Esercizio urti relativistici
Non riesco a capire come risolvere questo esercizio (ad esclusione dei punti 1 e 3 che però sono banali), immagino che si utilizzi la stessa formula scritta per la risoluzione degli ultimi 2 punti ma non riesco a capire che ragionamento c'è dietro. Il metodo che avrei utilizzato io è un sistema tra le energie e la quantità di moto
\[E_1+E_2=E\]
\[0.5MeV+\frac{0.5MeV}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}=\frac{120000MeV}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]
\[p_1c^2+p_2c^2=pc^2\]
\[0+0.5MeV\cdot v_2\cdot\sqrt{1-v_2^2/c^2}=120000MeV\cdot v\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}}\]
tuttavia oltre ad essere molto lungo non funziona neanche.
Risposte
Per quanto riguarda il punto 2:
Imponendo che abbiano la stessa norma, si ottiene un'equazione la cui unica incognita è quella richiesta.
Quadrivettore energia - impulso totale
Sistema di riferimento del laboratorio
$(mc+mc+E_(lab)/c,sqrt((mc^2+E_(lab))^2/c^2-m^2c^2))$
Sistema di riferimento del centro di massa
$(Mc,0)$
Imponendo che abbiano la stessa norma, si ottiene un'equazione la cui unica incognita è quella richiesta.
per il punto 4):
1) per prima cosa, siamo nel SDR del CM: per cui la somma dei 3-momenti spaziali è nulla prima e dopo l'urto.
siamo liberi di scegliere un SDR in cui le particelle prima dell'urto si muovono lungo l'asse z.
2) la velocità dell'Higgs prodotto è calcolabile come: $v = p_H / E_H$ dove $p_H$ è il modulo del 3-momento dell'Higgs.
3) la conservazione dell'energia impone che: $E_H = E$ dove E è l'energia della particella incidente (quale delle due, è indifferente, sono uguali fra loro)
4) il modulo del 3-momento dell'Higgs è pari a: $p_H = \sqrt{E_H^2 - M^2}$
mettendo insieme tutto hai
$$
v_H = \frac{\sqrt{E^2 - M^2}}{E} = \sqrt{1-\frac{M^2}{E^2}}
$$
che intuitivamente ci sta: perde di significato se $E < M$ in quanto valore di soglia per la produzione della coppia HH, e tende a 1 nel limite di alta energia.
1) per prima cosa, siamo nel SDR del CM: per cui la somma dei 3-momenti spaziali è nulla prima e dopo l'urto.
siamo liberi di scegliere un SDR in cui le particelle prima dell'urto si muovono lungo l'asse z.
2) la velocità dell'Higgs prodotto è calcolabile come: $v = p_H / E_H$ dove $p_H$ è il modulo del 3-momento dell'Higgs.
3) la conservazione dell'energia impone che: $E_H = E$ dove E è l'energia della particella incidente (quale delle due, è indifferente, sono uguali fra loro)
4) il modulo del 3-momento dell'Higgs è pari a: $p_H = \sqrt{E_H^2 - M^2}$
mettendo insieme tutto hai
$$
v_H = \frac{\sqrt{E^2 - M^2}}{E} = \sqrt{1-\frac{M^2}{E^2}}
$$
che intuitivamente ci sta: perde di significato se $E < M$ in quanto valore di soglia per la produzione della coppia HH, e tende a 1 nel limite di alta energia.
"anonymous_0b37e9":
Per quanto riguarda il punto 2:
Quadrivettore energia - impulso totale
Sistema di riferimento del laboratorio
$(mc+mc+E_(lab)/c,sqrt((mc^2+E_(lab))^2/c^2-m^2c^2))$
Sistema di riferimento del centro di massa
$(Mc,0)$
Imponendo che abbiano la stessa norma, si ottiene un'equazione la cui unica incognita è quella richiesta.
Sai mica consigliarmi un testo sui quadri vettori? Nel mio libro non vengono nemmeno citati.
