Fili con carica elettrica
Ho due fili sopra i quali è incollata una distribuzione di carica lineare. I due fili tendono a respingersi. Se adesso li metto in moto con velocità $v$ la carica (adesso in movimento) diventa una corrente e quindi mi trovo nella stessa situazione di due fili percorsi da corrente. Si genera quindi un campo magnetico e per la legge di Lorentz ci sarà anche una forza attrattiva tra i due fili. È facile dimostrare che la velocità alla quale le forze elettriche di repulsione sono in equilibrio con quelle magnetiche di attrazione è precisamente la velocità della luce. Quello che non mi torna tanto è che se mi metto nel sistema di riferimento solidale con un filo che si muove, io non dovrei vedere nessun movimento e quindi non dovrebbe esserci nessuna forza magnetica... Non so se mi sono spiegato.
Risposte
Ciao dRic. Da' un'occhiata a questa vecchia discussione, forse ci trovi qualche spunto :
viewtopic.php?f=19&t=168123&hilit=mgrau#p8244535
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Ciao Shakle, grazie della risposta. Scusami ma non ci ho capito molto, poi la rileggerò, magari quando sarà più lucido. Comunque secondo me il mio dubbio è molto più semplice (e stupido).
Prendiamo due fili paralleli con sopra una distribuzione di carica lineare e mettiamoli in movimento con la stessa velocità. Siccome la velocità è la stessa se mi metto nel SdR solidale con essi i fili mi appariranno fermi. Ma sei i fili sono fermi allora niente forza di Lorentz... Forza che però osserverei se mi mettessi in un SdR "fermo" (in cui vedo i fili muoversi pralleli con velocità $v$).
Prendiamo due fili paralleli con sopra una distribuzione di carica lineare e mettiamoli in movimento con la stessa velocità. Siccome la velocità è la stessa se mi metto nel SdR solidale con essi i fili mi appariranno fermi. Ma sei i fili sono fermi allora niente forza di Lorentz... Forza che però osserverei se mi mettessi in un SdR "fermo" (in cui vedo i fili muoversi pralleli con velocità $v$).
Purtroppo devo confessare che non ho più molta dimestichezza con l'elettromagnetismo, troppi anni sono passati dagli studi universitari. Però qualcosa posso dirtela.
Prima di tutto, non puoi supporre di viaggiare a $c$ , nessun corpo materiale può . In secondo luogo, quando hai a che fare con velocità prossime a $c$ la relatività c'entra sempre , e la descrizione corretta dei fenomeni elettromagnetici non è cosí semplice. I vettori $vecE$ e $vecB$ si trasformano , tra riferimenti in moto relativo, secondo precise regole, che puoi trovare in un corso di elettromagnetismo laddove si prendono in considerazione effetti relativistici . I campi elettrico e magnetico sono "intrecciati" , e solo con la relatività si arriva a trattarli in maniera adeguata.
Ricordo di aver letto , in qualche libro divulgativo, che Einstein fin da ragazzo si poneva questa domanda : se viaggio a fianco di un'onda elettromagnetica ( quindi a velocità c, ma anche lui era un ragazzo e non aveva ancora scoperto la RR , cominciava a ragionarci
) , non dovrei vedere l'onda "ferma" rispetto a me ?
La risposta venne molti anni dopo. Se un osservatore viaggia a velocità $0.9c$ in un certo riferimento inerziale, e ha con sè una torcia elettrica con cui proietta un fascio di luce in avanti , vedrà la luce viaggiare a $0.1c$ rispetto a lui ? Niente affatto . La composizione relativistica delle velocità , se $c$ è una delle due , porta dire che la luce ha ancora velocità $c$ rispetto a chi porta la torcia , e questa non è altro che l'affermazione della costanza di $c$ in tutti i riferimenti inerziali .
Per quanto riguarda i fenomeni elettrici e magnetici, che presentano delle discrepanze da un punto di vista classico se osservati da riferimenti in moto relativo , ti ricordo che nel suo articolo " Sull'elettrodinamica dei corpi in moto" , che trovi tranquillamente in rete ( è un articolo matematicamente difficile!) Einstein mise in luce la discrepanza che c'è tra detti fenomeni , e propose la soluzione proprio sconvolgendo i concetti , fino ad allora accettati, di tempo e spazio assoluti . Allego due pagine del libro di Vincenzo Barone "Relatività" , dove trovi descritta l'osservazione di E. posta all'inizio del suo articolo:
Per ultimo, se vuoi un buon libro di elettrodinamica , dove c'è un bel capitolo dedicato alla trattazione dei fenomeni elettromagnetici in relatività , cerca questo : "Tao - classical electrodynamics" , oltre al classico Jackson , e altri naturalmente .
Prima di tutto, non puoi supporre di viaggiare a $c$ , nessun corpo materiale può . In secondo luogo, quando hai a che fare con velocità prossime a $c$ la relatività c'entra sempre , e la descrizione corretta dei fenomeni elettromagnetici non è cosí semplice. I vettori $vecE$ e $vecB$ si trasformano , tra riferimenti in moto relativo, secondo precise regole, che puoi trovare in un corso di elettromagnetismo laddove si prendono in considerazione effetti relativistici . I campi elettrico e magnetico sono "intrecciati" , e solo con la relatività si arriva a trattarli in maniera adeguata.
Ricordo di aver letto , in qualche libro divulgativo, che Einstein fin da ragazzo si poneva questa domanda : se viaggio a fianco di un'onda elettromagnetica ( quindi a velocità c, ma anche lui era un ragazzo e non aveva ancora scoperto la RR , cominciava a ragionarci
) , non dovrei vedere l'onda "ferma" rispetto a me ? La risposta venne molti anni dopo. Se un osservatore viaggia a velocità $0.9c$ in un certo riferimento inerziale, e ha con sè una torcia elettrica con cui proietta un fascio di luce in avanti , vedrà la luce viaggiare a $0.1c$ rispetto a lui ? Niente affatto . La composizione relativistica delle velocità , se $c$ è una delle due , porta dire che la luce ha ancora velocità $c$ rispetto a chi porta la torcia , e questa non è altro che l'affermazione della costanza di $c$ in tutti i riferimenti inerziali .
Per quanto riguarda i fenomeni elettrici e magnetici, che presentano delle discrepanze da un punto di vista classico se osservati da riferimenti in moto relativo , ti ricordo che nel suo articolo " Sull'elettrodinamica dei corpi in moto" , che trovi tranquillamente in rete ( è un articolo matematicamente difficile!) Einstein mise in luce la discrepanza che c'è tra detti fenomeni , e propose la soluzione proprio sconvolgendo i concetti , fino ad allora accettati, di tempo e spazio assoluti . Allego due pagine del libro di Vincenzo Barone "Relatività" , dove trovi descritta l'osservazione di E. posta all'inizio del suo articolo:
Per ultimo, se vuoi un buon libro di elettrodinamica , dove c'è un bel capitolo dedicato alla trattazione dei fenomeni elettromagnetici in relatività , cerca questo : "Tao - classical electrodynamics" , oltre al classico Jackson , e altri naturalmente .
Mhm io non so nulla di elettrodinamica relativistica quindi non so bene come comportarmi. Il Jackson lo ho preso in biblioteca, ma sono restio ad usarlo perché è troppa matematica e troppa poca fisica. Comunque questo grattacapo mi è venuto studiando un esercizio che avevo trovato in un libro e nel testo dell'esercizio c'è proprio scritto di non fasciarsi la testa con la relatività speciale perché non serve... Se vuoi posto l'esercizio
Posta pure se vuoi, ma non ti garantisco una risposta. Qui ci sono altri che ne sanno più di me, magari hanno una risposta ad hoc.
Fasciarsi la testa con la relatività, non serve? Beh, in una situazione come quella descritta, se la velocità delle cariche, quindi dei fili nel tuo caso, è piccola rispetto a c , si può adottare la semplificazione classica. Se però ,come dici :
allora mi pare che la relatività c'entri , anche se non so come. Arrivare "classicamente" a $c$ può essere pericoloso.
Ad ogni buon fine, una fasciatura preventiva di RR può essere utile, per evitare di spaccarsi il cranio nel momento della caduta
Sappia quell’autore che l’elettrodinamica è una teoria perfettamente relativistica.
Fasciarsi la testa con la relatività, non serve? Beh, in una situazione come quella descritta, se la velocità delle cariche, quindi dei fili nel tuo caso, è piccola rispetto a c , si può adottare la semplificazione classica. Se però ,come dici :
È facile dimostrare che la velocità alla quale le forze elettriche di repulsione sono in equilibrio con quelle magnetiche di attrazione è precisamente la velocità della luce.
allora mi pare che la relatività c'entri , anche se non so come. Arrivare "classicamente" a $c$ può essere pericoloso.
