Fascio di protoni in un campo magnetico ed elettrico

[melania.att]

Buonasera!
Non riesco a risolvere questo esercizio. Non ho proprio idea da dove partire.

Grazie in anticipo!

[ingres]

Puoi sovrapporre gli effetti del campo magnetico che provoca una traiettoria circolare nel piano xy essendo B in direzione z, e del campo elettrico E che invece genera una forza coulombiana costante e quindi un'accelerazione costante in direzione z dove anche E è rivolto.

[melania.att]

Quindi considero un campo alla volta. Per quanto riguarda il campo magnetico, mi è chiaro che, poiché B e v sono perpendicolari, la traiettoria è circolare sul piano xy. Per quanto riguarda il campo elettrico, la traiettoria che viene fuori dovrebbe essere il moto parabolico che porta i protoni verso le z crescenti, poiché la forza di coulomb ha lo stesso verso del campo elettrico. Giusto? Devo dire anche che traiettoria causano i campi insieme sui protoni?

[melania.att]

Per quanto riguarda il secondo punto dell'esercizio, ho provato ad iniziare a ragionare calcolando il raggio della traiettoria circolare ma non ho la velocità. Stessa cosa se provo a calcolare il passo. Non so proprio che ragionamento fare.

[BayMax1]

Ciao @mel e ciao anche @ingres, naturalmente.
Dato che sei bloccato ti posto lo svolgimento della seconda domanda nascosto, cosicché, se vuoi continuare a provarci, non vedrai subito la soluzione. Ad ogni modo, per quanto riguarda la prima domanda mi verrebbe da dire che il moto del fascio è un moto elicoidale, costituito da un modo circolare uniforme sul piano x-y (come hai detto tu) sommato ad un moto uniformemente accelerato lungo z, dato dalla forza elettrica dovuta all'interazione campo elettrico-fascio protoni. Per cui la proiezione nel complesso è proprio circolare sul piano x-y. Anche come dici tu, moto parabolico lungo z, se ho inteso bene, è corretto. Per quanto riguarda la seconda domanda procederei in questo modo:
per comodità eviterò la notazione vettoriale e scriverò direttamente le formule in modulo:

$F_e=qE$ e $F_L=qvB$, essendo $F_e$ forza elettrica e $F_L$ forza di Lorentz. Ora si ha che, per il moto circolare dovuto alla forza di Lorentz, $F_L=m*a_c=m*v^2/r->qvB=m*v^2/r$ da cui $v/r=(qB)/m$. Inoltre, il fascio esegue mezzo giro in metà periodo e, essendo il moto circolare uniforme, si ha: $T=(2pir)/v->t=T/2=(pir)/v$. Infine, lungo z agisce la forza elettrica per cui vale $F_e=m*a->q*E=m*a->a=(qE)/m$. Ricorrendo alla cinematica del moto uniformemente accelerato lungo z si ha: $Deltaz=1/2a*t^2=1/2*(qE)/m*(pi^2r^2)/v^2=1/2(qE)/m*pi^2*(m/(qB))^2=1/2mE*pi^2*1/(qB^2)$ e, svolgendo i calcoli, si giunge al risultato cercato.

Spero di essere stato chiaro. In caso contrario non esitare a chiedere e, come sempre,
saluti

[melania.att]

Ciao! Tutto chiarissimo. Ho giusto un dubbio.
Perché quando applichiamo la formula del moto uniformemente accelerato lungo z abbiamo solo \(\bigtriangleup x=\frac{1}{2}at^2\) e non \(\bigtriangleup x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\).
Io avevo pensato che \(v_0\) fosse diverso da 0 perché mi dice che il fascio entra nel campo con una velocità v.

[BayMax1]

Scusami se ti ho confuso, ma, per abitudine, ho scritto $Deltax$ senza nemmeno pensarci, ma ho subito corretto con $Deltaz$ perché sto studiando solo il moto e lo spostamento lungo z. In questa direzione $v_0$ è nulla perché la velocità iniziale è diretta solo lungo x e non ha componenti né lungo y né lungo z

[melania.att]

Ah giusto, non avevo proprio pensato a questa cosa.
Grazie mille a tutti per l'aiuto!

[ingres]

Ciao @BayMax