Fis-Mat Equazioni differenziali con matrici
Buongiorno a tutti,
Sono uno studente della triennale di Fisica e avrei bisogno di alcuni chiarimenti per quanto riguarda un esempio che ho trovato sulle dispense del mio prof. di Istituzioni di Fisica Matematica.
Premetto che ho appena iniziato a studiare la materia e che le sue dispense sono parecchio lacunose di concetti che nel corso di Geometria e Algebra Lineare, vengono trattati poco e male (almeno per quanto riguarda il mio corso).
Riporto il testo dell'esempio, in seguito esprimo i miei dubbi.
Sistemi lineari in $mathbb(R)^2$: matrice diagonalizzabile, autovalori reali.
Sia $ \dot{z}=Az $ con $z\in mathbb(R)^2 $.
Caso A diagonalizzabile, autovalori reali.
Siano $ lambda_1,lambda_2 $ gli autovalori di $A$ e $ u_1,u_2 $ i relativi autovettori, linearmente indipendenti. Sviluppando il dato iniziale $z_0$ nella base costituita da $u_1$ e $u_2$ ed utilizzando la linearità di $exp(At)$ ed il fatto che se $ Au=lambdau rArr exp(tA)u=e^(lambdat)u $, si trova:
$ z_0 =c_1u_1+c_2u_2 rArr exp(tA)z_0=c_1e^(lambda_1t)u_1+c_2e^(lambda_2t)u_2$ (1.3.7)
che fornisce il flusso dell'equazione.
Caso generico. Consideriamo innanzitutto il caso generico nel quale i due autovalori reali $lambda_1$ e $lambda_2$ sono distinti e diversi da zero. La matrice è allora invertibile e l'origine è l'unico equilibrio.
La (1.3.7) implica che vi sono due speciali famiglie di soluzioni, quelle con dati iniziali sui sottospazi unidimensionali paralleli agli autovettori. Tutte queste soluzioni restano sul sottospazio dal quale partono e, se hanno dato iniziale non nullo, per $trarrinfty$ tendono all'origine se $lambda_i<0$, all'infinito se $lambda_i>0$. Ciascuno di questi sottospazi consiste dunque di tre orbite: l'origine e le due semirette, e si chiama sottospazio stabile dell'equazione se $lambda_i<0$, sottospazio instabile se $lambda_i>0$. (*, ndr)
Per completare il ritratto in fase facciamo un cambiamento di coordinate, passando alla base costituita dai due vettori $u_1$ e $u_2$. Questo si fa con l'inversa della matrice $P=[u_1,u_2]$, che diagonalizza A. Infatti, poichè $ P( (1),(0) ) = u_1 $ e $ P( (0),(1) ) = u_2 $, nelle coordinate $y=( (y_1),(y_2) ) := P^(-1)z $ il dato iniziale $z_0=c_1u_1+c_2u_2$ diviene $y_0=((c_1),(c_2))$ ed il suo evoluto è pertanto
$y(t)=P^(-1)z(t)=P^(-1)(c_1e^(lambda_1t)u_1+c_2e^(lambda_2t)u_2)=((c_1e^(lambda_1t)),(c_2e^(lambda_2t)))$. (1.3.8)
I sottospazi stabile e instabile sono ora gli assi coordinati. Per determinare l'equazione delle altre orbite, per le quali $ c_1!=0 $ e $ c_2!=0 $, basta eliminare il tempo dalla (1.3.8), ottenendo $(y_2/c_2)^(1/lambda_2)=(y_1/c_1)^(1/lambda_1)$, ovvero
$y_2=cost|y_1|^(lambda_2/lambda_1)$
---------
E poi conclude dicendo che il ritratto in fase sarà formato da rami di curve simili a parabole o iperboli a seconda dei casi.
Ora io fino a (*) credo di aver capito che nel caso generico, l'origine è l'unico equilibrio perchè $((0),(0))$ annulla l'equazione $A\bar{z}=0$. Ovvero, nel peggiore dei casi si ha un solo equilibrio (chiaramente non sto dicendo che è l'unico caso possibile, o lo è visto che i due autovalori sono entrambi reali e diversi da zero?).
Poi le due famiglie di cui parla sono quelle per cui $c_1=0$ dalla quale si ottengono due semirette con la stessa direzione di $u_1$ e l'origine come orbite, e analogamente per $c_2=0$.
Infine guardando all'equazione che fornisce il flusso dell'equazione si ricavano le considerazioni che ha fatto sui sottospazi stabile e instabile.
Il mio problema è da quel punto in poi non ho capito più niente. In particolare non so effettuare il cambio di coordinate che dice, e non capisco tanto meno perchè considerare l'inversa di P. Forse dovuto al fatto che per l'esponenziale di una matrice diagonalizzabile vale che
$exp(tA)=Pexp(tP^(-1)AP)P^(-1)$
essendo P la matrice diagonalizzante?
Poi "cost" cosa significherebbe?
Rileggendo il testo mi è venuto un altro dubbio all'inzio quando dice: "sviluppando il dato iniziale $z_0$ [...]". Intende dire scrivendolo come combinazione lineare degli autovettori della matrice?
Grazie, Andrea.
PS: ponetemi pure qualsiasi domanda o dubbio che avete sul testo (l'ho letto ma credo di non aver fatto errori) e/o sulle mie conoscenze di algebra lineare, che ahimè sono limitate. Rimane il fatto che mi piace andare in fondo alle cose, quindi se necessario chiaramente seguirei i vostri suggerimenti su cosa andarmi a rivedere o su cosa studiare.