Ad ogni buon fine, una fasciatura preventiva di RR può essere utile, per evitare di spaccarsi il cranio nel momento della caduta
Sappia quell’autore che l’elettrodinamica è una teoria perfettamente relativistica.
Ora sono fuori casa e sto scrivendo con il cellulare e quindi non posso postare il testo dell'esercizio.
Il mio problema però se vogliamo è sulla legge di Lorentz. Dimentichiamo quello che ho detto sulla velocità della luce e consideriamo due cariche ferme (possono essere i due fili che ho descritto prima per rimanere nel contesto). Se sono ferme allora non c'è forza di Lorenzt, giusto? (E non c'è nessun campo magnetico in primo luogo). Ma se adesso mi metto io in movimento non dovrei vedere due cariche in movimento? E quindi non dovrei osservare una carica che genera il campo magnetico e l'altra che subisce la forza di Lorenzt ?
Controsenso
Il mio problema però se vogliamo è sulla legge di Lorentz. Dimentichiamo quello che ho detto sulla velocità della luce e consideriamo due cariche ferme (possono essere i due fili che ho descritto prima per rimanere nel contesto). Se sono ferme allora non c'è forza di Lorenzt, giusto? (E non c'è nessun campo magnetico in primo luogo). Ma se adesso mi metto io in movimento non dovrei vedere due cariche in movimento? E quindi non dovrei osservare una carica che genera il campo magnetico e l'altra che subisce la forza di Lorenzt ?
Controsenso
"dRic":
Ora sono fuori casa e sto scrivendo con il cellulare e quindi non posso postare il testo dell'esercizio.
Il mio problema però se vogliamo è sulla legge di Lorentz. Dimentichiamo quello che ho detto sulla velocità della luce e consideriamo due cariche ferme (possono essere i due fili che ho descritto prima per rimanere nel contesto). Se sono ferme allora non c'è forza di Lorentz, giusto? (E non c'è nessun campo magnetico in primo luogo).
Non c'è la parte magnetica della forza di Lorentz : $ q( vecvtimesvecB) $ . Però c'è la parte elettrica $qvecE$ .
Ma se adesso mi metto io in movimento non dovrei vedere due cariche in movimento? E quindi non dovrei osservare una carica che genera il campo magnetico e l'altra che subisce la forza di Lorentz?
Controsenso
Se ti metti in movimento relativamente alle cariche, direi di sí , c'è la forza di Lorentz [nota]Salvo mia cantonata, chiedo ai più esperti.[/nota]. Ma perché dici che c'è controsenso ? LA situazione di quiete rispetto alle cariche è diversa dalla situazione di moto , ti sembra ? Io non vedo il controsenso, salvo quanto ho già scritto nella nota
L'esempio del magnete e del conduttore, portato da Einstein , e riprodotto nelle pagine di V. Barone, è un controsenso , o meglio un modo di vedere le cose da due punti di vista diversi, apparentemente in contrasto. La Relatività risolve questo contrasto. Quindi, meglio una fasciatura preventiva...
Eh ma se mettendomi in moto vedo la componente di attrazione dovuta alla parte magnetica la forza totale tra i due fili è diversa perché alla forza elettrica devo aggiungere quella magnetica e quindi nel sistema di riferimento in movimento vedo una forza che da fermo non vedo...
Ho un po' modificato la risposta mentre tu scrivevi . Scusa, ma le cariche in moto generano campi, mi sembra. Ti ripeto che non sono un esperto, ma ho dato una rapida occhiata al testo che ti ho consigliato...
Sì ok, ma non capisco lo stesso. Sono io che mi muovo. Non capisco come possa misurare due forze diverse a seconda che io sia fermo o in movimento rispetto a due cariche. Mi sembra assurdo che se sto fermo misuro un certa forza mentre se mi muovo ne misuro un'altra. Magari però è normale e con la relatività si spiega tutto e io non lo so perché la relativita' non l'ho ancora affrontata.
PS. Se puoi consigliarmi un buon libro introduttivo alla relatività speciale ne sarei molto contento.
PS. Se puoi consigliarmi un buon libro introduttivo alla relatività speciale ne sarei molto contento.
Ti dico quel poco che ho capito.
Se immagini il filo come una collana di perle - dove le perle sono le cariche - quando stai fermo con i fili la densità lineare di cariche - quante per metro - determina la forza repulsiva, con la normale legge di Coulomb.
