Fisica 2 - esercizio
Salve a tutti. Ecco un nuovo quesito al quale non so come risolverlo. Ringrazio coloro che mi aiuteranno
Un cilindro avente lunghezza praticamente infinita e raggio R=10cm, costituito da materiale isolante, è caricato con una densità volumica di carica elettrica, non uniforme, pari a $ rho=k*r^2 $ , con $ k=2*10^-5C/m^5 $ ed una distanza generica r dall’asse del cilindro, nel piano perpendicolare all’asse stesso.
$ (ε_0=8.854⋅10^(−12)C^2/(Nm^2)) $
1. La carica elettrica totale del cilindro, per unità di lunghezza, è pari a:
2. Il modulo del campo elettrostatico E all'interno del cilindro, ad una distanza generica r (r
4. La differenza di potenziale fra due punti A e B distanti 15 cm e 30 cm rispettivamente dall'asse del cilindro è:
A seguire il mio procedimento
1)La carica totale del cilindro è:
$ Q_(TOT)=int_(0)^(R) rho 2pirdr=2pikint_(0)^(R)r^3dr=2pik[r^4/4]_0^R=pikR^4/2 $
2) IL modulo del campo elettrostatico all'interno del cilindro è:
$ E(r)=Q_i/(4piepsilon_0*r^2)=>E(r)=(pikr^4/2)/(4piepsilon_0*r^2)=(k*r^2)/(2epsilon_0) $
3) $ E(r)=Q_(TOT)/(4piepsilon_0*R^2)=>E(3R)=(pik(3R^4)/2)/(4piepsilon_0*R^2)=(k*9R^2)/(2epsilon_0) $
4) La differenza di potenziale è:
$ V(A)-V(B)=int_(A)^(B) E(r) dr=[-Q_(TOT)/(4piepsilon_0r)]_A^B=Q_(TOT)/(4piepsilon_0)*[1/A-1/B] $
Un cilindro avente lunghezza praticamente infinita e raggio R=10cm, costituito da materiale isolante, è caricato con una densità volumica di carica elettrica, non uniforme, pari a $ rho=k*r^2 $ , con $ k=2*10^-5C/m^5 $ ed una distanza generica r dall’asse del cilindro, nel piano perpendicolare all’asse stesso.
$ (ε_0=8.854⋅10^(−12)C^2/(Nm^2)) $
1. La carica elettrica totale del cilindro, per unità di lunghezza, è pari a:
2. Il modulo del campo elettrostatico E all'interno del cilindro, ad una distanza generica r (r
4. La differenza di potenziale fra due punti A e B distanti 15 cm e 30 cm rispettivamente dall'asse del cilindro è:
A seguire il mio procedimento
1)La carica totale del cilindro è:
$ Q_(TOT)=int_(0)^(R) rho 2pirdr=2pikint_(0)^(R)r^3dr=2pik[r^4/4]_0^R=pikR^4/2 $
2) IL modulo del campo elettrostatico all'interno del cilindro è:
$ E(r)=Q_i/(4piepsilon_0*r^2)=>E(r)=(pikr^4/2)/(4piepsilon_0*r^2)=(k*r^2)/(2epsilon_0) $
3) $ E(r)=Q_(TOT)/(4piepsilon_0*R^2)=>E(3R)=(pik(3R^4)/2)/(4piepsilon_0*R^2)=(k*9R^2)/(2epsilon_0) $
4) La differenza di potenziale è:
$ V(A)-V(B)=int_(A)^(B) E(r) dr=[-Q_(TOT)/(4piepsilon_0r)]_A^B=Q_(TOT)/(4piepsilon_0)*[1/A-1/B] $
Risposte
Il punto 1) e' ok, pero abituati a mettere le unita' di misura anche quando non e' richiesto, perche' a volte le unita' di misura ti aiutano a fare un doppio controllo sui calcoli.
$\pi k R^4/2 [C/m]$
Riesci a giustificare perche' ho scritto Coulomb al metro ?
Infatti mi sembra che tu non abbia capito bene che in questo esercizio bisogna ragionare per unita' lineare di quel cilindro.
Non e' il solito esercizio con la sfera.
Nel punto 2) la formula e' concettualmente sbagliata e quindi anche nel 3) e nel 4).
Il cilindro e' infinito, quindi non puoi misurarne il volume o la superficie esterna. Devi fare sempre i calcoli per unita' lineare, ovvero "al metro".
$\pi k R^4/2 [C/m]$
Riesci a giustificare perche' ho scritto Coulomb al metro ?
Infatti mi sembra che tu non abbia capito bene che in questo esercizio bisogna ragionare per unita' lineare di quel cilindro.
Non e' il solito esercizio con la sfera.
Nel punto 2) la formula e' concettualmente sbagliata e quindi anche nel 3) e nel 4).
Il cilindro e' infinito, quindi non puoi misurarne il volume o la superficie esterna. Devi fare sempre i calcoli per unita' lineare, ovvero "al metro".
Per il punto 1, $ C/m^5*m^4 = C/m $
Per il punto 2, si utilizza il teorema di Gauss $ oint_()vec(E)*dvec(s)=Q_(INT)/epsilon_0 $
$ int_()E(r)*ds=E(R)*2piR^2=Q_(INT)/epsilon_0 $
$ Q_(INT)=int_(0)^(R) rho 2pir^2 dr=2pikint_(0)^(R)r^3dr=2pik[r^4/4]_0^R=pikR^4/2 $
IL modulo del campo elettrostatico all'interno del cilindro è:
$ E(R)=Q_i/(4piepsilon_0*R^2)=>E(R)=(pikr^4/2)/(4piepsilon_0*R^2)=(k*R^2)/(2epsilon_0) $
Per il punto 2, si utilizza il teorema di Gauss $ oint_()vec(E)*dvec(s)=Q_(INT)/epsilon_0 $
$ int_()E(r)*ds=E(R)*2piR^2=Q_(INT)/epsilon_0 $
$ Q_(INT)=int_(0)^(R) rho 2pir^2 dr=2pikint_(0)^(R)r^3dr=2pik[r^4/4]_0^R=pikR^4/2 $
IL modulo del campo elettrostatico all'interno del cilindro è:
$ E(R)=Q_i/(4piepsilon_0*R^2)=>E(R)=(pikr^4/2)/(4piepsilon_0*R^2)=(k*R^2)/(2epsilon_0) $
Per il punto 3
$ Q_(INT)=int_(0)^(3R) rho 2pir dr=2pikint_(0)^(R)r^3dr=2pik[r^4/4]_0^R=pik(3R)^4/2 $
$ E(3R)=Q_i/(4piepsilon_0*R^2)=>E(3R)=(pik3R^4/2)/(4piepsilon_0*R^2)=(k*R^2)/(2epsilon_0= (k*9R^2)/(2epsilon_0) $
Per il punto 4
$ V(A)-V(B)=int_(A)^(B) E(r) dr=[-Q_(INT)/(4piepsilon_0r)]_A^B=Q_(INT)/(4piepsilon_0)*[1/A-1/B] $
$ Q_(INT)=int_(0)^(3R) rho 2pir dr=2pikint_(0)^(R)r^3dr=2pik[r^4/4]_0^R=pik(3R)^4/2 $
$ E(3R)=Q_i/(4piepsilon_0*R^2)=>E(3R)=(pik3R^4/2)/(4piepsilon_0*R^2)=(k*R^2)/(2epsilon_0= (k*9R^2)/(2epsilon_0) $
Per il punto 4
$ V(A)-V(B)=int_(A)^(B) E(r) dr=[-Q_(INT)/(4piepsilon_0r)]_A^B=Q_(INT)/(4piepsilon_0)*[1/A-1/B] $
Per calcolare la carica di un metro lineare di cilindro si procede dividendo il cilindro in strati coassiali.
In parole povere, lo si divide in tanti "tubetti" coassiali.
La carica di uno strato e': densita' x lunghezza_circonferenza_dello_strato x spessore_strato
Dovremmo anche moltiplicare per la lunghezza dello strato, ma stiamo sempre ragionando per metro lineare.
In formule: $2\pi r \rho \Delta r$
E poi vanno sommati tutti gli strati per trovare la carica totale. Il $\Delta r $ diventa il $dr$ dell'integrale.
Qui $x$ e' la distanza dal centro.
$Q(x) = \int_0^x 2\pi r \rho dr = 2\pi k \int_0^x r^3 dr = 1/2 \pi k x^4 [C/m]$
La tua risposta andava bene, ma non ho capito se e' stata questione di fortuna, perche' il primo passaggio era sbagliato.
Il campo elettrico a distanza $x$ dal centro e': carica_totale / superficie.
Qui attento la superficie e' sempre quella dello strato esterno del cilindro (sempre ragionando al metro lineare ).
$E(x) = {Q(x)} / {\epsilon_0 2 \pi x} = 1/{4 \epsilon_0} k x^3 [V/m]$
In parole povere, lo si divide in tanti "tubetti" coassiali.
La carica di uno strato e': densita' x lunghezza_circonferenza_dello_strato x spessore_strato
Dovremmo anche moltiplicare per la lunghezza dello strato, ma stiamo sempre ragionando per metro lineare.
In formule: $2\pi r \rho \Delta r$
E poi vanno sommati tutti gli strati per trovare la carica totale. Il $\Delta r $ diventa il $dr$ dell'integrale.
Qui $x$ e' la distanza dal centro.
$Q(x) = \int_0^x 2\pi r \rho dr = 2\pi k \int_0^x r^3 dr = 1/2 \pi k x^4 [C/m]$
La tua risposta andava bene, ma non ho capito se e' stata questione di fortuna, perche' il primo passaggio era sbagliato.
Il campo elettrico a distanza $x$ dal centro e': carica_totale / superficie.
Qui attento la superficie e' sempre quella dello strato esterno del cilindro (sempre ragionando al metro lineare ).
$E(x) = {Q(x)} / {\epsilon_0 2 \pi x} = 1/{4 \epsilon_0} k x^3 [V/m]$
"Quinzio":
La tua risposta andava bene, ma non ho capito se e' stata questione di fortuna, perche' il primo passaggio era sbagliato.
Non so perchè ma avevo saltato una componente
Ringrazio tutti quanti per avermi aiuto, siete stati preziosi sono riuscito a capire l'esercizio
QUindi per i successivi punti vanno bene?
"giacomovicinanza":
IL modulo del campo elettrostatico all'interno del cilindro è:
$ E(R)=Q_i/(4piepsilon_0*R^2)=>E(R)=(pikr^4/2)/(4piepsilon_0*R^2)=(k*R^2)/(2epsilon_0) $
Questa non va bene.
Il $4\pi r^2$ che c'e' al denominatore e' la formula della superficie della sfera, ma tu non hai una sfera, hai un cilindro (di lunghezza infinita). E' chiaro ?
"Quinzio":
$E(x) = {Q(x)} / {\epsilon_0 2 \pi x} = 1/{4 \epsilon_0} k x^3 [V/m]$
Sisi mi è chiaro
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