Fili Indefiniti disposti a formare un piano indefinito
Buongiorno ragazzi, avrei bisogno di una dritta su questo esercizietto.
"Tanti fili indefiniti e paralleli sono disposti uno accanto all'altro a formare un piano indefinito. Sapendo che ogni filo è percorso da corrente $I$ e che il numero di fili per unità di lunghezza è $n$, calcolare il campo magnetico in un punto $P$ esterno al piano e distante $d$ da esso"
[fcd][FIDOCAD]
FJC B 0.5
EV 19 19 21 21 0
EV 24 19 26 21 0
EV 29 19 31 21 0
EV 34 19 36 21 0
EV 39 19 41 21 0
EV 44 19 46 21 0
EV 4 19 6 21 0
EV 9 19 11 21 0
EV 14 19 16 21 0
EV 5 20 5 20 0
EV 10 20 10 20 0
EV 20 20 20 20 0
EV 15 20 15 20 0
EV 25 20 25 20 0
EV 35 20 35 20 0
EV 30 20 30 20 0
EV 40 20 40 20 0
EV 45 20 45 20 0
LI 32 13 24 13 0
FCJ 2 0 3 1 0 1
TY 27 7 4 3 0 0 0 * B
TY 37 23 4 3 0 0 0 *
LI 32 27 24 27 0
FCJ 1 0 3 1 0 1
TY 26 28 4 3 0 0 0 * B
TY 37 37 4 3 0 0 0 *
RV 37 24 18 16 2
FCJ 1 0[/fcd]
Fin qui, ci sono arrivato. Ma come faccio a calcolare il campo magnetico totale?
"Tanti fili indefiniti e paralleli sono disposti uno accanto all'altro a formare un piano indefinito. Sapendo che ogni filo è percorso da corrente $I$ e che il numero di fili per unità di lunghezza è $n$, calcolare il campo magnetico in un punto $P$ esterno al piano e distante $d$ da esso"
[fcd][FIDOCAD]
FJC B 0.5
EV 19 19 21 21 0
EV 24 19 26 21 0
EV 29 19 31 21 0
EV 34 19 36 21 0
EV 39 19 41 21 0
EV 44 19 46 21 0
EV 4 19 6 21 0
EV 9 19 11 21 0
EV 14 19 16 21 0
EV 5 20 5 20 0
EV 10 20 10 20 0
EV 20 20 20 20 0
EV 15 20 15 20 0
EV 25 20 25 20 0
EV 35 20 35 20 0
EV 30 20 30 20 0
EV 40 20 40 20 0
EV 45 20 45 20 0
LI 32 13 24 13 0
FCJ 2 0 3 1 0 1
TY 27 7 4 3 0 0 0 * B
TY 37 23 4 3 0 0 0 *
LI 32 27 24 27 0
FCJ 1 0 3 1 0 1
TY 26 28 4 3 0 0 0 * B
TY 37 37 4 3 0 0 0 *
RV 37 24 18 16 2
FCJ 1 0[/fcd]
Fin qui, ci sono arrivato. Ma come faccio a calcolare il campo magnetico totale?
Risposte
Devi semplicemente applicare la legge della circuitazione di Ampere. 
Ciao Renzo, a quale superficie applico dunque il teorema di Ampere?
Una circuitazione non si applica a una superficie. 
"MrEngineer":
Tanti fili indefiniti e paralleli sono disposti uno accanto all'altro a formare un piano indefinito. Sapendo che […] il numero di fili per unità di lunghezza è $n$ […]
E come si fa a formare un piano con una densità lineare finita?
Mi ero completamente scordato di questo quesito. A cosa applico dunque la circuitazione? :/
A quel percorso chiuso tratteggiato in rosso.
Però non conosco il valore dei lati del rettangolo..
Non serve conoscerli, considerali due generici valori $a$ e $b$.
E quindi posso scrivere che $B (2a+2b) = \mu_0 I_c$ ? Non mi convince...
"MrEngineer":
E quindi posso scrivere che $B (2a+2b) = \mu_0 I_c$ ? Non mi convince...
Concordo; non è per nulla convincente.
Se ridai un occhio alla figura, sarà evidente come riscriverla correttamente .
Se il campo generato dal filo è in ogni punto tangente alle varie circonferenze concentriche al filo, il campo in quel punto dovrebbe essere parallelo allo spostamento lungo la curva $\gamma$ che stiamo considerando. Non sto riuscendo a capire perché i lati verticali del rettangolo non vengano considerati..
[fcd][FIDOCAD]
FJC B 0.5
EV 35 19 50 34 0
EP 40 24 45 29 0
LI 45 19 30 19 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 35 24 35 35 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 41 34 54 34 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 28 50 17 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 19 38 4 3 0 0 0 * A
TY 63 37 4 3 0 0 0 * B
TY 62 11 4 3 0 0 0 * C
TY 18 11 4 3 0 0 0 * D
RV 64 37 20 16 2
FCJ 1 0[/fcd]
Forse perché, rispetto al suddetto punto $P$ che dobbiamo considerare esterno al campo, i contributi dovuti ai vettori B "verticali" si annullano tra i vari fili essendo sempre alla stessa distanza da $P$? Non lo so,non mi convince neanche questo.
[fcd][FIDOCAD]
FJC B 0.5
EV 35 19 50 34 0
EP 40 24 45 29 0
LI 45 19 30 19 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 35 24 35 35 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 41 34 54 34 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 28 50 17 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 19 38 4 3 0 0 0 * A
TY 63 37 4 3 0 0 0 * B
TY 62 11 4 3 0 0 0 * C
TY 18 11 4 3 0 0 0 * D
RV 64 37 20 16 2
FCJ 1 0[/fcd]
Forse perché, rispetto al suddetto punto $P$ che dobbiamo considerare esterno al campo, i contributi dovuti ai vettori B "verticali" si annullano tra i vari fili essendo sempre alla stessa distanza da $P$? Non lo so,non mi convince neanche questo.
"MrEngineer":
... Forse perché, ... i contributi dovuti ai vettori B "verticali" si annullano tra i vari fili ...
Esatto.
Che il campo B abbia solo componente orizzontale è ovviamente un'approssimazione, ad ogni modo, se la accettiamo (e non possiamo far altro per rispondere), i lati che danno contributo non nullo alla circuitazione sono solo quelli orizzontali.
Quindi avremmo, chiamando $l$ il lato orizzontale del rettangolo :
$Bl + Bl = \mu_0 I_c$.
Se $n$ è il numero di fili per unità di lunghezza, vuol dire che $n = N/l$ ovvero $N = nl$ dunque:
$2Bl = \mu_0 N I = \mu_0 nl$ da cui
$B = 1/2 \mu_0 nI$.
Dico bene?
$Bl + Bl = \mu_0 I_c$.
Se $n$ è il numero di fili per unità di lunghezza, vuol dire che $n = N/l$ ovvero $N = nl$ dunque:
$2Bl = \mu_0 N I = \mu_0 nl$ da cui
$B = 1/2 \mu_0 nI$.
Dico bene?
Dici bene!
Grande! Grazie mille Renzo 
Questo problema mi ha fatto venire in mente il campo all'interno di un solenoide rettilineo indefinito. E questo pensiero mi ha portato alla seguente domanda:
se ho un solenoide formato da $N$ spire avvolte attorno ad un asse e volessi calcolare il flusso del campo magnetico (che come sappiamo all'interno del solenoide sarà uniforme e diretto come l'asse), se il solenoide ha lunghezza $L$ ed è formato da spire $N$ allora il flusso è il flusso concatenato alle $N$ spire, giusto?
Dunque:
$\phi_{"Sol"}(vecB) = N int_(\Sigma) vecB \cdot \hat{u}_N\ d\Sigma $
dove $\hat{u}_N$ è il versore normale alla superficie $\Sigma$.
Se invece il solenoide è indefinito, con $N$ spire per unità di lunghezza, allora ovviamente il flusso sarà semplicemente
$\phi_{"Sol"}(vecB) = int_(\Sigma) vecB \cdot \hat{u}_N\ d\Sigma $
Corretto?
