Fisica 2 - esercitazione

[giacomovicinanza]

Salve a tutti. Ho alcune perplessità riguardanti questi quesiti. Ringrazio coloro che mi aiuteranno

Una sfera piena realizzata con materiale isolante, di raggio interno R=15cm possiede una carica positiva totale $ Q=4.72⋅10^(-6)C $ distribuita in tutto il suo volume in modo non uniforme secondo la relazione $ ρ(r)=ρ_0(1−r/R) $ , dove ρ(r) è la densità di carica volumica che dipende dalla distanza r di un punto generico dal centro della sfera.
( $ ε_0=8.854⋅10^(−12)C^2/(Nm^2) $ )

1. Il valore di $p_0$ è:
a. $1.14*10^(-16)C/m^3$
b. $10^(-5)C/m^3$
c. $1.34*10^(-6)C/m^3$
d. $3.8*10^(-5)C/m^3$

2. Il rapporto tra il modulo del campo elettrostatico in $R/2$ e 2R vale:
a. $0.054 *10^5 N/C$
b. $1.8 *10^1 N/C$
c. $6 * 10^-11 N/C$
d. $27 N/C$

3. La differenza di potenziale tra un punto a distanza 2R ed un punto a distanza 3R dal centro della sfera vale:
a. $−2.32⋅10^(-5)V$
b. $28.3*10^3 V$
c. 586V
d. $5.9 * 10^4 V$

4. Il lavoro svolto dalle forze elettriche per portare una carica q=1nC da 4R all’infinito vale:
a. −4.24J
b. $−2.28⋅10^(−5)J$
c. $2.28⋅10^5J$
d. $4.24⋅10^(−5)J$

A seguire il mio ragionamento:
1. $ Q=int_0^Rp(r)*4pir^2dr=int_0^Rp_0(1-r/R)4pir^2dr=p_0*1/R*4piint_0^Rr^3dr=po4pi*1/R*[r^4/4]_0^R=p_0*1/R*4pi*R^4/4=p_0*pi*R^3$
$ p_0=Q/(pi*R^3)=(4.72⋅10^(-6)C)/(pi*(0,15 m)^3) $
2. IL modulo del campo elettrostatico E a distanza $R/2$ da centro della sfera
$ Q_(INT)=int_0^(R/2)p(r)4pir^2*dr=int_0^(R/2)p_0(1-r/R)4pir^2*dr=p_0*1/R*4piint_0^Rr^3dr=po4pi*1/R*[r^4/4]_0^(R/2)=p_0*1/R*4pi*(R/2)^4/4 $
$ E(r)=Q_(INT)/(4piepsilon_0*r^2)=>E(R/2)=Q_(INT)/(4piepsilon_0*(R/2)^2) $
IL modulo del campo elettrostatico E a distanza $2R$ da centro della sfera
$ Q_(INT)=int_0^(2R)p(r)4pir^2*dr=int_0^(2R)p_0(1-r/R)4pir^2*dr=p_0*1/R*4piint_0^Rr^3dr=po4pi*1/R*[r^4/4]_0^(2R)=p_0*1/R*4pi*(2R)^4/4 $
$ E(r)=Q_(INT)/(4piepsilon_0*r^2)=>E(2R)=Q_(INT)/(4piepsilon_0*(2R)^2) $
Il rapporto tra il modulo del campo elettrostatico in $R/2$ e 2R vale:
$ E(R)=(E(R/2))/(E(2R))= $
3. La differenza del campo elettrostatico E a distanza 3R dal centro della sfera
$ V(2R)-V(3R)=int_(2R)^(3R)E(r)dr=-Q/(4piepsilon_0r)|_("R)^(3R)=Q/(4piepsilon_0r)*[1/(2R)-1/(3R)=(4.72⋅10^(-6)C)/(4pi*8.854⋅10^(−12)C^2/(Nm^2))*[1/(2*0,15m)-1/(3*0,15m)]= $
4. Il lavoro fatto dalla forza di Coulomb per spostare di una distanza dr la carica esploratrice sarà $ dW=Fdr $
$ dW=qEdr=q*Q/(4piepsilon_0*r^2)*(r_i-r_f) $
$ dW=1/(4piepsilon_0)*qQ(1/r_i-1/r_f) $

[Quinzio]

1.
In questa parentesi $(1-r/R)$ mi sembra che fai sparire l' 1.
Che fine fa ??? Che errori brutti che fai, bisogna ricontrollare i conti , o sono le basi che mancano ?

2. Idem, stesso errore.
Sempre nel 2: quando fai l'integrale di $Q_{INT}$ per $2R$ perche' l'integrale lo fai fino a $2R$ ???
La sfera ha sempre raggio $R$ !!! Occhio !

3. L"integrale di $1/r$ qual e' ? E' meglio dare una ripassatina agli integrali.
Ma poi, non serve neanche l'integrale, ti chiede la differenza... o no ?

[giacomovicinanza]

Per il punto 1
$ Q=int_0^Rp(r)*4pir^2dr=int_0^Rp_0(1-r/R)4pir^2dr=p_0*4piint_0^R(1-r/R)r^2dr=
p_0*4piint_0^Rr^2-r^3/R*dr=p_0*4piint_0^Rr^2dr-int_0^Rr^3/Rdr= p_0*4piint_0^Rr^3/3-r^4/(4R)= (4p_0piR^3)/3-(p_opiR^4)/R=(pip_0R^3)/3 $
$ p_o=(3Q)/(piR^3)=(3*(4.72⋅10^(-6)C))/(pi*(0,15 cm)^3)= $
Per il punto 2
$ Q_(INT)=int_0^Rp(r)*4pir^2dr=int_0^Rp_0(1-r/R)4pir^2dr=p_0*4piint_0^R(1-r/R)r^2dr=
p_0*4piint_0^Rr^2-r^3/R*dr=p_0*4piint_0^Rr^2dr-int_0^Rr^3/Rdr= p_0*4piint_0^Rr^3/3-r^4/(4R)= (4p_0piR^3)/3-(p_opiR^4)/R=(pip_0R^3)/3 $
$ E(r)=Q_(INT)/(4piepsilon_0*r^2)=>E(R/2)=Q_(INT)/(4piepsilon_0*(R/2)^2) = ((pip_0R^3)/3)/(4piepsilon_0*(R/2)^2)$
$ E(r)=Q_(INT)/(4piepsilon_0*r^2)=>E(2R)=Q_(INT)/(4piepsilon_0*(2R)^2) = ((pip_0R^3)/3)/(4piepsilon_0*(2R)^2)$
Il punto 3
$ V(2R)-V(3R)=int_(2R)^(3R)E(r)dr=Q/(4piepsilon_0)int_(2R)^(3R)1/rdr=Q/(4piepsilon_0)lnr|_(2R)^(3R)=Q/(4piepsilon_0)(ln3R)-ln(2R)=Q/(4piepsilon)_0ln(3/2) $

[giacomovicinanza]

Sono esatti?

[giacomovicinanza]

lo prendo per un si?

[giacomovicinanza]

Qualcuno che può confermare?

[giacomovicinanza]

?????????