordine, quindi sin(t)~t e si ottiene l'equazione linearizzata:
m*l*t''+m*g*t=0
Questa equazione si integra immediatamente a dare t=T0*cos(w*t)+dT0/w*sin(w*t) dove w=sqrt(g/l), T0 è la posizione all'istante iniziale e dT0 la velocità iniziale.
Il periodo di oscillazione T=2*pi/w risulta quindi in PRIMA APPROSSIMAZIONE indipendente dall'ampiezza. Ripeto, si tratta solo di un'approssimazione al prim'ordine.
Sarebbero isocrone se l'angolo di oscillazione fosse infinitesimo.
Vediamo di essere più chiari:
L'equazione del pendolo risulta essere m*l*t''+m*g*sin(t)=0
dove t indica l'angolo di rotazione del pendolo, l è la lungezza dell'asta o della fune e t'' è la derivata seconda di t rispetto al tempo (l'accelerazione angolare).
Questa equazione è non lineare e non ammette soluzioni in forma chiusa.
Se le oscillazioni sono piccole il seno di t può essere sviluppato in serie di Mac Laurin troncata al primo ordine, quindi sin(t)~t e si ottiene l'equazione linearizzata:
m*l*t''+m*g*t=0
Questa equazione si integra immediatamente a dare t=T0*cos(w*t)+dT0/w*sin(w*t) dove w=sqrt(g/l), T0 è la posizione all'istante iniziale e dT0 la velocità iniziale.
Il periodo di oscillazione T=2*pi/w risulta quindi in PRIMA APPROSSIMAZIONE indipendente dall'ampiezza. Ripeto, si tratta solo di un'approssimazione al prim'ordine.
Grande Marco, ottima spiegazione, se permetti aggiungerei un piccolo dettaglio, che non mi fu spiegato all'epoca del corso e che invece è abbstanza significativo...
Stimiamo l'errore compiuto approssimando il sin(theta) con theta:
scriviamo lo sviluppo in serie di taylor di sin(theta) in un intorno di zero, tronacata al terzo termine dello sviluppo:
sin(theta)=theta-(theta^3)/3!+o(theta^3)
o(theta^5) significa che tralasciamo qualcosa che vale ancora meno di theta^3, per theta->0
quindi sin(theta)-theta=-(theta^3)/3!
e theta-sin(theta)=(theta^3)/3!=(theta^3)/6
in questo modo, per un dato angolo possiamo rapidamente stimare l'errore che compiamo, ed in base a ciò anche renderci conto di quante cifre significative considerare nelle soluzioni in cui sia stata applicata l'approx delle piccole oscillazioni....
Stimiamo l'errore compiuto approssimando il sin(theta) con theta:
scriviamo lo sviluppo in serie di taylor di sin(theta) in un intorno di zero, tronacata al terzo termine dello sviluppo:
sin(theta)=theta-(theta^3)/3!+o(theta^3)
o(theta^5) significa che tralasciamo qualcosa che vale ancora meno di theta^3, per theta->0
quindi sin(theta)-theta=-(theta^3)/3!
e theta-sin(theta)=(theta^3)/3!=(theta^3)/6
in questo modo, per un dato angolo possiamo rapidamente stimare l'errore che compiamo, ed in base a ciò anche renderci conto di quante cifre significative considerare nelle soluzioni in cui sia stata applicata l'approx delle piccole oscillazioni....
In particolare considerare l'angolo al posto del suo seno è compiere una maggiorazione rispetto al valore del seno dell'angolo, infatti si vede bene anche graficamente che
theta-sin(theta) è positiva per theta>0 e così pure (theta^3)/6
in realtà poichè trascuriamo infinitesimi di ordine superiore al terzo (theta^3)/3 è una sottostima dell'errore, sopratutto per theta un po lontani dallo zero, ma è comoda perchè appunto ci permette di evitare di calcolare il seno...
theta-sin(theta) è positiva per theta>0 e così pure (theta^3)/6
in realtà poichè trascuriamo infinitesimi di ordine superiore al terzo (theta^3)/3 è una sottostima dell'errore, sopratutto per theta un po lontani dallo zero, ma è comoda perchè appunto ci permette di evitare di calcolare il seno...
Però se noi consideriamo una molla, con proprietà elastiche identiche sia in compressione che in trazione, ed assenza di fenomeni dissipativi, allora in questo caso veramente le sue oscillazioni sono isocrone, perchè l'equazione del fenomeno "nasce" lineare e lineare rimane...
e T=2*pi/sqrt(k) dove k è la costante della molla.
e T=2*pi/sqrt(k) dove k è la costante della molla.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo