[EX] Asta, disco, velocità angolare, periodo piccole oscill
Ragazzi vorrei solo sapere se posso applicare la legge della conservazione dell'enegia meccanica (EDIT) in questo problema e perchè posso farlo? Però come mi trovo le posizioni del centro di massa dell'asta e del disco?
Grazie
Risposte
"smaug":
Ragazzi vorrei solo sapere se posso applicare la legge della conservazione della massa in questo problema e perchè posso farlo?
Immagino tu intendessi riferirti alla legge di conservazione dell'energia meccanica.
"smaug":
Ragazzi vorrei solo sapere se posso applicare la legge della conservazione della massa in questo problema e perchè posso farlo? Però come mi trovo le posizioni del centro di massa dell'asta e del disco?
Grazie
Cosa vuol dire "perchè posso farlo" ?
E' una legge fisica e come tale puoi usarla.
Il CdM dell'asta sarà a metà dell'asta, no ? E per il disco è nel centro no ?
Non ti serve combinare i due CdM per trovare il CdM dell'oggetto composto.
Comunque se vuoi farlo, dovresti bilanciare i momenti, ovvero:
$(O-CdM_(asta)) Peso_(asta)+(O-CdM_(disco)) Peso_(disco)=(O-x) ( Peso_(asta)+ Peso_(disco))$
Per cui $CdM_(asta)=0.5$ e $O-CdM_(disco)=1$
Siccome $cos 60° = 1/2$, dalla posizione iniziale a $\nu =0$ perdono metà di quelle distanze, no ?
Quindi l'energia potenziale persa è: $E = [0.25 \ Peso_(asta)+ 0.5\ Peso_(disco)] g = (1.5 +12)g = 13.5 g\ \approx\ 135 J$
A questo punto per trovare la velocità angolare a $\nu = 0$ usi $E = 1/2 I \omega^2$
"smaug":
Ragazzi vorrei solo sapere se posso applicare la legge della conservazione dell'enegia meccanica (EDIT) in questo problema e perchè posso farlo? Però come mi trovo le posizioni del centro di massa dell'asta e del disco?
Grazie
Problema interessante. Ti invito a ragionarci perché è un problema semplice, ma costringe a ragionare su alcuni concetti.
...certo che puoi applicare la conservazione dell'energia...
Grazie Quinzio, il mio dubbio precisamente era: io posso dire che l'energia potenziale quando il disco si trova a $60°$ deve essere uguale all'energia cinetica quando l'angolo è zero? Sicuramente non posso usare $m\ g\ \h = 1/2 m\ v^2$ no? Perchè? Non riguarda la traiettoria percorsa vero?
Il disco mentre cade facendo ridurre l'angolo non ruota attorno ad un asse orizzontale passante per il centro di massa? oppure si?
Mi dovrei trovare l'energia potenziale dell'asta più quella del disco a $60°$ e l'energia cinetica a $0°$ e da lì ricavarmi la velocità angolare...?
Il disco mentre cade facendo ridurre l'angolo non ruota attorno ad un asse orizzontale passante per il centro di massa? oppure si?
Mi dovrei trovare l'energia potenziale dell'asta più quella del disco a $60°$ e l'energia cinetica a $0°$ e da lì ricavarmi la velocità angolare...?
"smaug":
il mio dubbio precisamente era: io posso dire che l'energia potenziale quando il disco si trova a $60°$ deve essere uguale all'energia cinetica quando l'angolo è zero?
Sì fissando a zero il potenziale nella configurazione zero gradi.
"smaug":
Sicuramente non posso usare $m\ g\ \h = 1/2 m\ v^2$ no? Perchè? Non riguarda la traiettoria percorsa vero?
No non puoi perché non abbiamo punti materiali, ma due corpi rigidi (uno finché il perno è bloccato).
"smaug":
Il disco mentre cade facendo ridurre l'angolo non ruota attorno ad un asse orizzontale passante per il centro di massa? oppure si?
A perno bloccato il disco in pratica ruota attorno all'asse ortogonale al disegno e passante per O (è lo stesso moto della Luna attorno alla Terra).
"smaug":
Mi dovrei trovare l'energia potenziale dell'asta più quella del disco a $60°$ e l'energia cinetica a $0°$ e da lì ricavarmi la velocità angolare...?
Questo è un metodo possibile, sì.
