[EX] Campo nel centro di un quadrato
Ciao, amici! A tre dei vertici di un quadrato di lato $d$ si trova una carica elettrica $q$ e devo trovare il modulo del campo nel centro del quadrato: un esercizio che avrei detto imbarazzantemente semplice, ma, ancor più imbarazzantemente, non riesco a risolverlo.
Infatti, ponendo l'origine del riferimento cartesiano nel centro del quadrato con i lati paralleli agli assi e i tre vertici caricati nel primo quadrante (semiassi positivi compresi), avrei calcolato\[\mathbf{E}=-\frac{kq}{\big(\frac{d}{2}\big)^2}\mathbf{i}-\frac{kq}{\big(\frac{d}{2}\big)^2}\mathbf{j}-\frac{kq}{\big(\sqrt{2}\frac{d}{2}\big)^2}\big(\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{j}\big)\]da cui ottengo, scrivendo la costante di Coulomb $k$ come $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, $E=\frac{(2\sqrt{2}+1)q}{2\pi\varepsilon_0 d^2}$, mentre il mio libro dà come soluzione $\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 d^2}$.
Dove sbaglio?
$\infty$ grazie a tutti!
Infatti, ponendo l'origine del riferimento cartesiano nel centro del quadrato con i lati paralleli agli assi e i tre vertici caricati nel primo quadrante (semiassi positivi compresi), avrei calcolato\[\mathbf{E}=-\frac{kq}{\big(\frac{d}{2}\big)^2}\mathbf{i}-\frac{kq}{\big(\frac{d}{2}\big)^2}\mathbf{j}-\frac{kq}{\big(\sqrt{2}\frac{d}{2}\big)^2}\big(\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{j}\big)\]da cui ottengo, scrivendo la costante di Coulomb $k$ come $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, $E=\frac{(2\sqrt{2}+1)q}{2\pi\varepsilon_0 d^2}$, mentre il mio libro dà come soluzione $\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 d^2}$.
Dove sbaglio?
$\infty$ grazie a tutti!
Risposte
Sbagli nel supporre che, fissando il centro del quadrato nell'origine, tre dei suoi vertici possano trovarsi in quelle posizioni.
Per il campo risultante poi, avrai che i campi di due delle tre cariche si annulleranno e rimarrà quello di una sola carica.
Per il campo risultante poi, avrai che i campi di due delle tre cariche si annulleranno e rimarrà quello di una sola carica.
Grazie! Non sto capendo però dove debbano essere i vertici...
Io avrei posto il centro nell'origine e i tre vertici, di carica $q$, in $d/2\mathbf{i}$,$d/2\mathbf{j}$ e $d/2\mathbf{i}+d/2\mathbf{j}$, quindi il versore \(\hat{\mathbf{r}}\) presente nella formula per il campo\[\mathbf{E}=\frac{kq}{r^2}\hat{\mathbf{r}}\]corrisponde rispettivamente a $-\mathbf{i}$, $-\mathbf{j}$ e $-(\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{j})$, mentre $r$ è nei tre rispettivi casi $d/2$, $d/2$ $\sqrt{2}d/2$, da cui la formula per il campo che ho scritto nel primo post.
Come sarebbe invece giusto scrivere?
Grazie ancora!!!
Io avrei posto il centro nell'origine e i tre vertici, di carica $q$, in $d/2\mathbf{i}$,$d/2\mathbf{j}$ e $d/2\mathbf{i}+d/2\mathbf{j}$, quindi il versore \(\hat{\mathbf{r}}\) presente nella formula per il campo\[\mathbf{E}=\frac{kq}{r^2}\hat{\mathbf{r}}\]corrisponde rispettivamente a $-\mathbf{i}$, $-\mathbf{j}$ e $-(\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{j})$, mentre $r$ è nei tre rispettivi casi $d/2$, $d/2$ $\sqrt{2}d/2$, da cui la formula per il campo che ho scritto nel primo post.
Come sarebbe invece giusto scrivere?
Grazie ancora!!!
"DavideGenova":
... ponendo l'origine del riferimento cartesiano nel centro del quadrato con i lati paralleli agli assi ...
Mi faresti un disegno di questo "tuo" quadrato?
(Ri)disegnandomi il quadratino mi sono accorto che piazzavo i primi due vertici... a metà dei lati, invece che in $\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{i}-\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{j}$ e $-\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{j}$... 
Grazie di cuore!
Grazie di cuore!
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