Se non sono stato chiaro porto due esempi. Se ho un solenoide lungo $L$, con $N$ spire, per calcolare l'induttanza tengo conto del fatto che $\phi_T = Li$, dunque $L = \phi_T / i$.
Pertanto, per una spira:
$\phi = B \Sigma = \mu_0N/Li\Sigma$
E per le $N$ spire:
$phi_T = N \phi = \mu_0N^2/Li\Sigma$
da cui:
$L = \phi_T / i = \mu_0N^2/L\Sigma$ che è la relazione (suppongo nota ai più) per calcolare l'induttanza di un solenoide lungo $L$ e con $N$ spire di area $\Sigma$.
Se considerassi invece un solenoide infinito (con $n$ spire al metro di raggio $r$) percorso da una corrente $I$ allora il flusso sarebbe semplicemente
$\phi_T = \mu_0 n I$
giusto?
se ho un solenoide formato da $N$ spire avvolte attorno ad un asse e volessi calcolare il flusso del campo magnetico (che come sappiamo all'interno del solenoide sarà uniforme e diretto come l'asse), se il solenoide ha lunghezza $L$ ed è formato da spire $N$ allora il flusso è il flusso concatenato alle $N$ spire, giusto?
Dunque:
$\phi_{"Sol"}(vecB) = N int_(\Sigma) vecB \cdot \hat{u}_N\ d\Sigma $
dove $\hat{u}_N$ è il versore normale alla superficie $\Sigma$.
Se invece il solenoide è indefinito, con $N$ spire per unità di lunghezza, allora ovviamente il flusso sarà semplicemente
$\phi_{"Sol"}(vecB) = int_(\Sigma) vecB \cdot \hat{u}_N\ d\Sigma $
Corretto?
Se non sono stato chiaro porto due esempi. Se ho un solenoide lungo $L$, con $N$ spire, per calcolare l'induttanza tengo conto del fatto che $\phi_T = Li$, dunque $L = \phi_T / i$.
Pertanto, per una spira:
$\phi = B \Sigma = \mu_0N/Li\Sigma$
E per le $N$ spire:
$phi_T = N \phi = \mu_0N^2/Li\Sigma$
da cui:
$L = \phi_T / i = \mu_0N^2/L\Sigma$ che è la relazione (suppongo nota ai più) per calcolare l'induttanza di un solenoide lungo $L$ e con $N$ spire di area $\Sigma$.
Se considerassi invece un solenoide infinito (con $n$ spire al metro di raggio $r$) percorso da una corrente $I$ allora il flusso sarebbe semplicemente
$\phi_T = \mu_0 n I$
giusto?
"MrEngineer":
... se il solenoide ha lunghezza $L$ ed è formato da spire $N$ allora il flusso è il flusso concatenato alle $N$ spire, giusto?
Diciamo che se il solenoide è di lunghezza finita è un'approssimazione accettabile solo se il solenoide è "lungo", che tradotto significa che la lunghezza sia di almeno un ordine di grandezza superiore al suo diametro.
"MrEngineer":
... Se invece il solenoide è indefinito, con $N$ spire per unità di lunghezza, allora ovviamente il flusso sarà semplicemente
$\phi_{"Sol"}(vecB) = int_(\Sigma) vecB \cdot \hat{u}_N\ d\Sigma $
Corretto?
No, perchè questa volta hai considerato il solo "flusso", non il "flusso concatenato", che per un solenoide indefinito, sarà ... indefinito
"RenzoDF":
No, perchè questa volta hai considerato il solo "flusso", non il "flusso concatenato", che per un solenoide indefinito, sarà ... indefinito
Era quello che volevo sentirmi dire! Dunque, se indefinito, avremo:
$\phi_T = \mu_0 n I$ come detto più giù nel precedente post.
"MrEngineer":
... se indefinito, avremo:
$\phi_T = \mu_0 n I$ come detto più giù nel precedente post.
Non vedo come potrebbe.
Mi son dimenticato l'area delle spire. Chiedo venia.
$\phi_T = \mu_0nI\Sigma$
Così ?
Quando ho scritto il flusso avevo in mente il modulo del campo!
$\phi_T = \mu_0nI\Sigma$
Così ?
Quando ho scritto il flusso avevo in mente il modulo del campo!
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