Fisica 2: conduttore sferico cavo

[ing.nunziom]

L'esercizio è il seguente:
Nel centro di un conduttore sferico cavo, di raggio interno $R_1=10cm$ e raggio esterno $R_2=20cm$, è contenuta una carica puntiforme $q_1=3*10^-5 C$.
Scrivere le espressioni del campo e del potenziale nelle tre regioni: $rR_2$.

La mia difficoltà riguarda il calcolo del potenziale. Partendo dall'esterno ho scritto:
$V_3=\frac{q_1}{4\pi\epsilon_0r}$
$V_2=\frac{q_1}{4\pi\epsilon_0R_2}$ (costante)
Ma nella regione in cui $r

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Borg01

6 ott 2015, 06:21

Per definizione di potenziale si ha:
\(\displaystyle V=-\int_C \vec{E}\,d\vec{\ell} \)
Per il teorema di Gauss l'unico campo presente nella regione di spazio $r \(\displaystyle V_1=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r} \)

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Falco5x

6 ott 2015, 06:35

"Borg_01":Per definizione di potenziale si ha:
\(\displaystyle V=-\int_C \vec{E}\,d\vec{\ell} \)
Per il teorema di Gauss l'unico campo presente nella regione di spazio $r \(\displaystyle V_1=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r} \)

Non direi.
Se così fosse il potenziale a distanza R1 sarebbe \(\displaystyle V_1=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_1} \), dunque si avrebbe un conduttore sferico cavo con due potenziali diversi al raggio interno R1 e al raggio esterno R2, cosa impossibile in elettrostatica.

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ing.nunziom

6 ott 2015, 06:43

Come dovrei procedere?

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***1117

6 ott 2015, 08:30

Ciao

Non prendere le mie parole e i miei calcoli per ESATTE , esorto i lettori di tale post a correggermi nel caso in cui abbia commesso errori.

Veniamo a noi, se la cavità è concentrica alla sfera , allora possiamo dire certamente che :

$\vec{E}(r
Usando la legge di Gauss avrò :

$\vec{E}(R_1
$\vec{E}(r>R_2)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{r}$ per cui $\phi=-\int_{R_2} ^{r} \vec{E}(r>R_2) d\vec{r} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}[\frac{1}{r} - \frac{1}{R_2} ] + C_3 $


Con $C_1$, $C_2$ e $C_3$ costanti da determinare in modo tale da avere la continuità del potenziale. Come si calcolano tali costanti? Mi pare che $C_1$ debba essere posta uguale a zero ..

Cosa ne pensate ?

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Falco5x

6 ott 2015, 09:40

"ing.nunziom":Come dovrei procedere?

Avevi iniziato bene, ti sei fermato nel punto nel quale occorreva mettere un condizione di continuità del potenziale.
E' chiaro che sulla superficie interna della sfera cava il potenziale deve essere uguale a quello che c'è sulla superficie esterna, ovvero:
$${V_1}\left( {{R_1}} \right) = {V_2}\left( {{R_1}} \right) = {V_2}\left( {{R_2}} \right) = \frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{R_2}}}$$
Allora partendo da un generico punto a distanza r contenuto nella cavità con r $${V_1}\left( r \right)$$
e integrando il campo fino alla distanza R1, si deve arrivare al potenziale a distanza R1. In formule:
$$\eqalign{
& r \leqslant {R_1} \cr
& {V_1}\left( r \right) - \int_r^{{R_1}} {\frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}}dr} = {V_1}\left( {{R_1}} \right) = \frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{R_2}}} \cr
& {V_1}\left( r \right) + \frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{R_1}}} - \frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}r}} = \frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{R_2}}} \cr
& {V_1}\left( r \right) = \frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}}}\left[ {\frac{1}
{{{R_2}}} - \frac{1}
{{{R_1}}} + \frac{1}
{r}} \right] \cr} $$

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Borg01

6 ott 2015, 11:56

"Falco5x":[quote="Borg_01"]Per definizione di potenziale si ha:
\(\displaystyle V=-\int_C \vec{E}\,d\vec{\ell} \)
Per il teorema di Gauss l'unico campo presente nella regione di spazio $r \(\displaystyle V_1=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r} \)

Non direi.
Se così fosse il potenziale a distanza R1 sarebbe \(\displaystyle V_1=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_1} \), dunque si avrebbe un conduttore sferico cavo con due potenziali diversi al raggio interno R1 e al raggio esterno R2, cosa impossibile in elettrostatica.[/quote]