I quadri-vettori non sono indispensabili per capire la relatività, ma aiutano molto, specialmente quando si tratta di risolvere esercizi di dinamica relativistica, come ti hanno fatto vedere. Qualsiasi buon testo di relatività dovrebbe almeno dedicare un capitolo ai 4-vettori, e all’uso che se ne fa specie quando si considerano boost di Lorentz, in una sola direzione che si assume coincidente con l’asse $x$ di un OI. Ma alcuni testi non li prendono in considerazione, ed è un peccato. L’uso dei 4-vettori semplifica molti problemi. I 4-vettori in RR sono in un certo senso come i vettori dello spazio euclideo, cioè hanno norma invariante, ma la differenza con i 3-vettori spaziali è sostanziale: i 4-vettori hanno anche una componente temporale, e quando si calcola la norma del 4-vettore non si deve fare la somma dei quadrati delle 4 componenti, bensí c’è una differenza di segno tra il quadrato della componente temporale e i quadrati delle componenti spaziali; per esemplificare, prendiamo il 4-vettore più immediato, che è il vettore nello spaziotempo che connette due eventi A e B , separati sia nel tempo che nello spazio. Si chiama anche 4-intervallo spaziotemporale. LA norma di tale 4-vettore è data (supponendo lo spazio 3D riferito a un sistema di coordinate cartesiane ortogonali) da:
$(Deltas)^2 = (cDeltat)^2 - (Deltax)^2 - (Deltay)^2 - (Deltaz)^2$
Per visualizzare le cose su un diagramma di Minkowski, in cui la coordinata temporale dell’ OI a cui il tempo è riferito è riportato sull’asse delle ordinate, si pone : $Deltay= Deltaz=0$ , sicché sull’asse delle ascisse si mette la sola variabile $x$, che rappresenta la coordinata spaziale dell’ OI dato. E spesso si assume anche la velocità della luce $c=1$, per semplificare la scrittura (ma non solo!). Ma lasciamo per ora indicata la $c$ . Il 4-intervallo di prima diventa quindi :
$(Deltas)^2 = (cDeltat)^2 - (Deltax)^2 $
Questa è la “norma” di un 4-intervallo nello ST di Minkowski bidimensionale come detto, calcolata usando le differenze di tempo e di spazio dell’ oss. inerziale $O$ dato, che usa le coordinate $(t,x)$ , facendo misure di tempo col suo orologio e misure di spazio col suo righello. Ma si verifica una situazione fondamentale per gli sviluppi successivi : il 4-intervallo tra i due eventi A e B è invariante per trasformazioni di Lorentz! Cioè , se prendi un secondo oss. inerziale $O’$ in moto relativo (lungo l’asse $x$) rispetto a quello dato, con una certa velocità $vecv$ , e applichi le TL tra i due OI, e calcoli il 4-intervallo tra i due eventi usando non più le coordinate $(t,x)$ di $O$ , ma le coordinate “trasformate” $(t’,x’)$ di $O’$ , risulta che il 4-intervallo ha la stessa norma, cioè :
$(cDeltat)^2 - (Deltax)^2 = (cDeltat')^2 - (Deltax')^2 \rarr (Deltas)^2= (Deltas')^2 $
Questa è solo una premessa, peraltro molto sintetica, per introdurre i 4-vettori. Subito dopo, si passa a definire la 4-velocità di una particella in moto :
$\barU = (gammac, gammavecv)$
la cui norma vale : $\barU*\barU = (gammac)^2 - (gammav)^2 = .......c^2 $
Il motivo per cui compare $gamma$ è presto detto. In meccanica non relativistica, dato un punto P che si muove con velocità $v$ ( ometto la freccia di vettore, perché stiamo considerando il moto unidimensionale lungo l’asse $x$, quindi possiamo ragionare direttamente sulla componente della velocità e non sul vettore) , si ha, nella ipotesi di velocità costante :
$v = (Deltax) / (Deltat) $
ma in RR il 4-intevallo è definito da 2 componenti, una temporale e una spaziale: $ Deltas = (cDeltat, Deltax)$
Ora immagina di riscrivere tutto quanto detto finora sostituendo al $Delta$ il simbolo di differenziale $d$ , poiché è più corretto dal punto di vista fisico e matematico. Anzi i matematici puri mi perdoneranno per un po’ di disinvoltura qui! Non cambia nulla, ma si può scrivere il 4-intervallo tra due eventi “vicini “ nello ST in maniera più rigorosa, adottando la regola di Einstein per la somma rispetto a indici ripetuti in alto e in basso :
$ds^2 = g_(munu)dx^\mudx^\nu$
I coefficienti della metrica , nello ST piatto della RR dotato di coordinate $ dx^0=cdt$ (coordinata temporale) e $dx^i$ (i = 1,2,3 , coordinate spaziali, ad es cartesiane ortogonali, ma non è un obbligo) , assumono la semplice forma diagonale: $\eta_(munu) = diag (1,-1,-1,-1)$ ; se per lo spazio prendi solo la x bastano i soli coefficienti (1, -1). La presenza del segno - nel 4-intervallo dipende proprio dalla metrica.
Torniamo alla 4-velocità: se definissimo la 4-velocità riferendo le variazioni di coordinate al differenziale di tempo coordinato $dt$ , avremmo un grosso inconveniente : infatti il $dt$ è relativo a un ben definito oss. inerziale $O$ , come detto prima; se cambiamo oss. in. passando ad $O’$ , il suo $dt’$ è diverso da quello di $O$, (vedi le TL). E allora , definiamo le componenti della 4-velocità dividendo le componenti del 4-intervallo NON per $dt$ ma per $d\tau$ : chi è questo $\tau$ ? È il tempo proprio dell’ osservatore in moto rispetto ad $O$.
