Fisica 1: Esercizio di dinamica del corpo rigido
Salve, studiando per l'esame di fisica 1, sia lo scritto che l'orale, mi sono imbattuto in un esercizio che non sono riuscito a svolgere (non è l'unico) e onestamente sto riscontrando molte difficoltà a preparare questo esame e vorrei chiedervi un aiuto sia sull'esercizio ma anche su come si dovrebbe ragionare in generale. L'esercizio dice: "Un disco omogeneo di massa $m=10 kg$ e raggio $r=0.3m$ e spessore costante, è appoggiato su un piano orizzontale scabro sul quale rotola senza strisciare. Il centro $C$ del disco è collegato, mediante una molla di costante elastica $k=90N/m$ e lunghezza di riposo trascurabile, a un punto $P$ dell'asse $y$ posto ad altezza $h=0.7m$ dal piano di appoggio. All'istante $t=0$ il centro $C$ si trova sull'asse $y$ con componente della velocità $v_(0x)=1m/s$. Si determini:
(a)l'istante $\tau$ in cui il disco si ferma per la prima volta
(b)il valore minimo del coefficiente di attrito statico necessario affinchè il corpo rotoli senza strisciare"
Sperando di non andare contro il regolamento, per rendere più chiaro l'esercizio, ho messo sotto "spoiler" la foto del problema (sperando che si sia caricata bene non avendolo mai fatto).
Ora per fare il primo punto ho pensato che fosse necessario trovarsi l'accelerazione e dunque ho pensato di scrivere il seguente sistema usando le prime due equazioni cardinali e il fatto di sapere che il corpo non strisciasse:
$ { ( F+F_(el)+F_s=ma_(cm) ),( M+(F_(el)^^r_(el))_z+F_sr_s=I_z(d\omega)/dt ),( v_(cm)(0)=-\omega(0)^^r_(cm)(0) ):} $ dove con $F_(el)$ intendo la forza elastica, con $( M+(F_(el)^^r_(el))_z$ la componente $z$ del momento della forza elastica,con $F$ la forza che agisce sul corpo (ma in questo caso è nulla), con $F_s$ la forza di attrito statico, con $r_el$ e $r_s$ i bracci delle due forze. Allora notando che sull'asse $y$ il centro di massa non dovrebbe subire accelerazioni e che la forze elastica risulta essere radiale ho riscritto il sistema così: $ { ( |F_(elx)|+|F_s|=m|a_(cm)| ),( |M|+|F_s||r_s|=I_z(d\omega)/dt ),( v_(cm)(0)=-\omega(0)^^r_(cm)(0) ):} $ . Ora il problema è sia ricavarsi il momento $M$ sia la componente parallela della forza elastica e io onestamente qui mi sono bloccato. Se non vi reca disturbo, potreste, gentilmente dirmi in che modo dovrei ragionare?
(a)l'istante $\tau$ in cui il disco si ferma per la prima volta
(b)il valore minimo del coefficiente di attrito statico necessario affinchè il corpo rotoli senza strisciare"
Sperando di non andare contro il regolamento, per rendere più chiaro l'esercizio, ho messo sotto "spoiler" la foto del problema (sperando che si sia caricata bene non avendolo mai fatto).
Ora per fare il primo punto ho pensato che fosse necessario trovarsi l'accelerazione e dunque ho pensato di scrivere il seguente sistema usando le prime due equazioni cardinali e il fatto di sapere che il corpo non strisciasse:
$ { ( F+F_(el)+F_s=ma_(cm) ),( M+(F_(el)^^r_(el))_z+F_sr_s=I_z(d\omega)/dt ),( v_(cm)(0)=-\omega(0)^^r_(cm)(0) ):} $ dove con $F_(el)$ intendo la forza elastica, con $( M+(F_(el)^^r_(el))_z$ la componente $z$ del momento della forza elastica,con $F$ la forza che agisce sul corpo (ma in questo caso è nulla), con $F_s$ la forza di attrito statico, con $r_el$ e $r_s$ i bracci delle due forze. Allora notando che sull'asse $y$ il centro di massa non dovrebbe subire accelerazioni e che la forze elastica risulta essere radiale ho riscritto il sistema così: $ { ( |F_(elx)|+|F_s|=m|a_(cm)| ),( |M|+|F_s||r_s|=I_z(d\omega)/dt ),( v_(cm)(0)=-\omega(0)^^r_(cm)(0) ):} $ . Ora il problema è sia ricavarsi il momento $M$ sia la componente parallela della forza elastica e io onestamente qui mi sono bloccato. Se non vi reca disturbo, potreste, gentilmente dirmi in che modo dovrei ragionare?