Quando sei in movimento rispetto ai fili - non importa che ti muova tu oppure i fili - la distanza fra le perle diminuisce - contrazione di Lorentz - quindi la forza repulsiva aumenta; contemporaneamente appare la forza di Lorentz, che invece attira fra di loro i fili, e sperabilmente è esattamente uguale all'aumento della forza elettrostatica. Insomma, non cambia niente, salvo i nomi che dai alle forze in gioco. I conti non li so fare, ma forse non sono difficili.
Se immagini il filo come una collana di perle - dove le perle sono le cariche - quando stai fermo con i fili la densità lineare di cariche - quante per metro - determina la forza repulsiva, con la normale legge di Coulomb.
Quando sei in movimento rispetto ai fili - non importa che ti muova tu oppure i fili - la distanza fra le perle diminuisce - contrazione di Lorentz - quindi la forza repulsiva aumenta; contemporaneamente appare la forza di Lorentz, che invece attira fra di loro i fili, e sperabilmente è esattamente uguale all'aumento della forza elettrostatica. Insomma, non cambia niente, salvo i nomi che dai alle forze in gioco. I conti non li so fare, ma forse non sono difficili.
"dRic":
Sì ok, ma non capisco lo stesso. Sono io che mi muovo. Non capisco come possa misurare due forze diverse a seconda che io sia fermo o in movimento rispetto a due cariche. Mi sembra assurdo che se sto fermo misuro un certa forza mentre se mi muovo ne misuro un'altra. Magari però è normale e con la relatività si spiega tutto e io non lo so perché la relativita' non l'ho ancora affrontata.
PS. Se puoi consigliarmi un buon libro introduttivo alla relatività speciale ne sarei molto contento.
Beh, di che ti meravigli ? Anche la forza di Lorentz, parte magnetica , dipende dalla velocità relativa tra osservatore e carica : $ q(vecv/ctimesvecB) $ , e oltretutto questa parte non compie lavoro. Senza entrare in relatività!
Leggiti bene le pagine di Barone : la discrasia dipende dalla inconciliabilità delle equazioni di Maxwell con le trasformazioni galileiane delle coordinate. Per me , c'è poco da fare : la relatività c'entra, solo con le trasformazioni di Lorentz , dove i vettori $vecE$ e $vecB$ hanno componenti che si mischiano passando da un osservatore all'altro , i problemi si risolvono.
Corso introduttivo di relatività on line : questo di Harris . Ma ce ne sono a decine. Titoli di autori italiani :
http://theory.fi.infn.it/casalbuoni/lav ... tivita.pdf
http://theory.fi.infn.it/colferai/relat ... ta_1.7.pdf
"mgrau":
Ti dico quel poco che ho capito.
Se immagini il filo come una collana di perle - dove le perle sono le cariche - quando stai fermo con i fili la densità lineare di cariche - quante per metro - determina la forza repulsiva, con la normale legge di Coulomb.
Quando sei in movimento rispetto ai fili - non importa che ti muova tu oppure i fili - la distanza fra le perle diminuisce - contrazione di Lorentz - quindi la forza repulsiva aumenta; contemporaneamente appare la forza di Lorentz, che invece attira fra di loro i fili, e sperabilmente è esattamente uguale all'aumento della forza elettrostatica. Insomma, non cambia niente, salvo i nomi che dai alle forze in gioco. I conti non li so fare, ma forse non sono difficili.
Quindi se $\lambda$ è la densità lineare di carica nel rest frame e $\lambda'$ è la densità lineare di carica nel moving frame è necessario che $\lambda != \lambda'$. Giusto ? Poi come calcolare la nuova distribuzione non ci interessa molto, ma l'importante è capire che è diversa.
"Shakle":
Per me , c'è poco da fare : la relatività c'entra,
Si, alla fine inizio a pensare che l'autore in questo caso abbia fatto cilecca... O meglio, siccome non penso proprio che sia caduto su concetti del genere, credo che, nel tentativo di voler "over-semplificare" un esercizio, si sia lasciato prendere un po' troppo la mano... E quindi ne è risultato un testo ambiguo.
Nella discussione che avemmo con mgrau, e che ho messo come link nella prima risposta, è chiarita per bene la storia della densità lineare di cariche , che aumenta solo per quelle della fila da considerare in moto relativo rispetto alla carica di prova esterna , a causa della contrazione delle lunghezze di Lorentz. La carica di prova è considerata in quiete rispetto all’ altra fila, per cui la densità di questa non cambia : dalla differenza tra le due densità deriva, secondo la RR, la forza di attrazione sulla carica di prova.
Quasi quasi ti faccio “obbligo “ di leggere quella discussione... 
, vedrai che alla fine qualcosa ci capisci !