Più in generale, se un viaggiatore si muove nello spaziotempo rispetto ad $O$ , descrivendo una “linea di universo” temporale qualsiasi (sul diagramma di Minkowski appare curva) , e il viaggiatore ha un orologio da polso con sè , il tempo segnato da questo orologio è il tempo proprio del viaggiatore (in generale il moto non è rettilineo uniforme; in tal caso la linea di universo è percorsa a velocità variabile rispetto a un dato OI); ma questo tempo proprio del viaggiatore è una quantità su cui tutti gli altri OI rispetto a cui egli si muove concordano in maniera univoca.
Allora, le due componenti della 4-velocità sono date da :
$U^t = (cdt)/(d\tau) = gammac $ ( in quanto $dt = gammad\tau$ : è una relazione fondamentale in Relatività, puoi trovarne dimostrazione anche in altre discussioni in questo stesso forum)
$U^x = (dx)/(d\tau) = (dx)/(dt)*(dt)/(d\tau) = gamma (dx)/(dt) = gamma v $
In sintesi si ha : $barU = (gammac, gammav) $
Adesso ti chiedo di verificare che la norma di questa 4- velocità è uguale a $c$, come ti ho detto sopra, ovvero:
$\barU*\barU = c^2$ .
....E cosí via!!! Si introducono altri 4- vettori molto importanti, come il 4-impulso , basta moltiplicare la 4-velocità per la massa invariante:
$barP= (mgammac, mgammavecv)$
La norma del 4-impulso che puoi calcolare da solo, è uguale a $mc$ , come ti ha detto Sergeant Elias, ed è invariante per tutti gli OI.
...e la 4-accelerazione $barA$ (che risulta ortogonale alla 4-velocità, nella geometria iperbolica di Minkowski: facile dimostrarlo , provaci ...
Si tratta insomma di un algoritmo di calcolo, inventato da Minkowski (su cui inizialmente Einstein non era tanto d’accordo, pensa !) , molto utile e molto usato specie in questioni di dinamica relativistica.
Qui e nel seguito puoi trovare maggiori informazioni. Usa pure la funzione “cerca” nella sezione di fisica, ci sono molti thread su questo argomento. Puoi anche liberamente scaricare dal web il libro: Spacetime physics, di Taylor e Wheeler, che non è un libro divulgativo ma molto serio . Poi guarda questo:
https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/r ... /seven.pdf
Spero di averti dato almeno una idea di che cosa sono i 4-vettori.
$(Deltas)^2 = (cDeltat)^2 - (Deltax)^2 - (Deltay)^2 - (Deltaz)^2$
Per visualizzare le cose su un diagramma di Minkowski, in cui la coordinata temporale dell’ OI a cui il tempo è riferito è riportato sull’asse delle ordinate, si pone : $Deltay= Deltaz=0$ , sicché sull’asse delle ascisse si mette la sola variabile $x$, che rappresenta la coordinata spaziale dell’ OI dato. E spesso si assume anche la velocità della luce $c=1$, per semplificare la scrittura (ma non solo!). Ma lasciamo per ora indicata la $c$ . Il 4-intervallo di prima diventa quindi :
$(Deltas)^2 = (cDeltat)^2 - (Deltax)^2 $
Questa è la “norma” di un 4-intervallo nello ST di Minkowski bidimensionale come detto, calcolata usando le differenze di tempo e di spazio dell’ oss. inerziale $O$ dato, che usa le coordinate $(t,x)$ , facendo misure di tempo col suo orologio e misure di spazio col suo righello. Ma si verifica una situazione fondamentale per gli sviluppi successivi : il 4-intervallo tra i due eventi A e B è invariante per trasformazioni di Lorentz! Cioè , se prendi un secondo oss. inerziale $O’$ in moto relativo (lungo l’asse $x$) rispetto a quello dato, con una certa velocità $vecv$ , e applichi le TL tra i due OI, e calcoli il 4-intervallo tra i due eventi usando non più le coordinate $(t,x)$ di $O$ , ma le coordinate “trasformate” $(t’,x’)$ di $O’$ , risulta che il 4-intervallo ha la stessa norma, cioè :
$(cDeltat)^2 - (Deltax)^2 = (cDeltat')^2 - (Deltax')^2 \rarr (Deltas)^2= (Deltas')^2 $
Questa è solo una premessa, peraltro molto sintetica, per introdurre i 4-vettori. Subito dopo, si passa a definire la 4-velocità di una particella in moto :
$\barU = (gammac, gammavecv)$
la cui norma vale : $\barU*\barU = (gammac)^2 - (gammav)^2 = .......c^2 $