Poi quando il perno è sbloccato devi ragionare su quello che accade.
"smaug":
Grazie Quinzio, il mio dubbio precisamente era: io posso dire che l'energia potenziale quando il disco si trova a $60°$ deve essere uguale all'energia cinetica quando l'angolo è zero?
Detto meglio:
la differenza tra l'energia potenziale dell'oggetto nelle due posizioni ($\nu =60°$ e $\nu=0$) deve essere uguale all'energia cinetica in $\nu =0$
Sicuramente non posso usare $m\ g\ \h = 1/2 m\ v^2$ no? Perchè? Non riguarda la traiettoria percorsa vero?
Il motivo è semplice. Il disco e la sbarra ruotano. Quello che hai scritto andrebbe bene se la sbarra e il disco cadessero verso il basso in caduta libera.
Il disco mentre cade facendo ridurre l'angolo non ruota attorno ad un asse orizzontale passante per il centro di massa? oppure si?
No, Smaug. Ruotano attorno al perno in O.
Cioè: va bene anche come lo dici tu, ha senso, però poi lo so che sbagli perchè non è del tutto completo.
Allora: la dizione corretta sarebbe che "il sistema disco-sbarra compie un moto roto-traslazionale, dove il moto trsalazionale è un arco di circonferenza".
Però noi vogliamo semplificarci la vita e diciamo che ruotano attorno al perno.
Mi dovrei trovare l'energia potenziale dell'asta più quella del disco a $60°$ e l'energia cinetica a $0°$ e da lì ricavarmi la velocità angolare...?
Quello che dovrai fare è imparare ad usare il teorema di Hyugen-Steyner (H_S) per imparare a calcolare il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un polo qualsiasi. http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Huygens-Steiner
E' semplice e ce la puoi fare.
Quando hai imparato il teorema calcoli:
1- il momento di inerzia della sbarra sul suo CdM (usando le formule già preconfezionate http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di ... rpo_rigido)
2- con teorema di H_S calcoli il momento d'inerzia della sbarra rispetto al polo O.
3- il momento di inerzia del disco sul suo CdM (usando le formule già preconfezionate)
4- con teorema di H_S calcoli il momento d'inerzia deldisco rispetto al polo O.
5- sommi i due momenti d'inerzia (è lecito farlo, è come sommare due masse)
6- torni alla formula $E = 1/2 I \omega ^2$ e ti calcoli $\omega$
Alle 12.00 deve essere finito !
Poi facciamo il resto.
1- ASTA $I_c = \int_{-d/2}^{+d/2} x^2 dm = \lambda \int_{-d/2}^{+d/2} x^2\ dx = m\ d^2/12$
2- $I_{O1} = I_c + m (d/2)^2 = m d^2 /12 + d^2/4 = 1/3\ d^2$
3- CIRCONFERENZA $I_c = \int_m R^2\ dm = m\ R^2 $ perchè passa per il centro di massa orizzontalmente giusto? (su questo ho dei dubbi) altrimenti sarebbe stato $I_C = (m\ R^2) / 2$ ?
4- $I_{O2} = M\ R^2 + M\ d^2 = (5M\ d^2) / 4$
5- $I_{O1,2} = 1/2 d^2 + (5M\ d^2) / 4$
6 - Sinceramente non ho capito come arrivi a dire che bisogna usare quella formula...
Grazie ragazzi vi voglio bene!
P.S. Vale $T = T_{\bb trasl} + T_{\bb rotaz}$ dove tu hai detto che il primo termine è nullo poichè il sistema asta + circonferenza ruota soltanto, essendo O fisso? Oppure il concetto di asse istantaneo di rotazione? Ho detto due cavolate assurde? Perchè?
2- $I_{O1} = I_c + m (d/2)^2 = m d^2 /12 + d^2/4 = 1/3\ d^2$
3- CIRCONFERENZA $I_c = \int_m R^2\ dm = m\ R^2 $ perchè passa per il centro di massa orizzontalmente giusto? (su questo ho dei dubbi) altrimenti sarebbe stato $I_C = (m\ R^2) / 2$ ?
4- $I_{O2} = M\ R^2 + M\ d^2 = (5M\ d^2) / 4$
5- $I_{O1,2} = 1/2 d^2 + (5M\ d^2) / 4$
6 - Sinceramente non ho capito come arrivi a dire che bisogna usare quella formula...