Ero generico, ma mica poi tanto, quando ho detto che laRR c’entra. Nei fenomeni EM la relatività c’entra sempre , se non esplicitamente negli esercizi come concetti e formule da applicare, almeno come base teorica di fondo, da cui non si può prescindere.
Un esempio è sotto gli occhi: l’attrazione/ repulsione di una carica di prova da parte di un filo percorso da corrente. L’autore del testo non può ignorarlo!
...Oddio...insomma...più o meno... ... 
Quasi quasi ti faccio “obbligo “ di leggere quella discussione...
, vedrai che alla fine qualcosa ci capisci !Ero generico, ma mica poi tanto, quando ho detto che laRR c’entra. Nei fenomeni EM la relatività c’entra sempre , se non esplicitamente negli esercizi come concetti e formule da applicare, almeno come base teorica di fondo, da cui non si può prescindere.
Un esempio è sotto gli occhi: l’attrazione/ repulsione di una carica di prova da parte di un filo percorso da corrente. L’autore del testo non può ignorarlo!
...Oddio...insomma...più o meno...
...
"dRic":
Quindi se $\lambda$ è la densità lineare di carica nel rest frame e $\lambda'$ è la densità lineare di carica nel moving frame è necessario che $\lambda != \lambda'$. Giusto ? Poi come calcolare la nuova distribuzione non ci interessa molto, ma l'importante è capire che è diversa.
Sì. Considera questo esempio semplificato della tua domanda.
Un filo con densità di carica, diciamo positiva $\lambda$, ed una carica $q$ a distanza $r$. Tralascio tutte le costanti ininfluenti nelle forze e campi: la forza repulsiva che ci sarà nel SR in cui è tutto in quiete sarà $F_e=qE=q\lambda/(\epsilon r)$ ovviamente.
Ora mettiamoci in moto relativo, con velocità uniforme, rispetto al nostro sistema, tenendo l'asse di direzione della velocità parallelo al filo.
Ragioniamo in termini non relativistici: la carica sarà sottoposta sia alla forza repulsiva precedente e sia alla forza attrattiva di Lorentz $F_L=qvB$. La corrente che vediamo è $i=qnv=\lambda v$ e quindi $B=\mu i/r=\mu\lambdav/r$ e quindi ricordando che $\epsilon\mu=1/c^2$ si ha
$F_L=qv\mu\lambdav/r=(\lambdaqv^2)/(\epsilon r c^2)$ e la forza totale è
$F_e-F_L=\lambda q /(\epsilon r)(1-v^2/c^2)=\lambda q /(\epsilon r) (1/\gamma^2)$ .
E qui ovviamente casca l'asino. In due SR inerziali si hanno due forze differenti e quindi l'impulso varia in modo differente. Chi ha ragione? Ovviamente Einstein.
Ragioniamo ora in termini relativistici
Due sono gli effetti, la contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi. Quindi
$\lambda'=(q'N)/(L')=(qN)/(L/\gamma)=\lambda\gamma$ ed $\Deltat'=\Deltat\gamma$ . Qui abbiamo usato il fatto che la carica è un invariante (non la densità di carica però!)
A questo punto tutto torna, infatti il fenomeno è lo stesso in entrambi i SR.
$\Deltap=F\Deltat=q\lambda/(\epsilon r)\Deltat$
$\Deltap'=F'\Deltat'=\lambda' q /(\epsilon r) (1/\gamma^2)\Deltat'=q\lambda/(\epsilon r)\Deltat$
Come vedi non abbiamo fatto nessuna stima su quanto la velocità relativa tenda a $c$. Come ti hanno già detto, per campi elettromagnetici la relatività ci entra sempre. Gli effetti sono intrinsecamente presenti poiché per vedere il campo elettrico e magnetico come una sola entità è necessaria la relatività.
"Shakle":
che aumenta solo per quelle della fila da considerare in moto relativo rispetto alla carica di prova esterna , a causa della contrazione delle lunghezze di Lorentz. La carica di prova è considerata in quiete rispetto all’ altra fila, per cui la densità di questa non cambia
L'avevo letto, ma nel mio esempio non c'è moto relativo tra le cariche quindi ho pensato che fossero cose differenti. Mi sbagliavo.
@Nikikinki grazie mille per esserti "sporcato le mani" con i conti.
In fine grazie a tutti, credo di aver intuito la soluzione al rompicapo. Purtroppo non ho le basi in RS per approfondire ulteriormente. Spero di recuperarle il prima possibile!
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