Risposte
Si tratta di un moto armonico:
Seconda equazione cardinale della dinamica rispetto al punto di contatto
$[3/2mr^2ddot\theta=-kr^2\theta] rarr [ddot\theta+(2k)/(3m)\theta=0]$
Scusa ma non ho capito...
Se, come polo, prendi il punto di contato, l'unica forza avente momento non nullo è la componente orizzontale della forza elastica:
Tuttavia, poiché il disco rotola senza strisciare:
Per quanto riguarda il momento d'inerzia:
$-kx$
Tuttavia, poiché il disco rotola senza strisciare:
$x=r\theta$
Per quanto riguarda il momento d'inerzia:
$I=3/2mr^2$
Lo so che è una domanda stupida ma non c'è anche il momento della forza di attrito statico a essere non nullo, inoltre il momento di inerzia, il prof ci ha detto essere sempre minore o uguale a $mr^2$.
P.s:con x intendi l'allungamento sull'asse x, giusto?
P.s:con x intendi l'allungamento sull'asse x, giusto?
"mklplo":
... non c'è anche il momento della forza di attrito statico a essere non nullo ...
Poiché il polo è il punto di contatto, non il centro del disco, il suo braccio è nullo.
"mklplo":
... il prof ci ha detto essere ...
Strano. Per il momento d'inerzia rispetto al punto di contatto, dovresti applicare il teorema di Huygens-Steiner.
"mklplo":
... con x intendi ...
Intendo l'ascissa del centro del disco.
Ah,ok, forse la formula che ci ha detto il prof vale nel caso in cui l'asse è quella che passa per il baricentro. Ok, grazie, ora capisco quello che hai scritto. Dunque ora devo risolvere l'equazione differenziale e poi trovare il punto di massima dilatazione della molla, poi devo trovare qualche modo per ricavare la forza di attrito statico per poter trovare il coefficiente minimo. Per fare ciò dovrei usare la prima equazione cardinale e ricavare l'accelerazione usando quella angolare?
Direi che sei sulla buona strada. Dopo aver determinato x(t), utilizzando la prima equazione cardinale della dinamica lungo x, puoi ricavare la forza di attrito in funzione del tempo. Per determinare la reazione vincolare, devi utilizzare la prima equazione cardinale della dinamica lungo y.
P.S.
Probabilmente il docente intendeva dire che, rispetto al centro, il momento d'inerzia di un disco è sicuramente minore di quello di un anello, visto che la massa non è più distribuita solo sul bordo.
P.S.
Probabilmente il docente intendeva dire che, rispetto al centro, il momento d'inerzia di un disco è sicuramente minore di quello di un anello, visto che la massa non è più distribuita solo sul bordo.
Allora ho provato a fare l'esercizio ed effettivamente mi è rimasto qualche dubbio. Comunque ora provo a fare anche un riassunto di tutto per vedere se ho capito bene.