Questo dipende dall'arbitrarietà nella definizione di potenziale e dal fatto che in $R_1$ e $R_2$ il campo elettrico è discontinuo quindi niente mi vieta di costruire un potenzile discontinuo a sua volta

Volendo, invocando il principio di sovrapposizione si può dire che il potenziale per $r \(\displaystyle V_1=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r}+\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_2}-\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_1} \)
e allora per $r=R_1$ si ha
\(\displaystyle V=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_2} \)
Ma visto che quello che conta davvero in fisica sono le differenze di potenzile e non il potenziale in se e
\(\displaystyle \frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_2}-\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_1} \)
è una costante i due potenziali all'atto pratico sono perfettamente equivalenti

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Falco5x

6 ott 2015, 12:28

Sono d'accordo sul fatto che il valore del potenziale è arbitrario mentre contano le differenze di potenziale, però ponendo secondo convenzione normalmente accettata nullo il potenziale a distanza infinita da ogni carica, e venendo a ritroso in direzione delle cariche, in assenza di cariche concentrate il potenziale non può fare salti (gradini), altrimenti le differenze di potenziale nell'intorno del gradino costituirebbero un paradosso. Infatti in tal caso nell'intorno del salto di potenziale una carica esploratrice che lo attraversasse compierebbe un lavoro finito per spostamenti infinitesimi, cosa che presupporrebbe un campo infinito. Per questo in assenza di sigolarità (cariche concentrate) il potenziale deve essere una funzione continua, tutt'al più con gradiente discontinuo (campo), come in questo caso.

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Borg01

6 ott 2015, 14:38

"Falco5x":Sono d'accordo sul fatto che il valore del potenziale è arbitrario mentre contano le differenze di potenziale, però ponendo secondo convenzione normalmente accettata nullo il potenziale a distanza infinita da ogni carica, e venendo a ritroso in direzione delle cariche, in assenza di cariche concentrate il potenziale non può fare salti (gradini), altrimenti le differenze di potenziale nell'intorno del gradino costituirebbero un paradosso. Infatti in tal caso nell'intorno del salto di potenziale una carica esploratrice che lo attraversasse compierebbe un lavoro finito per spostamenti infinitesimi, cosa che presupporrebbe un campo infinito. Per questo in assenza di sigolarità (cariche concentrate) il potenziale deve essere una funzione continua, tutt'al più con gradiente discontinuo (campo), come in questo caso.

Riflettendoci un attimo effettivamente hai ragione, grazie per la spiegazione

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[Borg01]

Per definizione di potenziale si ha:
\(\displaystyle V=-\int_C \vec{E}\,d\vec{\ell} \)
Per il teorema di Gauss l'unico campo presente nella regione di spazio $r \(\displaystyle V_1=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r} \)

[Falco5x]

"Borg_01":Per definizione di potenziale si ha:
\(\displaystyle V=-\int_C \vec{E}\,d\vec{\ell} \)
Per il teorema di Gauss l'unico campo presente nella regione di spazio $r \(\displaystyle V_1=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r} \)

Non direi.
Se così fosse il potenziale a distanza R1 sarebbe \(\displaystyle V_1=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_1} \), dunque si avrebbe un conduttore sferico cavo con due potenziali diversi al raggio interno R1 e al raggio esterno R2, cosa impossibile in elettrostatica.

[ing.nunziom]

Come dovrei procedere?

[***1117]

Ciao

Non prendere le mie parole e i miei calcoli per ESATTE , esorto i lettori di tale post a correggermi nel caso in cui abbia commesso errori.

Veniamo a noi, se la cavità è concentrica alla sfera , allora possiamo dire certamente che :

$\vec{E}(r
Usando la legge di Gauss avrò :

$\vec{E}(R_1
$\vec{E}(r>R_2)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{r}$ per cui $\phi=-\int_{R_2} ^{r} \vec{E}(r>R_2) d\vec{r} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}[\frac{1}{r} - \frac{1}{R_2} ] + C_3 $


Con $C_1$, $C_2$ e $C_3$ costanti da determinare in modo tale da avere la continuità del potenziale. Come si calcolano tali costanti? Mi pare che $C_1$ debba essere posta uguale a zero ..

Cosa ne pensate ?

[Falco5x]

"ing.nunziom":Come dovrei procedere?

