Esercizio urto corpo rigido

[ryuzakii]

Riporto il testo dell'esercizio:
"Si consideri un sistema costituito da due corpi A e B puntiformi, di massa $m_a =150g $ e $m_b =350g$, disposti agli estremi di un'asta, di massa trascurabile e lunghezza $d$. Il sistema è libero di ruotare senza attrito nel piano verticale, attorno ad un asse orizzontale passante per O. Le distanze dei due punti dal punto O sono $d_a =70cm$ e $d_b=30cm$. Inizialmente il sistema è in quiete in posizione orizzontale. A un certo istante un proiettile di massa $m = 70g$ e velocità $v_0 =20m/s $, inclinata di un angolo $\vartheta =20°$ rispetto alla direzione AB, colpisce il corpo B, attraversandolo e uscendone con una velocità $v_0/2$ e con la stessa direzione di entrata. Per effetto dell'urto il sistema inizia a ruotare. Calcolare:
a) la velocità angolare $\vartheta_0$ del sistema immediatamente dopo l'urto
b)la velocità $v_a$ del corpo A quando raggiunge la posizione più bassa $A_1$
c) la componente media orizzontale $F_x$ e verticale $F_y$ della forza impulsiva durante l'urto, assunto di durata $\Delta t$= 0.02s
Qui riporto l'immagine (scusate la qualità della foto)

Ho difficoltà nel punto b), la soluzione sfrutta la conservazione dell'energia meccanica. Io in esercizi di questo tipo ho sempre trovato le varie energie partendo dalla definizione del lavoro (senza usare solo le formule e basta), quindi dall'integrale, in questo caso come va fatto? Bisogna considerare i momenti delle due forze peso?

[Faussone]

Direi che la parte più "spinosa" è il calcolo della velocità angolare di rotazione dopo l'urto (che non può essere fatta con la coservazione dell'energia meccanica....) dopo sì basta applicare la conservazione dell'enerergia meccanica tenendo conto anche della variazione di energia potenziale delle masse.
Prova a scirvere qualche equazione così vediamo dove sono le difficoltà.

[ryuzakii]

In realtà quella parte mi viene, ho usato la conservazione del momento angolare.
$I\omega + r xx m_pV = r xx m_pV + I\omega$ dove $m_p$ e $V$ sono rispettivamente la massa e la velocità del proiettile. Sapendo che inizialmente il corpo è fermo, il suo momento iniziale è 0, e mi trovo
$\omega=1/2*(d_b*m_p*V*sen20)/I = 0.68 (rad) /s $ e si trova con la soluzione del libro.

Per quanto riguarda la seconda parte, devo trovare la velocità di A nel suo punto più basso. Io ho sempre lavorato usando la definizione di lavoro, quindi ho sempre fatto l'integrale delle forze calcolato in dei punti specifici per trovare l'energia potenziale, in questo caso come posso fare? Faccio l'integrale dei momenti?

Io procederei così:

calcolo il lavoro del momento della forza per $M_b$:
$W_mb$ =$\int_90^0 - d_b m_b g sen \theta d\theta = d_b m_b g$
il meno nell'integrale perché il momento si oppone al moto.
Quindi considero l'energia potenziale di $m_b$ nulla all'inizio, dunque $E_pb=-d_bm_bg$

ora calcolo il lavoro del momento della forza per $M_a$:
$W_mb$ =$\int_90^180 d_a m_a g sen \theta d\theta = +d_a m_a g$
l'energia potenziale di $m_a$ la considero nulla all'inizio, dunque $E_pa=-d_am_ag$

(già da questi calcoli non si trova qualcosa, in quanto sul libro la variazione di energia totale è la differenza tra le due, però vado avanti)

ora dovrei applicare la conservazione dell'energia meccanica:
$\Delta E_m = \text{costante} -> (E_pbi-E_pbf) + (E_pai-E_paf) = +d_bm_bg+d_am_abg\text{costante}$

e a questo punto non mi trovo più, ho sbagliato qualcosa.
Inoltre, qual è la variazione di energia cinetica totale? Considero solo l'energia cinetica di rotazione di tutto il sistema?
Il ragionamento è giusto?

[anonymous_0b37e9]

Premesso che l'introduzione dell'energia potenziale evita di calcolare esplicitamente il lavoro mediante la definizione, se proprio vuoi procedere applicando il teorema dell'energia cinetica al sistema nel suo complesso, devi calcolare il lavoro della reazione vincolare esterna e delle due forze peso esterne:

$L_O+L_A+L_B=E_(cf)-E_(ci)$

$L_O=0$

$L_A=\int_{0}^{\pi/2}M_Ad\theta=m_Agd_A\int_{0}^{\pi/2}cos\thetad\theta=m_Agd_A$

$L_B=\int_{0}^{\pi/2}M_Bd\theta=-m_Bgd_B\int_{0}^{\pi/2}cos\thetad\theta=-m_Bgd_B$

$E_(ci)=1/2(m_Ad_A^2+m_Bd_B^2)\omega_i^2$

$E_(cf)=1/2(m_Ad_A^2+m_Bd_B^2)\omega_f^2$

$0+m_Agd_A-m_Bgd_B=1/2(m_Ad_A^2+m_Bd_B^2)\omega_f^2-1/2(m_Ad_A^2+m_Bd_B^2)\omega_i^2$

Insomma, l'ultima equazione ti consente di determinare la velocità angolare finale conoscendo la velocità angolare iniziale richiesta al punto a). Vero è che, poiché il sistema è in equilibrio per qualsiasi valore di $\theta$:

$m_Ad_A=m_Bd_B$

si sarebbe potuto osservare che il lavoro di cui sopra è necessariamente nullo e la velocità angolare finale uguale alla velocità angolare iniziale. Infine, come questo aspetto si possa conciliare con il fatto che, per esempio, la forza peso compia un lavoro positivo sul corpo $A$ senza che il modulo della sua velocità aumenti, richiede di considerare il lavoro negativo compiuto dalla reazione vincolare interna che l'asta esercita sul corpo $A$ medesimo.

[Faussone]

@ryuzakii
Corretto per la prima parte la conservazione del momento angolare, rispetto al punto dove è vincolata a ruotare l'asta, altrimenti il momento angolare non sarebbe conservato...
Non ho capito i passaggi che hai fatto in questa parte, se ti torna il risultato dovresti aver fatto bene, anche se è importante scrivere chiaramente!

Per l"altra domanda non capisco perché ti complichi la vita: ti basta scrivere che la variazione di energia cinetica dell'asta tra subito dopo l'urto e la posizione a cui vuoi trovare la velocità sia pari alla variazione di energia potenziale dell'asta, e la variazione di energia potenziale dell'asta è pari alla variazione di energia potenziale del centro di massa tra le due posizioni.

Ps- ho letto il commento di Sergeant Elias, probabilmente mi sfugge qualcosa, ma non l'ho capito...
Ah ok, non ho fatto osservazioni sui valori numerici io...

[ryuzakii]

Innanzitutto ringrazio per le risposte.
Sì, lo so che mi complico la vita , ma lo faccio per capire bene come far venire fuori tutte le formule che ci semplificano il tutto.

Mi è rimasto un piccolo dubbio:

"anonymous_0b37e9":

$L_A=\int_{0}^{\pi/2}M_Ad\theta=m_Agd_A\int_{0}^{\pi/2}cos\thetad\theta=m_Agd_A$

$L_B=\int_{0}^{\pi/2}M_Bd\theta=-m_Bgd_B\int_{0}^{\pi/2}cos\thetad\theta=-m_Bgd_B$

Perché nei due integrali si utilizzano gli stessi estremi di integrazione?
Io ho pensato questo:
l'angolo compreso tra $\vec F_pb$ e $\vec r$ parte da 90° e va fino a 0°
l'angolo compreso tra $\vec F_pb$ e $\vec r$ parte anch'esso da 90°, però aumenta fino a 180°.
Molto probabilmente sbaglio a pensare così, però mi sembra giusto!
Invece ho capito il resto, anche per quanto riguarda l'energia cinetica. .

[anonymous_0b37e9]

"ryuzakii":
Perché nei due integrali si utilizzano gli stessi estremi di integrazione?

In entrambi i casi, con:

$\theta=\theta_A=\theta_B$

ho indicato il rispettivo angolo di rotazione (rispetto all'asse orizzontale in senso antiorario) inizialmente nullo:

$[0 lt= \theta_A lt= \pi/2]^^ [0 lt= \theta_B lt= \pi/2]$

[ryuzakii]

Ecco dove sbagliavo! Io nella scelta degli estremi di integrazione consideravo rispettivamente l'angolo iniziale e finale compreso tra $\vec r$ e $\vec F_p$!
Ti ringrazio infinitamente.