Filo carico davanti a piano conduttore

[Cosmoi]

Salve, ho risolto questo esercizio di Fisica II ma non sono del tutto sicuro di averlo svolto correttamente, vi chiedo quindi un controllo per segnalarmi eventuali errori, grazie in anticipo!

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(a)
Procederei con il metodo delle cariche immagini: supponiamo quindi di avere una seconda distribuzione di carica lineare \(\displaystyle \lambda'=-\lambda \) posta a distanza \(\displaystyle -d \) dall'origine del sistema di riferimento e quindi simmetrica alla distribuzione di carica data. Per un punto \(\displaystyle P=(x;y;z) \) qualsiasi dello spazio, abbiamo il seguente potenziale elettrostatico:

\(\displaystyle V_{0}(P)={\lambda \over 4\pi \epsilon_{0}}[{1 \over ((x+d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}} - {1 \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{1\over 2}}}] \)

Tramite la relazione \(\displaystyle \overline{E} = -\overline{\bigtriangledown}(V_{0}) \) otteniamo:

\(\displaystyle E_{x} = -{\partial V_{0} \over \partial x} ={\lambda \over 4\pi \epsilon_{0}}[{x+d \over ((x+d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - {x-d \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}] \)
\(\displaystyle E_{y} = -{\partial V_{0} \over \partial y}={\lambda \over 4\pi \epsilon_{0}} [{y \over ((x+d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - {y \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}] \)
\(\displaystyle E_{z} = -{\partial V_{0} \over \partial z} ={\lambda \over 4\pi \epsilon_{0}}[{z \over ((x+d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - {z\over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}]\)

Direi quindi di aver risposto alla prima richiesta avendo determinato la componente x del campo elettrico totale ed il valore del campo lungo x per un punto del piano conduttore.

Per un qualsiasi punto \(\displaystyle P = (0; y ;z) \) del piano conduttore, il campo elettrico è diretto lungo l'asse x e vale:

\(\displaystyle \overline{E}(P) = \overline{E}_{x}(P) = {\lambda \over 2\pi \epsilon_{0}}[{+d \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}]\hat{i} \)

(b)
Per determinare la forza che si esercita su un tratto di filo, consideriamo anzitutto la definizione di densità di carica lineare per individuare la quantità di carica contentuta nel tratto \(\displaystyle L \) del filo:

\(\displaystyle {dQ \over L} = \lambda \Rightarrow dQ= \lambda \cdot L \)

La forza elettrostatica che si eserciterà su un tratto di filo \(\displaystyle L \) sarà:

\(\displaystyle \overline{F}_{e} = dQ \overline{E} \)

Il campo elettrico da considerare è quello generato da un filo a distanza \(\displaystyle 2d \) dall'origine:

\(\displaystyle \overline{E} = {\lambda \over \pi \epsilon_{0}}{d \over (4d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}\hat{i} \)

Dunque:

\(\displaystyle \overline{F}_{e} = {\lambda^{2}L d \over \pi \epsilon_{0} (4d^{2} + y^{2} +z^{2})^{{3\over 2}}}\hat{i} \)

(c)
Per determinare infine la distribuzione di cariche sul piano metallico (x=0) , procederei così, tenendo conto del teorema di Coulomb:

\(\displaystyle \overline{E} = {\sigma \hat{n} \over \epsilon_{0}} \)

Nel nostro caso avremo quindi la seguente espressione per la densità di carica superficiale sul piano metallico:

\(\displaystyle \sigma = \sigma (0;y;z) = -\epsilon_{0} E_{0x} =-{\lambda \over 2\pi }[{+d \over (d^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}}] \)

Sto sbagliando qualcosa? Un mega grazie in anticipo per l'aiuto!

[mgrau]

1) cambia il titolo, che non c'entra niente col problema
2) cosa tiri in ballo y e z, se ti chiede il campo sull'asse x? E comunque, campo e potenziale non dipendono da y
3) e, allo stesso modo, la distribuzione di carica sul piano dipende solo da z, per cui anche qui la y mi suona male

[Cosmoi]

Ciao, ho cambiato il titolo che avevo sbagliato a scriverlo. Per quanto riguarda campo e potenziale ho seguito il metodo delle cariche immagine, imponendo la condizione per il potenziale che risultasse nullo sul piano e considerando un sistema di assi carteziani xyz. Se non è corretto quello che ho fatto, vorrei capire come portare avanti l'esercizio e dove ho sbagliato.

Ho provato anche così: sempre con il metodo delle cariche immagini supponiamo la presenza di un secondo filo carico, parallelo al primo e posto nella posizione \(\displaystyle (-d;0;0) \), dotato di densità di carica \(\displaystyle \lambda'=-\lambda \). Consideriamo poi un sistema di coordinate cilindriche con asse z coincidente con l'asse del filo carico con densità \(\displaystyle \lambda \) ed un generico punto dello spazio individuato dal vettore \(\displaystyle \overline{r} \) rispetto al filo. Per il teorema di Guass, otteniamo il seguente valore del campo elettrico per filo carico positivamente:

\(\displaystyle \Phi(\overline{E}_{+}) = E(r) 2\pi r h = {\lambda h \over \epsilon_{0}} \Rightarrow E_{+}(r) = +{\lambda \over 2 \pi \epsilon_{0} r} \)

Analogalmente possiamo fare per il filo immagine:

\(\displaystyle \Phi(\overline{E}_{-}) = E(r) 2\pi r h = {\lambda' h \over \epsilon_{0}} \Rightarrow E_{-}(r) = -{\lambda \over 2 \pi \epsilon_{0} r} \)

A questo punto possiamo affermare che sul piano conduttore il campo totale varrà:

\(\displaystyle \overline{E} = {\lambda \over 2 \pi \epsilon_{0} d} +{-\lambda \over 2\pi \epsilon_{0} (-d)} = {\lambda \over \pi \epsilon_{0} d} \)

[mgrau]

Va bene usare il metodo delle cariche immagine, quindi al posto del piano ci metti un filo simmetrico al di là del piano.
A questo punto, visto che ti chiede il campo sull'asse x, e visto che il campo prodotto da un filo è noto, che motivo c'è di passare dal potenziale? Se consideri un punto di coordinate $x;0;0$ questo si trova a distanza $d - x$ dal primo filo, e $d+x$ dal secondo. Basta sommare i due contributi.

La forza sul filo. Visto che questa è come quella dovuta al filo fantasma, e il campo di questo è noto, la distanza dei fili è $2d$ ...

La distribuzione delle cariche sul piano, ossia il valore del campo sul piano. Anche questo, è quello dovuto ai due fili, La distanza di un punto di coordinate $0,0,z$ dai fili è $sqrt(d^2+z^2)$, va presa solo la componente diretta come $x$, quindi va introdotto un fattore $d/sqrt(d^2+z^2)$, e i due contributi sono uguali.

La cosa che ti facevo notare è che non c'è dipendenza da $y$. Tutto il sistema è invariante per traslazione lungo $y$, quindi non può esserci $y$ in nessuno dei risultati.

[Cosmoi]

Anzitutto ti ringrazio per la risposta. Per quanto riguarda il passaggio dal potenziale è solo per soddisfare la condizione che il potenziale sul piano conduttore sia effettivamente nullo. Appurato che non c'è alcuna dipendenza da \(\displaystyle y \), ottengo la seguente espressione per il potenziale:

\(\displaystyle V_{0}(x;z) = {\lambda\over 4\pi \epsilon_{0}}[{1 \over ((x+d)^{2} + z^{2})^{1\over 2}} + {1 \over ((x-d)^{2} + z^{2})^{1\over 2}}] \)

Da questa espressione ricavo il campo elettrico:

\(\displaystyle \overline{E}_{x} = -{\partial V_{0} \over \partial x} = {\lambda \over 4\pi\epsilon_{0}}[{x+d\over ((x+d)^{2} + z^{2})^{3\over 2}} - {x-d\over ((x-d)^{2} + z^{2})^{3\over 2}}] \hat{i}\)
\(\displaystyle \overline{E}_{y} = -{\partial V_{0} \over \partial y} =0 \)
\(\displaystyle \overline{E}_{z} = -{\partial V_{0} \over \partial z}= {\lambda \over 4\pi\epsilon_{0}}[{z\over ((x+d)^{2} + z^{2})^{3\over 2}} - {z\over ((x-d)^{2} + z^{2})^{3\over 2}})]\hat{k} \)

Dunque:

\(\displaystyle \overline{E} = {\lambda \over 4\pi\epsilon_{0}}[({x+d\over ((x+d)^{2} + z^{2})^{3\over 2}} - {x-d\over ((x-d)^{2} + z^{2})^{3\over 2}}) \hat{i} + ({z\over ((x+d)^{2} + z^{2})^{3\over 2}} - {z\over ((x-d)^{2} + z^{2})^{3\over 2}} )\hat{k} ] \)


Per un punto \(\displaystyle P=(0;y;z) \) che appartiene al piano conduttore, si ha:

\(\displaystyle \overline{E}(P) = {\lambda \over 4\pi\epsilon_{0}}[({0+d\over ((0+d)^{2} + z^{2})^{3\over 2}} - {0-d\over ((0-d)^{2} + z^{2})^{3\over 2}}) \hat{i} + ({z\over ((0+d)^{2} + z^{2})^{3\over 2}} - {z\over ((0-d)^{2} + z^{2})^{3\over 2}} )\hat{k} ] = \)
\(\displaystyle ={\lambda \over 4\pi\epsilon_{0}}[{2d \over (d^{2} + z^{2})^{3\over 2}} \hat{i}+0\hat{k}] = {\lambda d \over 2\pi\epsilon_{0} (d^{2} + z^{2})^{3\over 2}}\hat{i} \)

Per un punto \(\displaystyle P'=(x;0;0) \) giacente sull'asse x, si ha invece:

\(\displaystyle \overline{E}(P') = {\lambda \over 4\pi\epsilon_{0}}[({x+d\over ((x+d)^{2} + 0^{2})^{3\over 2}} - {x-d\over ((x-d)^{2} + 0^{2})^{3\over 2}}) \hat{i} + ({0\over ((x+d)^{2} + 0^{2})^{3\over 2}} - {0\over ((x-d)^{2} + 0^{2})^{3\over 2}} )\hat{k} ] = {\lambda \over 4\pi\epsilon_{0}}[{1 \over (x+d)^{2}} -{1 \over (x-d)^{2}}]\hat{i} =-{\lambda xd \over \pi\epsilon_{0} ((x^{2}-d^{2})^{2}}\hat{i}\)

Quello che vorrei capire è: che errori sto commettendo se svolgo l'esercizio così? Ossia considerando il sistema di coordinate xyz come in figura.
Se invece calcolassi il campo elettrico generato dal filo tramite il teorema di Gauss, otterrei rispettivamente per il filo reale ed il filo immagine:

\(\displaystyle E_{R}(r) = {\lambda \over 2\pi \epsilon_{0} r} \)
\(\displaystyle E_{i}(r) = -{\lambda \over 2 \pi \epsilon_{0}r} \)

dove \(\displaystyle r=\sqrt{((x+d)^{2} + z^{2}} \) per il filo reale, mentre per quello immagine \(\displaystyle r=\sqrt{(x-d)^{2} + z^{2}} \)

Da queste espressioni però otterrei che il campo elettrico sul piano conduttore è nullo e ciò è sbagliato. Dove sto sbagliando qua?