Avevi iniziato bene, ti sei fermato nel punto nel quale occorreva mettere un condizione di continuità del potenziale.
E' chiaro che sulla superficie interna della sfera cava il potenziale deve essere uguale a quello che c'è sulla superficie esterna, ovvero:
$${V_1}\left( {{R_1}} \right) = {V_2}\left( {{R_1}} \right) = {V_2}\left( {{R_2}} \right) = \frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{R_2}}}$$
Allora partendo da un generico punto a distanza r contenuto nella cavità con r $${V_1}\left( r \right)$$
e integrando il campo fino alla distanza R1, si deve arrivare al potenziale a distanza R1. In formule:
$$\eqalign{
& r \leqslant {R_1} \cr
& {V_1}\left( r \right) - \int_r^{{R_1}} {\frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}}dr} = {V_1}\left( {{R_1}} \right) = \frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{R_2}}} \cr
& {V_1}\left( r \right) + \frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{R_1}}} - \frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}r}} = \frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}{R_2}}} \cr
& {V_1}\left( r \right) = \frac{{{q_1}}}
{{4\pi {\varepsilon _0}}}\left[ {\frac{1}
{{{R_2}}} - \frac{1}
{{{R_1}}} + \frac{1}
{r}} \right] \cr} $$

[Borg01]

"Falco5x":[quote="Borg_01"]Per definizione di potenziale si ha:
\(\displaystyle V=-\int_C \vec{E}\,d\vec{\ell} \)
Per il teorema di Gauss l'unico campo presente nella regione di spazio $r \(\displaystyle V_1=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r} \)

Non direi.
Se così fosse il potenziale a distanza R1 sarebbe \(\displaystyle V_1=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_1} \), dunque si avrebbe un conduttore sferico cavo con due potenziali diversi al raggio interno R1 e al raggio esterno R2, cosa impossibile in elettrostatica.[/quote]

Questo dipende dall'arbitrarietà nella definizione di potenziale e dal fatto che in $R_1$ e $R_2$ il campo elettrico è discontinuo quindi niente mi vieta di costruire un potenzile discontinuo a sua volta

Volendo, invocando il principio di sovrapposizione si può dire che il potenziale per $r \(\displaystyle V_1=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,r}+\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_2}-\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_1} \)
e allora per $r=R_1$ si ha
\(\displaystyle V=\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_2} \)
Ma visto che quello che conta davvero in fisica sono le differenze di potenzile e non il potenziale in se e
\(\displaystyle \frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_2}-\frac{q_1}{4\,\pi\,\epsilon_0\,R_1} \)
è una costante i due potenziali all'atto pratico sono perfettamente equivalenti

[Falco5x]

Sono d'accordo sul fatto che il valore del potenziale è arbitrario mentre contano le differenze di potenziale, però ponendo secondo convenzione normalmente accettata nullo il potenziale a distanza infinita da ogni carica, e venendo a ritroso in direzione delle cariche, in assenza di cariche concentrate il potenziale non può fare salti (gradini), altrimenti le differenze di potenziale nell'intorno del gradino costituirebbero un paradosso. Infatti in tal caso nell'intorno del salto di potenziale una carica esploratrice che lo attraversasse compierebbe un lavoro finito per spostamenti infinitesimi, cosa che presupporrebbe un campo infinito. Per questo in assenza di sigolarità (cariche concentrate) il potenziale deve essere una funzione continua, tutt'al più con gradiente discontinuo (campo), come in questo caso.

[Borg01]

"Falco5x":Sono d'accordo sul fatto che il valore del potenziale è arbitrario mentre contano le differenze di potenziale, però ponendo secondo convenzione normalmente accettata nullo il potenziale a distanza infinita da ogni carica, e venendo a ritroso in direzione delle cariche, in assenza di cariche concentrate il potenziale non può fare salti (gradini), altrimenti le differenze di potenziale nell'intorno del gradino costituirebbero un paradosso. Infatti in tal caso nell'intorno del salto di potenziale una carica esploratrice che lo attraversasse compierebbe un lavoro finito per spostamenti infinitesimi, cosa che presupporrebbe un campo infinito. Per questo in assenza di sigolarità (cariche concentrate) il potenziale deve essere una funzione continua, tutt'al più con gradiente discontinuo (campo), come in questo caso.

Riflettendoci un attimo effettivamente hai ragione, grazie per la spiegazione