Le uniche forze presenti sono quella gravitazionale, quella elastica e quella di attrito statico. Per quanto riguarda i momenti sono quelli della forza gravitazionale, quella della forza elastica, quella di attrito statico e quello della forza che ha messo in moto il corpo. Tuttavia se considero come punto quello di contatto allora il momento della forza gravitazionale risulta nullo perchè la forza ha direzione parallela a quella del vettore congiungente il centro di massa e il punto di contatto. Per quanto riguarda il momento della forza iniziale è nullo per qualche motivo che non ho capito. Il momento della forza di attrito statico è nullo perchè a essere nullo è il braccio, mentre la componente perpendicolare della forza elastica ha un momento nullo nel punto di contatto per lo stesso motivo di quello della forza gravitazionale. Poichè il rotolamento è stesso strisciamento, denotato con $x$ l'allungamento della molla lungo l'asse orizzontale passante per il centro di massa, poichè il corpo rotola senza strisciare posso dire che $x=r\theta$ (e in caso ci fosse lo strisciamento come dovrebbe essere?). Dal fatto sempre che il corpo rotola senza strisciare abbiamo la velocità angolare iniziale, mentre l'angolo iniziale dovrebbe essere $0$ in quanto non ha nessun allungamento sull'asse delle $ x$. Inoltre notiamo che non prendendo come asse quella baricentrale, devo usare il teorema di Huygens-Steiner per trovare il momento di inerzia e dunque ora scrivo la seconda equazione cardinale:
$ { ( -k \thetar^2=(mr^2/2+mr^2)\ddot(\theta) ),( \theta(0)=0 ),( dot(\theta)(0)=v_(0x)/r ):} $
Da ciò segue che $ \theta(t)=v_(0x)/rsqrt((3m)/(2k))sin(sqrt((2k)/(3m))t) $ . Ora se la velocità angolare è nulla, sarà nulla anche la velocità del centro di massa dato che siamo nel caso senza strisciamento e dunque per trovare quando il corpo si ferma mi basta che $\tau=pi/2sqrt((3m)/(2k))$.
Fatto ciò passiamo al punto 2:
Impostiamo la prima equazione cardinale per le due componenti sfruttando il legame tra accelerazione angolare e lineare:
$ { ( F_(elx)+F_s=ma=mr\ddot(\theta) ),( N+F_(ely)-F_g=0 ):} $ da ciò segue (usando l'equazione differenziale di partenza) che $ { ( F_s=\theta k(1-2/3r)=v_(0x)/rsqrt((3mk)/(2))sin(sqrt((2k)/(3m))t)(1-2/3)r),( N=mg- F_(ely)):} $. Per trovare il coefficiente di attrito statico minimo devo assicurarmi che la forza vincolare moltiplicata il coefficiente sia uguale alla forza di attrito statico e dunque $ \mu_s^(min)=F/N=(v_(0x)/rsqrt((3mk)/(2))sin(sqrt((2k)/(3m))t)(1-2/3)r)/(mg-F_(ely) $
Se i ragionamenti sono corretti, basta sostituire i numeri ed è finito.
Ora, come si vede ho ancora alcuni dubbi sia su come ricavare la componente verticale della forza elastica, sia quel fatto sul momento iniziale, sia anche sul fatto che io posso scrivere $x=r\theta$ solo nel caso di rotolamento senza strisciamento.
Spero di non chiederti troppo, chiedendoti di rispondere a questa mia domanda.
P.s: ho controllato la registrazione e mi sono confrontato con un amico e il prof intendeva quello che dicevi tu per quanto riguarda il momento di inerzia.
Le uniche forze presenti sono quella gravitazionale, quella elastica e quella di attrito statico. Per quanto riguarda i momenti sono quelli della forza gravitazionale, quella della forza elastica, quella di attrito statico e quello della forza che ha messo in moto il corpo. Tuttavia se considero come punto quello di contatto allora il momento della forza gravitazionale risulta nullo perchè la forza ha direzione parallela a quella del vettore congiungente il centro di massa e il punto di contatto. Per quanto riguarda il momento della forza iniziale è nullo per qualche motivo che non ho capito. Il momento della forza di attrito statico è nullo perchè a essere nullo è il braccio, mentre la componente perpendicolare della forza elastica ha un momento nullo nel punto di contatto per lo stesso motivo di quello della forza gravitazionale. Poichè il rotolamento è stesso strisciamento, denotato con $x$ l'allungamento della molla lungo l'asse orizzontale passante per il centro di massa, poichè il corpo rotola senza strisciare posso dire che $x=r\theta$ (e in caso ci fosse lo strisciamento come dovrebbe essere?). Dal fatto sempre che il corpo rotola senza strisciare abbiamo la velocità angolare iniziale, mentre l'angolo iniziale dovrebbe essere $0$ in quanto non ha nessun allungamento sull'asse delle $ x$. Inoltre notiamo che non prendendo come asse quella baricentrale, devo usare il teorema di Huygens-Steiner per trovare il momento di inerzia e dunque ora scrivo la seconda equazione cardinale:
$ { ( -k \thetar^2=(mr^2/2+mr^2)\ddot(\theta) ),( \theta(0)=0 ),( dot(\theta)(0)=v_(0x)/r ):} $
Da ciò segue che $ \theta(t)=v_(0x)/rsqrt((3m)/(2k))sin(sqrt((2k)/(3m))t) $ . Ora se la velocità angolare è nulla, sarà nulla anche la velocità del centro di massa dato che siamo nel caso senza strisciamento e dunque per trovare quando il corpo si ferma mi basta che $\tau=pi/2sqrt((3m)/(2k))$.