[mgrau]

"Cosmoi":
Per un punto \(\displaystyle P'=(x;0;0) \) giacente sull'asse x, si ha invece:

\(\displaystyle \overline{E}(P') = {\lambda \over 4\pi\epsilon_{0}}[({x+d\over ((x+d)^{2} + 0^{2})^{3\over 2}} - {x-d\over ((x-d)^{2} + 0^{2})^{3\over 2}}) \hat{i} + ({0\over ((x+d)^{2} + 0^{2})^{3\over 2}} - {0\over ((x-d)^{2} + 0^{2})^{3\over 2}} )\hat{k} ] = {\lambda \over 4\pi\epsilon_{0}}[{1 \over (x+d)^{2}} -{1 \over (x-d)^{2}}]\hat{i} =-{\lambda xd \over \pi\epsilon_{0} ((x^{2}-d^{2})^{2}}\hat{i}\)

Il campo sull'asse $x$ (guardiamo la seconda espressione $lambda/(4piepsi_0)(1/(x+d)^2 - 1/(x-d)^2)$, non mi quadra, visto che il campo prodotto da un filo non contiene distanze al quadrato al denominatore

"Cosmoi":

Se invece calcolassi il campo elettrico generato dal filo tramite il teorema di Gauss, otterrei rispettivamente per il filo reale ed il filo immagine:

\(\displaystyle E_{R}(r) = {\lambda \over 2\pi \epsilon_{0} r} \)
\(\displaystyle E_{i}(r) = -{\lambda \over 2 \pi \epsilon_{0}r} \)

dove \(\displaystyle r=\sqrt{((x+d)^{2} + z^{2}} \) per il filo reale, mentre per quello immagine \(\displaystyle r=\sqrt{(x-d)^{2} + z^{2}} \)

Da queste espressioni però otterrei che il campo elettrico sul piano conduttore è nullo

Perchè? Guarda che, sul piano, i contributi dei due fili sono uguali e si sommano, non si sottraggono.

[Cosmoi]

Allora anche a me non torna che venga una distanza al quadrato al denominatore, tuttavia seguendo i passaggi a partire dal potenziale e calcolando poi il campo in un punto di coordinate (x;0;0), ottengo quell'espressione, non mi pare di aver commesso errori nei calcoli.

Per quanto riguarda la somma dei due contributi, come fanno a sommarsi e non sottrarsi, visto che il filo immagine ha densità di carica \(\displaystyle \lambda'=-\lambda \) che rende negativo il modulo del campo elettrico?

[mgrau]

"Cosmoi":
Per quanto riguarda la somma dei due contributi, come fanno a sommarsi e non sottrarsi, visto che il filo immagine ha densità di carica \(\displaystyle \lambda'=-\lambda \) che rende negativo il modulo del campo elettrico?

Perchè il filo immagine è dall'altra parte del piano...

[Cosmoi]

Ok, ho trovato anche l'errore relativo al potenziale che avevo fatto. Il potenziale di un filo carico ha la seguente espressione:

\(\displaystyle V_{0} = -\int_{r_{0}}^{r} E(r) dr = -{\lambda \over 2\pi \epsilon_{0}}ln({r\over r_{0}}) \)

Quindi se volessi scrivere la relazione in coordinate cartesiane che soddisfi la condizione che il potenziale sul piano conduttore sia nullo, dovrei partire dalla relazione appena scritta e non da quella che avevo usato.
Considerando quindi il teorema di Gauss per determinare il campo elettrico generato da un filo carico, otteniamo come detto in precedenza:

\(\displaystyle \Phi(\overline{E}_{R}) = E_{R}(r) 2\pi r h = {\lambda h\over \epsilon_{0}} \Rightarrow \overline{E_{R}}(r) = \hat{r}{\lambda \over 2\pi \epsilon_{0} r} \) := Campo elettrico radiale filo reale.
\(\displaystyle \Phi(\overline{E}_{i}) = E_{i}(r) 2\pi r h = {\lambda' h\over \epsilon_{0}} \Rightarrow \overline{E_{i}}(r) = -\hat{r}{(-\lambda) \over 2\pi \epsilon_{0} r} \):= Campo elettrico radiale filo immagine.

Ora, una volta determinate le espressione dei due campi, potrò sicuramente fare una serie di osservazioni: anzitutto il campo elettrico generato dal filo reale sarà diretto in direzione radiale verso l'esterno, mentre quello generato dal filo immagine sarà sempre radiale ma diretto verso il filo stesso. Quindi rispetto all'asse \(\displaystyle x \) avrò che il campo elettrico del filo reale per \(\displaystyle x>d \) avrà verso concorde con quello dell'asse \(\displaystyle x \), per \(\displaystyle 0 Rispetto quindi all'asse \(\displaystyle x \) possiamo dedurre che il campo elettrico è \(\displaystyle >0 \) per \(\displaystyle x<-d \), \(\displaystyle <0 \) per \(\displaystyle -dd \).

