Esericizio velocità di fuga - Fisica

[Pylord]

Buongiorno, qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo esercizio di Fisica? Grazie in anticipo.

Una navicella spaziale è lanciata dalla superficie della Terra con una velocità iniziale di $ 10^4 m/s $
. Quale sarà la distanza dal centro della Terra che potrà raggiungere (trascurando le forze
d'attrito)?

Usando la formula della velocità di fuga
$ v = sqrt((2*G*M_t)/R_t) $
ricavo che $ R_t = (2*G * M_t)/v^2 = 7'977'320m$

Usando l'energia:
$ { ( E_i=1/2mv_i^2 - (G*M*m)/r_i ),( E_f=1/2mv_f^2 - (G*M*m)/r_f ):} -> R_f = -2/v_i^2 G*M + R_i = 7'977'320m $ .

Il risultato dovrebbe essere: $ 3.14*10^7 m $.

[ingres]

La velocità di fuga permette ad un corpo di sfuggire all'attrazione gravitazionale della Terra. Non è questo il caso e quindi non puoi usare quella formula.
Per risolvere il problema conviene usare la conservazione dell'energia meccanica e il concetto di energia potenziale gravitazionale. https://it.wikipedia.org/wiki/Energia_p ... itazionale
Risulta:
Energia cinetica iniziale $K_i=1/2m*v^2$
Energia potenziale gravitazionale iniziale $U_i=-G(mM_t)/R_t$
Energia potenziale finale $K_f=0$
Energia potenziale gravitazionale iniziale $U_f=-G(mM_t)/R$

Uguagliando si ottiene:
$R=(GM_t)/(GM_t/R_t-1/2v^2) approx 3.2*10^7 m$

Nota; la velocità di fuga si ottiene come sopra imponendo che R vada all'infinito ovvero che risulti:
$GM_t/R_t-1/2v^2=0$
da cui si ottiene la formula che stavi usando