Fatto ciò passiamo al punto 2:
Impostiamo la prima equazione cardinale per le due componenti sfruttando il legame tra accelerazione angolare e lineare:
$ { ( F_(elx)+F_s=ma=mr\ddot(\theta) ),( N+F_(ely)-F_g=0 ):} $ da ciò segue (usando l'equazione differenziale di partenza) che $ { ( F_s=\theta k(1-2/3r)=v_(0x)/rsqrt((3mk)/(2))sin(sqrt((2k)/(3m))t)(1-2/3)r),( N=mg- F_(ely)):} $. Per trovare il coefficiente di attrito statico minimo devo assicurarmi che la forza vincolare moltiplicata il coefficiente sia uguale alla forza di attrito statico e dunque $ \mu_s^(min)=F/N=(v_(0x)/rsqrt((3mk)/(2))sin(sqrt((2k)/(3m))t)(1-2/3)r)/(mg-F_(ely) $
Se i ragionamenti sono corretti, basta sostituire i numeri ed è finito.
Ora, come si vede ho ancora alcuni dubbi sia su come ricavare la componente verticale della forza elastica, sia quel fatto sul momento iniziale, sia anche sul fatto che io posso scrivere $x=r\theta$ solo nel caso di rotolamento senza strisciamento.
Spero di non chiederti troppo, chiedendoti di rispondere a questa mia domanda.
P.s: ho controllato la registrazione e mi sono confrontato con un amico e il prof intendeva quello che dicevi tu per quanto riguarda il momento di inerzia.
Per ora rispondo solo in parte.
Non proprio, anche la reazione vincolare. Il disco e il piano orizzontale interagiscono mediante una forza di natura elettromagnetica. Tipicamente, la forza che sarebbe presente anche in assenza della forza di attrito, è chiamata reazione vincolare.
Di quella forza te ne devi infischiare. Ciò che conta sono le condizioni iniziali. Come siano state realizzate non ha alcuna rilevanza.
Immaginavo.
"mklplo":
Le uniche forze presenti sono ...
Non proprio, anche la reazione vincolare. Il disco e il piano orizzontale interagiscono mediante una forza di natura elettromagnetica. Tipicamente, la forza che sarebbe presente anche in assenza della forza di attrito, è chiamata reazione vincolare.
"mklplo":
... e quello della forza che ha messo in moto il corpo.
Di quella forza te ne devi infischiare. Ciò che conta sono le condizioni iniziali. Come siano state realizzate non ha alcuna rilevanza.
"mklplo":
... il prof intendeva...
Immaginavo.
"mklplo":
... su come ricavare la componente verticale della forza elastica ...
Non si comprende il motivo. Tra l'altro, la componente verticale della forza elastica è anche indipendente dal tempo:
$k(h-r)$
"mklplo":
... $x=r\theta$ solo nel caso di rotolamento senza strisciamento...
Formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi
$[vec(v_C)=vec(v_O)+vec\omegaxx(C-O)] ^^ [vec(v_O)=0] rarr$
$rarr vec(v_C)=vec\omegaxx(C-O) rarr$
$rarr v_C=\omegar rarr$
$rarr dotx=dot\thetar$
avendo indicato con O il punto fisico del disco che, in ogni istante, coincide con il punto geometrico di contatto (la condizione di rotolamento senza strisciamento richiede che il punto fisico del disco, da non confondere con il punto geometrico mobile di contatto, abbia, in ogni istante, velocità nulla).
Infine, se, per semplicità:
$[x=0] rarr [\theta=0]$
si ha:
$x=\thetar$
Ok, grazie per aver risposto: pian piano sto capendo. Allora tu hai detto che il momento iniziale posso non considerarlo, ma non capisco il perchè: ovvero se il corpo rotola, anche in assenza di forze, non vuol dire che il momento è non nullo e dunque và considerato? Inoltre dici che non devo considerare la componente verticale della forza elastica, ma non serve per trovare la reazione vincolare? Ovvero quando scrivo la prima equazione cardinale rispetto all'asse delle $y$ non devo considerare la somma di tutte le forze esterne?
"mklplo":
Inoltre dici che non devo considerare la componente verticale della forza elastica ...
Veramente, non mi sembra di aver scritto di non considerarla. Ho solo scritto che la sua determinazione è piuttosto semplice.
"mklplo":
Allora tu hai detto che il momento iniziale posso non considerarlo ...
Certamente. A te interessa l'evoluzione temporale assegnate le condizioni iniziali. Perché il disco, all'istante iniziale, rotoli senza strisciare con quella velocità orizzontale, non ha alcuna rilevanza. Sarebbe come se, nello studio del moto parabolico, uno si preoccupasse di come sia stata impartita la velocità iniziale. Se non esplicitamente richiesto, te ne devi infischiare. Spero di essermi spiegato.
Ok, ora penso di aver capito e di aver capito di aver frainteso la tua risposta precendete perchè quando hai detto "non si comprende il motivo" avevo inteso "non si comprende perchè dovresti calcolarla". Quindi per terminare l'esercizio basta porre $F_(ely)=k(h-r)$ ed ho concluso. Giusto?
Direi di sì. Non ho controllato a dovere tutto quello che hai scritto. Prima o poi lo faccio. Piuttosto, hai compreso il motivo per il quale non ti devi preoccupare delle cause che hanno determinato le condizioni iniziali? Lo ribadisco per evitare pericolose misconcezioni.
Allora, se ho capito, dato che l'evoluzione di un sistema è univocamente determinata dalla legge oraria e dalle condizioni iniziali e dato che le condizioni iniziale già in sè "tengono presente" il fatto che il corpo avesse subito l'effetto di un forza iniziale che ora tuttavia non agisce più, posso tranquillamente trascurare quel momento, giusto?
Certamente. La misconcezione di cui parlavo è quella di pensare che una causa, che ha esaurito di produrre i suoi effetti, possa continuare a produrli anche in sua assenza.
Bene allora credo di aver capito...e ora non mi resta che pregare che ciò basti per preparare un esame da 28 nei prossimi 2 giorni.
Entro domani posto la mia soluzione. Per adesso, in bocca al lupo. 
Grazie sia per l'augurio sia per la tua grande disponibilità.
Per quanto riguarda il secondo punto, ho preferito sostituire i valori numerici:
Per quanto riguarda il primo punto, non dovresti avere problemi.
Soluzione
$[ddot\x+6x=0] ^^ [x(0)=0] ^^ [dotx(0)=1] rarr [x=sqrt6/6sinsqrt6t]$
Forza di attrito
$[10ddot\x=-90x+F_a] ^^ [ddot\x+6x=0] rarr [F_a=30x] rarr [F_a=5sqrt6sinsqrt6t]$
Reazione vincolare
$[0=36-98+R] rarr [R=62]$
Coefficiente di attrito statico
$[|F_(amax)|=5sqrt6] ^^ [\mu_s gt= |F_(amax)|/R] rarr [\mu_s gt= (5sqrt6)/62]$
Per quanto riguarda il primo punto, non dovresti avere problemi.
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