Grazie ragazzi vi voglio bene!
P.S. Vale $T = T_{\bb trasl} + T_{\bb rotaz}$ dove tu hai detto che il primo termine è nullo poichè il sistema asta + circonferenza ruota soltanto, essendo O fisso? Oppure il concetto di asse istantaneo di rotazione? Ho detto due cavolate assurde? Perchè?
3- Andava bene l'altra formula $(mR^2)/(2)$. Devi capire bene il perchè. Il disco ruota attorno al suo asse (che è perpendicolare al foglio)
6- La uso perchè è quello che mi serve. Conosco l'energia, conosco l'inerzia, posso calcolare $\omega$
Adesso c'è la seconda parte, provaci tu.
6- La uso perchè è quello che mi serve. Conosco l'energia, conosco l'inerzia, posso calcolare $\omega$
Adesso c'è la seconda parte, provaci tu.
"Quinzio":
3- Andava bene l'altra formula $(mR^2)/(2)$. Devi capire bene il perchè. Il disco ruota attorno al suo asse (che è perpendicolare al foglio)
6- La uso perchè è quello che mi serve. Conosco l'energia, conosco l'inerzia, posso calcolare $\omega$
Adesso c'è la seconda parte, provaci tu.
3 - Quindi il disco oltre a ruotare assieme all'asta intorno ad un asse perpendicolare al foglio passante per O, ruota attorno ad un asse passante per il suo centro di massa, sempre perpendicolare al foglio? Però se il disco ruota attorno all'asse passante per il centro di massa ogni punto della circonferenza è distante R dall'asse e non $R \ sin \ theta$ come nel caso in cui l'asse è parallelo al foglio sempre passante per il centro di massa...
6 - Sì ho capito il perchè la usi, ma da dove viene fuori? che considerazioni hai fatto?
"smaug":
[quote="Quinzio"]3- Andava bene l'altra formula $(mR^2)/(2)$. Devi capire bene il perchè. Il disco ruota attorno al suo asse (che è perpendicolare al foglio)
6- La uso perchè è quello che mi serve. Conosco l'energia, conosco l'inerzia, posso calcolare $\omega$
Adesso c'è la seconda parte, provaci tu.
3 - Quindi il disco oltre a ruotare assieme all'asta intorno ad un asse perpendicolare al foglio passante per O, ruota attorno ad un asse passante per il suo centro di massa, sempre perpendicolare al foglio? Però se il disco ruota attorno all'asse passante per il centro di massa ogni punto della circonferenza è distante R dall'asse e non $R \ sin \ theta$ come nel caso in cui l'asse è parallelo al foglio sempre passante per il centro di massa...
[/quote]
Era solo giustificare il calcolo del momento d'inerzia del disco nella formula H_S.
La formula H_S dice: Inerzia totale = Massa x raggio ^2 + Inerzia_attorno_al_CdM
Il sistema asta+disco gira inequivocabilmente attorno al perno O. Non si scappa. C'è un chiodo li, piantato nel muro.
Però nella formula H_S (il secondo addendo ) devi calcolare l'inerzia del disco COME SE ruotasse attorno ad un asse parallelo all'asse reale e passante per il CdM.
6 - Sì ho capito il perchè la usi, ma da dove viene fuori? che considerazioni hai fatto?
E' una formula nota. Non l'ho inventata io. E' il duale di $1/2\ m\ v^2$ per le traslazioni.
Mondo delle traslazioni rettilinee: $1/2\ m\ v^2$
Mondo delle rotazione: $1/2\ I \ \omega^2$
Vedi che hanno al stessa struttura ?
"Quinzio":
Il sistema asta+disco gira inequivocabilmente attorno al perno O. Non si scappa. C'è un chiodo li, piantato nel muro.
Però nella formula H_S (il secondo addendo ) devi calcolare l'inerzia del disco COME SE ruotasse attorno ad un asse
parallelo all'asse reale e passante per il CdM.
Devo immaginare che ruoti attorno ad un asse parallelo all'ase reale e passante per il CdM. Allora questo asse imamginario attorno a cui ruota passa per il CdM del disco ma allora non è entrante/uscente dal foglio, bensì verticale e parallelo all'asse tratteggiato in figura? come mai? In realtà il disco ruota attorno ad un asse che buca il foglio, quindi l'asse è orizzontale...
