Esplosione satellite geostazionario
Ciao a tutti,
ho un problema presentato ad un esame passato di fisica generale del quale non riesco a capire la soluzione proposta.
Il testo recita:
"un satellite geostazionario di massa $m_0=3t$ ruota su un'orbita circolare intorno alla Terra. In un certo istante esplode in due frammenti di massa $m_1=m_0/3$ e $m_2=2/3m_0$.
Rispetto a un sistema di riferimento solidale con il satellite, il frammento più piccolo viene lanciato verso l'alto con una velocità verticale $v_1=200m/s$.
Calcolare
a) ...
b) ...
c) la distanza di minimo avvicinamento alla Terra dei due frammenti nel noto successivo all'esplosione"
Il testo fornisce i valori di $G$ e della massa della Terra.
Ok, ho omesso i punti a) e b) perché sono piuttosto semplici.
Dunque, per il punto c) considero uno dei due frammenti.
L'energia iniziale è la somma dell'energia cinetica del frammento e della sua energia potenziale dovuta al campo gravitazionale della Terra.
Per quanto riguarda l'energia cinetica considero sia la velocità tangenziale $v_t$ (quella che il satellite aveva prima di frantumarsi e che ho calcolato basandomi sull'informazione che l'orbita è geostazionaria) che la velocità radiale $v_r$ (che ho calcolato per entrambi i frammenti utilizzando la conservazione della quantità di moto)
Quindi l'energia iniziale del frammento di massa $m_1$, che inizialmente si trova a distanza $r$ dalla Terra e per il quale la velocità radiale è $v_r=v_1$, secondo me è
$E_i=1/2m_1 v_t^2 + 1/2m_1 v_r^2 - \frac{G M m_1}{r}$
Ok, ora il problema viene con l'energia finale. Nel momento in cui il frammento ha raggiunto la sua "minima distanza di avvicinamento alla Terra" immagino che si collochi su una nuova orbita. Diciamo che questo è il primo punto oscuro, perché per quello che potevo immaginare io, volendo il satellite poteva anche andare a finire sulla superficie della Terra.
Comunque, assumiamo che ad un certo punto la velocità radiale sia nulla e che quindi l'energia cinetica dovuta al moto radiale sia nulla. L'energia finale quindi sarà dovuta all'energia potenziale gravitazionale e al moto di rotazione intorno alla Terra.
La velocità di rotazione dovrà essere necessariamente superiore a quella iniziale per il frammento che si avvicina alla Terra e inferiore per quello che si allontana, perché se così non fosse (ossia se la velocità tangenziale rimanesse costante) il frammento non potrebbe assestarsi su un'orbita visto che il raggio dell'orbita è funzione della velocità.
La soluzione riporta:
"dopo l'esplosione si conserva l'energia meccanica del sistema. Il primo frammento ha un'energia meccanica iniziale pari a:
$E_i = 1/2 m_1 (v_r^2 + v_t^2) - \frac{G M m_1}{r}$
Nel momento in cui raggiunge il punto di minima distanza dal centro della Terra, la componente radiale della velocità si annulla, quindi:
$E_f = \frac{L^2}{2 M_1 r_1^2} - \frac{G M m_1}{r_1}$
con $L=m_1 r v_t$."
e la soluzione a quel punto segue uguagliando le due espressioni per l'energia meccanica.
Quello che non riesco a capire è da dove salti fuori il termine $\frac{L^2}{2 M_1 r_1^2}$.
Qualcuno può darmi un piccolo spunto?
Grazie mille e buona Befana!
ho un problema presentato ad un esame passato di fisica generale del quale non riesco a capire la soluzione proposta.
Il testo recita:
"un satellite geostazionario di massa $m_0=3t$ ruota su un'orbita circolare intorno alla Terra. In un certo istante esplode in due frammenti di massa $m_1=m_0/3$ e $m_2=2/3m_0$.
Rispetto a un sistema di riferimento solidale con il satellite, il frammento più piccolo viene lanciato verso l'alto con una velocità verticale $v_1=200m/s$.
Calcolare
a) ...
b) ...
c) la distanza di minimo avvicinamento alla Terra dei due frammenti nel noto successivo all'esplosione"
Il testo fornisce i valori di $G$ e della massa della Terra.
Ok, ho omesso i punti a) e b) perché sono piuttosto semplici.
Dunque, per il punto c) considero uno dei due frammenti.
L'energia iniziale è la somma dell'energia cinetica del frammento e della sua energia potenziale dovuta al campo gravitazionale della Terra.
Per quanto riguarda l'energia cinetica considero sia la velocità tangenziale $v_t$ (quella che il satellite aveva prima di frantumarsi e che ho calcolato basandomi sull'informazione che l'orbita è geostazionaria) che la velocità radiale $v_r$ (che ho calcolato per entrambi i frammenti utilizzando la conservazione della quantità di moto)
Quindi l'energia iniziale del frammento di massa $m_1$, che inizialmente si trova a distanza $r$ dalla Terra e per il quale la velocità radiale è $v_r=v_1$, secondo me è
$E_i=1/2m_1 v_t^2 + 1/2m_1 v_r^2 - \frac{G M m_1}{r}$
Ok, ora il problema viene con l'energia finale. Nel momento in cui il frammento ha raggiunto la sua "minima distanza di avvicinamento alla Terra" immagino che si collochi su una nuova orbita. Diciamo che questo è il primo punto oscuro, perché per quello che potevo immaginare io, volendo il satellite poteva anche andare a finire sulla superficie della Terra.
Comunque, assumiamo che ad un certo punto la velocità radiale sia nulla e che quindi l'energia cinetica dovuta al moto radiale sia nulla. L'energia finale quindi sarà dovuta all'energia potenziale gravitazionale e al moto di rotazione intorno alla Terra.
La velocità di rotazione dovrà essere necessariamente superiore a quella iniziale per il frammento che si avvicina alla Terra e inferiore per quello che si allontana, perché se così non fosse (ossia se la velocità tangenziale rimanesse costante) il frammento non potrebbe assestarsi su un'orbita visto che il raggio dell'orbita è funzione della velocità.
La soluzione riporta:
"dopo l'esplosione si conserva l'energia meccanica del sistema. Il primo frammento ha un'energia meccanica iniziale pari a:
$E_i = 1/2 m_1 (v_r^2 + v_t^2) - \frac{G M m_1}{r}$
Nel momento in cui raggiunge il punto di minima distanza dal centro della Terra, la componente radiale della velocità si annulla, quindi:
$E_f = \frac{L^2}{2 M_1 r_1^2} - \frac{G M m_1}{r_1}$
con $L=m_1 r v_t$."
e la soluzione a quel punto segue uguagliando le due espressioni per l'energia meccanica.
Quello che non riesco a capire è da dove salti fuori il termine $\frac{L^2}{2 M_1 r_1^2}$.
Qualcuno può darmi un piccolo spunto?
Grazie mille e buona Befana!
Risposte
A me il termine $\frac{L^2}{2m_1 r_1^2}$, con $L=m_1 r v_t$ ricorda un mezzo per il quadrato del momento angolare diviso il momento di inerzia del frammento rispetto al centro della Terra.
Ossia $L=|m \vec{v_t}\times\vec{r}|$, $I=m_1 r_1^2$ ed infine $\frac{L^2}{2I}$.
Come questo si incastri nella soluzione non riesco a capirlo.
Ossia $L=|m \vec{v_t}\times\vec{r}|$, $I=m_1 r_1^2$ ed infine $\frac{L^2}{2I}$.
Come questo si incastri nella soluzione non riesco a capirlo.
Uhm...
L'energia cinetica dovuta alla rotazione del satellite intorno alla Terra è $K_r=1/2 I \omega^2$.
Poiché $\omega=L/I$, allora ho $K_r=1/2 I (L/I)^2=1/2 \frac{L^2}{I}$.
Giusto?
A questo punto però sorgono dubbi atroci, perché quindi avrei dovuto usare un'espressione simile per calcolare la parte di energia cinetica iniziale dovuta alla rotazione, no?
L'energia cinetica dovuta alla rotazione del satellite intorno alla Terra è $K_r=1/2 I \omega^2$.
Poiché $\omega=L/I$, allora ho $K_r=1/2 I (L/I)^2=1/2 \frac{L^2}{I}$.
Giusto?
A questo punto però sorgono dubbi atroci, perché quindi avrei dovuto usare un'espressione simile per calcolare la parte di energia cinetica iniziale dovuta alla rotazione, no?
Ok, chiudo con l'ultimo tassello che manca sperando di:
1) aver scritto più cose giuste che fesserie
2) aver reso un servizio a qualcuno che un giorno magari avrà un dubbio simile al mio
Comunque, per il fatto di usare o non usare per il calcolo dell'energia cinetica iniziale la formula rotazionale al posto di quella per le traslazioni, ovviamente la questione è che il risultato è identico, infatti
$K_r=1/2 I \omega^2 = 1/2 m r^2 (\frac{v_t}{r})^2=1/2 m v_t^2=K_t$
Ciao e buona serata a tutti!
P.S.: commenti comunque assolutamente apprezzati!
1) aver scritto più cose giuste che fesserie
2) aver reso un servizio a qualcuno che un giorno magari avrà un dubbio simile al mio
Comunque, per il fatto di usare o non usare per il calcolo dell'energia cinetica iniziale la formula rotazionale al posto di quella per le traslazioni, ovviamente la questione è che il risultato è identico, infatti
$K_r=1/2 I \omega^2 = 1/2 m r^2 (\frac{v_t}{r})^2=1/2 m v_t^2=K_t$
Ciao e buona serata a tutti!
P.S.: commenti comunque assolutamente apprezzati!
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