Il motivo per cui compare $gamma$ è presto detto. In meccanica non relativistica, dato un punto P che si muove con velocità $v$ ( ometto la freccia di vettore, perché stiamo considerando il moto unidimensionale lungo l’asse $x$, quindi possiamo ragionare direttamente sulla componente della velocità e non sul vettore) , si ha, nella ipotesi di velocità costante :
$v = (Deltax) / (Deltat) $
ma in RR il 4-intevallo è definito da 2 componenti, una temporale e una spaziale: $ Deltas = (cDeltat, Deltax)$
Ora immagina di riscrivere tutto quanto detto finora sostituendo al $Delta$ il simbolo di differenziale $d$ , poiché è più corretto dal punto di vista fisico e matematico. Anzi i matematici puri mi perdoneranno per un po’ di disinvoltura qui! Non cambia nulla, ma si può scrivere il 4-intervallo tra due eventi “vicini “ nello ST in maniera più rigorosa, adottando la regola di Einstein per la somma rispetto a indici ripetuti in alto e in basso :
$ds^2 = g_(munu)dx^\mudx^\nu$
I coefficienti della metrica , nello ST piatto della RR dotato di coordinate $ dx^0=cdt$ (coordinata temporale) e $dx^i$ (i = 1,2,3 , coordinate spaziali, ad es cartesiane ortogonali, ma non è un obbligo) , assumono la semplice forma diagonale: $\eta_(munu) = diag (1,-1,-1,-1)$ ; se per lo spazio prendi solo la x bastano i soli coefficienti (1, -1). La presenza del segno - nel 4-intervallo dipende proprio dalla metrica.
Torniamo alla 4-velocità: se definissimo la 4-velocità riferendo le variazioni di coordinate al differenziale di tempo coordinato $dt$ , avremmo un grosso inconveniente : infatti il $dt$ è relativo a un ben definito oss. inerziale $O$ , come detto prima; se cambiamo oss. in. passando ad $O’$ , il suo $dt’$ è diverso da quello di $O$, (vedi le TL). E allora , definiamo le componenti della 4-velocità dividendo le componenti del 4-intervallo NON per $dt$ ma per $d\tau$ : chi è questo $\tau$ ? È il tempo proprio dell’ osservatore in moto rispetto ad $O$.
Più in generale, se un viaggiatore si muove nello spaziotempo rispetto ad $O$ , descrivendo una “linea di universo” temporale qualsiasi (sul diagramma di Minkowski appare curva) , e il viaggiatore ha un orologio da polso con sè , il tempo segnato da questo orologio è il tempo proprio del viaggiatore (in generale il moto non è rettilineo uniforme; in tal caso la linea di universo è percorsa a velocità variabile rispetto a un dato OI); ma questo tempo proprio del viaggiatore è una quantità su cui tutti gli altri OI rispetto a cui egli si muove concordano in maniera univoca.
Allora, le due componenti della 4-velocità sono date da :
$U^t = (cdt)/(d\tau) = gammac $ ( in quanto $dt = gammad\tau$ : è una relazione fondamentale in Relatività, puoi trovarne dimostrazione anche in altre discussioni in questo stesso forum)
$U^x = (dx)/(d\tau) = (dx)/(dt)*(dt)/(d\tau) = gamma (dx)/(dt) = gamma v $
In sintesi si ha : $barU = (gammac, gammav) $
Adesso ti chiedo di verificare che la norma di questa 4- velocità è uguale a $c$, come ti ho detto sopra, ovvero:
$\barU*\barU = c^2$ .
....E cosí via!!! Si introducono altri 4- vettori molto importanti, come il 4-impulso , basta moltiplicare la 4-velocità per la massa invariante:
$barP= (mgammac, mgammavecv)$
La norma del 4-impulso che puoi calcolare da solo, è uguale a $mc$ , come ti ha detto Sergeant Elias, ed è invariante per tutti gli OI.
...e la 4-accelerazione $barA$ (che risulta ortogonale alla 4-velocità, nella geometria iperbolica di Minkowski: facile dimostrarlo , provaci ...
Si tratta insomma di un algoritmo di calcolo, inventato da Minkowski (su cui inizialmente Einstein non era tanto d’accordo, pensa !) , molto utile e molto usato specie in questioni di dinamica relativistica.
Qui e nel seguito puoi trovare maggiori informazioni. Usa pure la funzione “cerca” nella sezione di fisica, ci sono molti thread su questo argomento. Puoi anche liberamente scaricare dal web il libro: Spacetime physics, di Taylor e Wheeler, che non è un libro divulgativo ma molto serio . Poi guarda questo:
https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/r ... /seven.pdf
Spero di averti dato almeno una idea di che cosa sono i 4-vettori.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo