Espansione di un gas reale ?
Salve ragazzi, vi propongo questo esercizio :
"Un recipiente a pareti rigide ed adiabatiche e diviso da un setto in due
parti, ciascuna di volume V0. Inizialmente una parte é vuota e l’altra contiene una mole di gas reale
a temperatura T0. Tolto il setto che divide le due parti del recipiente si attende che il gas raggiunga
un nuovo stato di equilibrio termodinamico. Sapendo che l’energia interna di un gas reale dipende da
temperatura e volume secondo l’espressione:
$ U = c_V T −aV+ costante $
dove $c_V $ e il calore specifico molare a volume costante e a `e l’omonima costante dell’equazione di stato
(Van der Waals), calcolare temperatura e pressione finali del gas. "
Riguardo tale problema posso dire che il lavoro non è nullo perchè vi è l'espansione di un gas reale e non perfetto, come posso calcolare il lavoro fatto dall'espansione ?
"Un recipiente a pareti rigide ed adiabatiche e diviso da un setto in due
parti, ciascuna di volume V0. Inizialmente una parte é vuota e l’altra contiene una mole di gas reale
a temperatura T0. Tolto il setto che divide le due parti del recipiente si attende che il gas raggiunga
un nuovo stato di equilibrio termodinamico. Sapendo che l’energia interna di un gas reale dipende da
temperatura e volume secondo l’espressione:
$ U = c_V T −aV+ costante $
dove $c_V $ e il calore specifico molare a volume costante e a `e l’omonima costante dell’equazione di stato
(Van der Waals), calcolare temperatura e pressione finali del gas. "
Riguardo tale problema posso dire che il lavoro non è nullo perchè vi è l'espansione di un gas reale e non perfetto, come posso calcolare il lavoro fatto dall'espansione ?
Risposte
In questo caso il lavoro fatto e' nullo, perché è pur vero che il gas si espande, ma si espande contro "il nulla", quindi non compie lavoro.
Un gas che si espande compie lavoro nel caso di un pistone che spinge perchè dall'altra parte del pistone c'è una pressione, quindi il gas deve compiere uno "sforzo", un lavoro appunto, per spostare il pistone.
Qui non c'è nulla da spostare o spingere, c'è una espansione nel vuoto, quindi non compie lavoro.
Un gas che si espande compie lavoro nel caso di un pistone che spinge perchè dall'altra parte del pistone c'è una pressione, quindi il gas deve compiere uno "sforzo", un lavoro appunto, per spostare il pistone.
Qui non c'è nulla da spostare o spingere, c'è una espansione nel vuoto, quindi non compie lavoro.
Non esattamente, un gas reale che si espande nel vuoto compie lavoro perchè deve vincere le forze di coulomb interne
Ok, quindi usi la formula che hai scritto prima.
Eh, però la mia domanda era come posso calcolare il lavoro fatto ?
Se chiedi questa domanda vuol dire che c'è un malinteso da qualche parte.
Il lavoro fatto è nullo.
Parliamo di lavoro meccanico, giusto ?
Il lavoro fatto è nullo.
Parliamo di lavoro meccanico, giusto ?
Sul gas non viene fatto lavoro, e quindi l'energia interna non può aumentare (se aumentasse si andrebbe contro il principio di conservazione dell'energia), inoltre supposti gli urti tra le molecole e le pareti completamente elastici, non viene dissipata alcuna energia, pertanto l'energia interna non diminuisce...quindi resta costante, ma a differenza dei gas perfetti, la temperatura del gas varia.
Ho capito, grazie
Quindi si pone la variazione di energia interna pari a zero, e quindi l'integrale dell'espressione pari a zero?
La variazione di energia interna è pari a zero, sia per gas reali che per gas perfetti, solo che nel primo varia la temperatura e nel secondo no. Non capisco cosa intendi per "integrale dell'espressione"
Intendo l'integrale dell'esprssione dell'energia interna U= data dal problema
$U=C_vT-aV$
$DeltaU=0$
Quindi:
$C_v(T_f-T_i)-a(V_f-V_i)=0$
Si trova la temperatura finale Tf essendo note la temperatura iniziale Ti e i volumi finali e iniziali Vf e Vi
$DeltaU=0$
Quindi:
$C_v(T_f-T_i)-a(V_f-V_i)=0$
Si trova la temperatura finale Tf essendo note la temperatura iniziale Ti e i volumi finali e iniziali Vf e Vi
In realtà il problema non do i valori iniziali ma restituisce il risultato:
Tf=T0-(a/(2cvV0))
Ho provato a integrare visto che si tratta di una variazione di temperatura e come risultato mi viene simile ma con il 2 a numeratore e la costante sottratta eppure non mi sembra di aver sbagliato l'integrale...
Inoltre per trovare la pressione finale basta che sostiuisco i termini nell'equazione di van der waals?
Tf=T0-(a/(2cvV0))
Ho provato a integrare visto che si tratta di una variazione di temperatura e come risultato mi viene simile ma con il 2 a numeratore e la costante sottratta eppure non mi sembra di aver sbagliato l'integrale...
Inoltre per trovare la pressione finale basta che sostiuisco i termini nell'equazione di van der waals?
Ma non c'è nessun integrale da fare. L'energia interna di un gas reale è $U=c_vT-a/V$. L'energia interna è una funzione di stato, ossia dipende solo dagli stati iniziale e finale della trasformazione. Lo stato iniziale della trasformazione è con temperatura $T_0$ e volume $V_0$, lo stato finale è con temperatura $T_f$ e volume $2V_0$, la variazione di energia interna in questo caso deve essere nulla, pertanto:
$DeltaU=c_v(T_f-T_0)-a(1/(2V_0)-1/(V_0))=c_v(T_f-T_0)+a/(2V_0)=0$
Quindi: $T_f=T_0-a/(2c_vV_0)$
Che è lo stesso risultato del libro.
Essendo a>0 si vede che la temperatura diminuisce, come è naturale aspettarsi dato che nell'espansione aumentano le distanze medie tra le molecole e le forze di legame tra le molecole fanno pertanto lavoro negativo, dal teorema dell'energia cinetica risulta quindi che l'energia cinetica media delle molecole dopo l'espansione è diminuita e pertanto è diminuita la temperatura.
$DeltaU=c_v(T_f-T_0)-a(1/(2V_0)-1/(V_0))=c_v(T_f-T_0)+a/(2V_0)=0$
Quindi: $T_f=T_0-a/(2c_vV_0)$
Che è lo stesso risultato del libro.
Essendo a>0 si vede che la temperatura diminuisce, come è naturale aspettarsi dato che nell'espansione aumentano le distanze medie tra le molecole e le forze di legame tra le molecole fanno pertanto lavoro negativo, dal teorema dell'energia cinetica risulta quindi che l'energia cinetica media delle molecole dopo l'espansione è diminuita e pertanto è diminuita la temperatura.
Okok ora ho capito 
Grazie mille per la pazienza
Grazie mille per la pazienza
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