"Quinzio":
E' una formula nota. Non l'ho inventata io. E' il duale di $1/2\ m\ v^2$ per le traslazioni.
Mondo delle traslazioni rettilinee: $1/2\ m\ v^2$
Mondo delle rotazione: $1/2\ I \ \omega^2$
Vedi che hanno al stessa struttura ?
Quindi sarebbe l'energia cinetica di un corpo rigido $T = 1/2 M v_C^2 + 1/2 I_C\ omega^2$ e perchè il primo termine sarebbe nullo? il CdM non trasla?
Sai che non ho capito come trovare l'energia potenziale del sistema? Le altezze che mi interessano sono quelle del centro di massa? Devo considerare il perno l'origine?
Scusami ancora
@smaug
Quando un corpo rigido ruota attorno ad un punto fisso $[O]$, come nel caso in cui il perno è bloccato, puoi calcolare la sua energia cinetica in due modi:
$[E_c=1/2Mv_G^2+1/2I_Gomega^2] vv [E_c=1/2I_Oomega^2]$
Nel primo caso si applica il teorema di Koenig di validità più generale, nel secondo la formula relativa al moto rotatorio attorno ad un punto fisso. Io preferisco di gran lunga la seconda, non è necessario scomodare i concetti relativi alla traslazione.
Quando un corpo rigido ruota attorno ad un punto fisso $[O]$, come nel caso in cui il perno è bloccato, puoi calcolare la sua energia cinetica in due modi:
$[E_c=1/2Mv_G^2+1/2I_Gomega^2] vv [E_c=1/2I_Oomega^2]$
Nel primo caso si applica il teorema di Koenig di validità più generale, nel secondo la formula relativa al moto rotatorio attorno ad un punto fisso. Io preferisco di gran lunga la seconda, non è necessario scomodare i concetti relativi alla traslazione.
"speculor":
@smaug
Quando un corpo rigido ruota attorno ad un punto fisso $[O]$, come nel caso in cui il perno è bloccato, puoi calcolare la sua energia cinetica in due modi:
$[E_c=1/2Mv_G^2+1/2I_Gomega^2] vv [E_c=1/2I_Oomega^2]$
Nel primo caso si applica il teorema di Koenig di validità più generale, nel secondo la formula relativa al moto rotatorio attorno ad un punto fisso. Io preferisco di gran lunga la seconda, non è necessario scomodare i concetti relativi alla traslazione.
ah perfetto, O sarebbe il punto in cui passa l'asse istantaneo di rotazione in pratica?
"Quinzio":
$(O-CdM_(asta)) Peso_(asta)+(O-CdM_(disco)) Peso_(disco)=(O-x) ( Peso_(asta)+ Peso_(disco))$
Per cui $CdM_(asta)=0.5$ e $O-CdM_(disco)=1$
Siccome $cos 60° = 1/2$, dalla posizione iniziale a $\nu =0$ perdono metà di quelle distanze, no ?
Quindi l'energia potenziale persa è: $E = [0.25 \ Peso_(asta)+ 0.5\ Peso_(disco)] g = (1.5 +12)g = 13.5 g\ \approx\ 135 J$
Ora ho capito (EDIT) Siccome il centro di massa dell'asta lo avevi scritto con la m minuscola mi ero confuso! Grazie
Quindi ora $ omega^2 = (2\ E) / I_O $
P.S però ora che ci penso, perchè invece del'energia potenziale a $\theta = 60°$ abbiamo usato l'energia potenaiale persa? è uguale?
Devo immaginare che ruoti attorno ad un asse parallelo all'ase reale e passante per il CdM. Allora questo asse imamginario attorno a cui ruota passa per il CdM del disco ma allora non è entrante/uscente dal foglio, bensì verticale e parallelo all'asse tratteggiato in figura? come mai? In realtà il disco ruota attorno ad un asse che buca il foglio, quindi l'asse è orizzontale...? Alla fine questa domanda è semplice, non so se si capisce il mio dubbio...se fossi davanti un foglio sarebbe tutto più facile
"smaug":
O sarebbe il punto in cui passa l'asse istantaneo di rotazione in pratica?
Qui non è necessario parlare di asse istantaneo di rotazione. Voglio dire, l'asse è sempre quello, dove è vincolata l'asta.
Adesso faccio l'antipatico, ma non riesco a trattenermi...
smaug, la prima parte di questo esercizio (quella in cui si chiede di determinare la velocità angolare del sistema a $theta=0$ partendo a velocità angolare nulla da $theta=60°$) non ha nulla che meriti di essere discusso nel forum: si tratta di applicare concetti di base che puoi imparare da un qualunque testo di Fisica nel capitolo dove si introduce la meccanica dei corpi rigidi. Non puoi pretendere che qui ti si facciano delle lezioni personali!
Quella parte del problema si riconduce a questo: hai un pendolo composto e devi trovare la velocità angolare in funzione dell'angolo di apertura, questo è immediato, se non lo sai fare rivediti la teoria.
Quinzio giustamente ti aveva detto che quella parte del problema la dovevi risolvere entro le 12 di ieri, io ti dico che dopo aver compreso la teoria di base sui corpi rigidi la devi svolgere in 3 minuti. Invece se i qui a scrivere messaggi su messaggi su ogni minimo dubbio.
Non credo questa sia il modo corretto di servirsi di un forum, e intendo corretto per te, non per chi ti legge e risponde.
smaug, la prima parte di questo esercizio (quella in cui si chiede di determinare la velocità angolare del sistema a $theta=0$ partendo a velocità angolare nulla da $theta=60°$) non ha nulla che meriti di essere discusso nel forum: si tratta di applicare concetti di base che puoi imparare da un qualunque testo di Fisica nel capitolo dove si introduce la meccanica dei corpi rigidi. Non puoi pretendere che qui ti si facciano delle lezioni personali!
Quella parte del problema si riconduce a questo: hai un pendolo composto e devi trovare la velocità angolare in funzione dell'angolo di apertura, questo è immediato, se non lo sai fare rivediti la teoria.
Quinzio giustamente ti aveva detto che quella parte del problema la dovevi risolvere entro le 12 di ieri, io ti dico che dopo aver compreso la teoria di base sui corpi rigidi la devi svolgere in 3 minuti. Invece se i qui a scrivere messaggi su messaggi su ogni minimo dubbio.
Non credo questa sia il modo corretto di servirsi di un forum, e intendo corretto per te, non per chi ti legge e risponde.
non sei affatto antipatico, hai detto semplicemente la verità...
smaug, ascolta me visto che qualche mese fa ci sono passato anche io per queste (belle) cose (e anche perchè tu hai lo stesso professore che ho avuto io). Secondo me dovresti soffermarti di più sullo studio della teoria e svolgere gli esercizi solo una volta che l'avrai compresa a dovere. Anche io ho fatto e faccio tuttora molte domande nella sezione Fisica del forum, però io non ho mai chiesto (a parte rari casi) come si faceva questo o quell'esercizio semplicemente per il fatto che cercavo di comprendere per bene la teoria prima di cimentarmi negli esercizi. Vedrai che una volta che avrai capito come funziona la teoria questi esercizi saranno banali
I tuoi dubbi derivano da una non completa comprensione degli aspetti teorici, cerca di soffermarti su quelli.
Ciao
I tuoi dubbi derivano da una non completa comprensione degli aspetti teorici, cerca di soffermarti su quelli.
Ciao
"lisdap":
smaug, ascolta me visto che qualche mese fa ci sono passato anche io per queste (belle) cose (e anche perchè tu hai lo stesso professore che ho avuto io).
Come fai a saperlo ? Vi conoscete ?
No, però ci eravamo scambiati dei messaggi via pm ciao
Comunque Quinzio colgo l'occasione per complimentarmi con te per le elevate e numerose conoscenze che dimostri avere.
Se non vado errato (ricordo di aver letto un post in cui hai parlato di te) tu hai 20 anni in più a noi (scusa se mi sono permesso di rivelarlo ) e sei un lavoratore che però è iscritto a Ingegneria Informatica giusto?
Se è cosi credo che non avrai alcun problema a superare i canonici esami dei primi anni di Ingegneria
Ciao
Comunque Quinzio colgo l'occasione per complimentarmi con te per le elevate e numerose conoscenze che dimostri avere.
Se non vado errato (ricordo di aver letto un post in cui hai parlato di te) tu hai 20 anni in più a noi (scusa se mi sono permesso di rivelarlo
) e sei un lavoratore che però è iscritto a Ingegneria Informatica giusto?Se è cosi credo che non avrai alcun problema a superare i canonici esami dei primi anni di Ingegneria
Ciao
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