Sono uno studente della triennale di Fisica e avrei bisogno di alcuni chiarimenti per quanto riguarda un esempio che ho trovato sulle dispense del mio prof. di Istituzioni di Fisica Matematica.
Premetto che ho appena iniziato a studiare la materia e che le sue dispense sono parecchio lacunose di concetti che nel corso di Geometria e Algebra Lineare, vengono trattati poco e male (almeno per quanto riguarda il mio corso).
Riporto il testo dell'esempio, in seguito esprimo i miei dubbi.
Sistemi lineari in $mathbb(R)^2$: matrice diagonalizzabile, autovalori reali.
Sia $ \dot{z}=Az $ con $z\in mathbb(R)^2 $.
Caso A diagonalizzabile, autovalori reali.
Siano $ lambda_1,lambda_2 $ gli autovalori di $A$ e $ u_1,u_2 $ i relativi autovettori, linearmente indipendenti. Sviluppando il dato iniziale $z_0$ nella base costituita da $u_1$ e $u_2$ ed utilizzando la linearità di $exp(At)$ ed il fatto che se $ Au=lambdau rArr exp(tA)u=e^(lambdat)u $, si trova:
$ z_0 =c_1u_1+c_2u_2 rArr exp(tA)z_0=c_1e^(lambda_1t)u_1+c_2e^(lambda_2t)u_2$ (1.3.7)
che fornisce il flusso dell'equazione.
Caso generico. Consideriamo innanzitutto il caso generico nel quale i due autovalori reali $lambda_1$ e $lambda_2$ sono distinti e diversi da zero. La matrice è allora invertibile e l'origine è l'unico equilibrio.
La (1.3.7) implica che vi sono due speciali famiglie di soluzioni, quelle con dati iniziali sui sottospazi unidimensionali paralleli agli autovettori. Tutte queste soluzioni restano sul sottospazio dal quale partono e, se hanno dato iniziale non nullo, per $trarrinfty$ tendono all'origine se $lambda_i<0$, all'infinito se $lambda_i>0$. Ciascuno di questi sottospazi consiste dunque di tre orbite: l'origine e le due semirette, e si chiama sottospazio stabile dell'equazione se $lambda_i<0$, sottospazio instabile se $lambda_i>0$. (*, ndr)
Per completare il ritratto in fase facciamo un cambiamento di coordinate, passando alla base costituita dai due vettori $u_1$ e $u_2$. Questo si fa con l'inversa della matrice $P=[u_1,u_2]$, che diagonalizza A. Infatti, poichè $ P( (1),(0) ) = u_1 $ e $ P( (0),(1) ) = u_2 $, nelle coordinate $y=( (y_1),(y_2) ) := P^(-1)z $ il dato iniziale $z_0=c_1u_1+c_2u_2$ diviene $y_0=((c_1),(c_2))$ ed il suo evoluto è pertanto
$y(t)=P^(-1)z(t)=P^(-1)(c_1e^(lambda_1t)u_1+c_2e^(lambda_2t)u_2)=((c_1e^(lambda_1t)),(c_2e^(lambda_2t)))$. (1.3.8)
I sottospazi stabile e instabile sono ora gli assi coordinati. Per determinare l'equazione delle altre orbite, per le quali $ c_1!=0 $ e $ c_2!=0 $, basta eliminare il tempo dalla (1.3.8), ottenendo $(y_2/c_2)^(1/lambda_2)=(y_1/c_1)^(1/lambda_1)$, ovvero
$y_2=cost|y_1|^(lambda_2/lambda_1)$
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E poi conclude dicendo che il ritratto in fase sarà formato da rami di curve simili a parabole o iperboli a seconda dei casi.
Ora io fino a (*) credo di aver capito che nel caso generico, l'origine è l'unico equilibrio perchè $((0),(0))$ annulla l'equazione $A\bar{z}=0$. Ovvero, nel peggiore dei casi si ha un solo equilibrio (chiaramente non sto dicendo che è l'unico caso possibile, o lo è visto che i due autovalori sono entrambi reali e diversi da zero?).
Poi le due famiglie di cui parla sono quelle per cui $c_1=0$ dalla quale si ottengono due semirette con la stessa direzione di $u_1$ e l'origine come orbite, e analogamente per $c_2=0$.
Infine guardando all'equazione che fornisce il flusso dell'equazione si ricavano le considerazioni che ha fatto sui sottospazi stabile e instabile.
Il mio problema è da quel punto in poi non ho capito più niente. In particolare non so effettuare il cambio di coordinate che dice, e non capisco tanto meno perchè considerare l'inversa di P. Forse dovuto al fatto che per l'esponenziale di una matrice diagonalizzabile vale che
$exp(tA)=Pexp(tP^(-1)AP)P^(-1)$
essendo P la matrice diagonalizzante?
Poi "cost" cosa significherebbe?
Rileggendo il testo mi è venuto un altro dubbio all'inzio quando dice: "sviluppando il dato iniziale $z_0$ [...]". Intende dire scrivendolo come combinazione lineare degli autovettori della matrice?
Grazie, Andrea.
PS: ponetemi pure qualsiasi domanda o dubbio che avete sul testo (l'ho letto ma credo di non aver fatto errori) e/o sulle mie conoscenze di algebra lineare, che ahimè sono limitate. Rimane il fatto che mi piace andare in fondo alle cose, quindi se necessario chiaramente seguirei i vostri suggerimenti su cosa andarmi a rivedere o su cosa studiare.
Risposte
"cost" starebbe per "costante". Comunque, io posterei nel forum di Analisi 
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