Quello che non riesco a capire nella richiesta dell'esercizio è: come faccio a determinare un'espressione del campo lungo l'asse x? Dall'espressione che dovrei ottenere, dovrei ricavare appunto l'andamento del campo lungo l'asse x a conferma delle considerazioni fatte in prededenza. Non riesco però a trovare un modo di esprimere il vettore \(\displaystyle \overline{r} \) in coordinate cartesiane, se infatti scrivessi che, nel caso del filo reale, \(\displaystyle r = \sqrt{(x-d)^{2} + z^{2}} \) e \(\displaystyle r=\sqrt{(x+d)^{2} + z^{2}} \) per il filo immagine, avrei in un punto \(\displaystyle P=(0;y;z) \) del piano conduttore che, rispetto all'asse x:

\(\displaystyle \overline{E_{tot,x}}= \overline{E_{r,x}}+ \overline{E_{i,x}}= {+\lambda \over 2\pi \epsilon_{0} \sqrt{(0-d)^{2} + z^{2}}}(-\hat{i}) +{-\lambda \over 2\pi \epsilon_{0} \sqrt{(0+d)^{2} + z^{2}}}(-\hat{i}) =0 \)
che sappiamo non essere possibile, dove sto sbagliando? Il termine del filo immagine ha la densità di carica negativa ed il versore negativo per \(\displaystyle -d

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[mgrau]

"Cosmoi":Considerando quindi il teorema di Gauss per determinare il campo elettrico generato da un filo carico, otteniamo come detto in precedenza:

\(\displaystyle \Phi(\overline{E}_{R}) = E_{R}(r) 2\pi r h = {\lambda h\over \epsilon_{0}} \Rightarrow \overline{E_{R}}(r) = \hat{r}{\lambda \over 2\pi \epsilon_{0} r} \) := Campo elettrico radiale filo reale.
\(\displaystyle \Phi(\overline{E}_{i}) = E_{i}(r) 2\pi r h = {\lambda' h\over \epsilon_{0}} \Rightarrow \overline{E_{i}}(r) = -\hat{r}{(-\lambda) \over 2\pi \epsilon_{0} r} \):= Campo elettrico radiale filo immagine.

Troppi segni meno nel campo del filo immagine... Deciditi: o scrivi $-hat r$ o scrivi $-lambda$

[Cosmoi]

Hai ragione te, mi stavo perdendo.
Quindi tornando all'espressione del campo con \(\displaystyle \overline{r} \) espresso in funzione di \(\displaystyle (x;z) \) si ha:

\(\displaystyle E_{R,x} = {\lambda \over 2\pi \epsilon_{0} \sqrt{(x-d)^{2} + z^{2}}} \)
\(\displaystyle E_{i,x} = {-\lambda \over 2\pi \epsilon_{0} \sqrt{(x+d)^{2} + z^{2}}} \)

Dunque in un punto del piano conduttore \(\displaystyle P=(0;y;z) \)

\(\displaystyle \overline{E_{tot,x}}(P) = \overline{E_{R,x}}(P)+ \overline{E_{i,x}}(P) = (-\hat{i}){\lambda \over 2\pi \epsilon_{0} \sqrt{(0-d)^{2} + z^{2}}} + (-\hat{i}){\lambda \over 2\pi \epsilon_{0} \sqrt{(x+d)^{2} + z^{2}}}=(-\hat{i}){\lambda \over \pi \epsilon_{0} \sqrt{d^{2} + z^{2}}}\)

Come faccio a determinare l'andamento generale del campo? Cioè voglio capire come si risponde alla richiesta dell'esercizio, che espressione devo determinare per dire di aver trovato l'espressione del campo lungo l'asse x?

[mgrau]

$lambda/(2piepsi_0)(1/(x-d) - 1/(x+d))hati$