Esercizio sull'elongazione (meccanica)

[SalvatCpo]

Un’asta sottile di massa m = 0.6 kg e lunghezza l = 80 cm è incernierata per un suo
estremo e può ruotare liberamente nel piano verticale; all’altro estremo è fissato un corpo di
dimensioni trascurabili e massa m0 =0.1 kg. L’asta è mantenuta in posizione orizzontale
mediante un filo passante per il suo centro, mentre l’estremo libero è attaccato ad una molla
ideale di costante elastica k = 50 N/m; nella condizione iniziale di equilibrio la molla non è
deformata rispetto alla sua lunghezza a riposo.
Ad un certo istante, il filo viene tagliato; calcolare:
1) la massima elongazione angolare dell’asta;
2) la nuova posizione di equilibrio;
3) la velocità angolare con cui l’asta passa per detta
posizione di equilibrio.
N.B. Si consideri la molla sempre in posizione verticale

Non CAPISCO che differenza c'è fra posizione di equilibrio ed elongazione. Cosa è l'elongazione?

[R: 1) 11.30°; 2) 5,62°; 3) 1.27 rad/s]

[professorkappa]

Elongazione angolare mi sembra un termine infelice. Intende allungamento massimo della molla quando spezzi il filo, espresso come angolo rispetto all orizzontale. Non coincide in genere con la posizione di equilibrio. Prova a risolvere e posta il ragionamento.

[bulletcluster]

"professorkappa":Elongazione angolare mi sembra un termine infelice. Intende allungamento massimo della molla quando spezzi il filo, espresso come angolo rispetto all orizzontale. Non coincide in genere con la posizione di equilibrio. Prova a risolvere e posta il ragionamento.

Salve, mi sono trovato ad avere a che fare con lo stesso problema, senza che inutilmente apro un nuovo topic, qualcuno si può cimentare a risolverlo? (ci sto impazzendo da un pò)

[professorkappa]

Posta qualche pazzia e ne parliamo; l'esercizio mi pare banale

[Dzien]

Studiando il tratto in salita, tutte le forze puntano verso il basso, quindi si ha
\[\left(\frac{m_{a}}{3}+m_{0}\right)l^{2}\ddot{\vartheta}=-\left(\frac{m_{a}}{2}+m_{0}\right)gl\sin\left(\frac{\pi}{2}+\vartheta\right)-kyl\sin\left(\frac{\pi}{2}-\vartheta\right)
\]
sapendo che \(y=l\tan\vartheta\), per piccoli angoli, si ha
\[\ddot{\vartheta}+a_{1}\vartheta=-a_{2}con a_{1}=\frac{k}{\frac{m_{a}}{3}+m_{0}}=166.67,\qquad a_{2}=\frac{\frac{m_{a}}{2}+m_{0}}{\frac{m_{a}}{3}+m_{0}}\frac{g}{l}=16.33
\]
risolvendo l'equazione algebrica associata \(\lambda^{2}+a_{1}=0\) si ha\(\lambda_{1,2}=\pm i\sqrt{a_{1}}\)

La soluzione omogenea da determinare è
\[
\vartheta_{o}\left(t\right)=c_{1}\cos\left(\sqrt{a_{1}t}\right)+c_{2}\sin\left(\sqrt{a_{1}t}\right),\qquad c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}\]
La soluzione particolare con il metodo di somiglianza risulta \[
\vartheta_{p}=-\frac{a_{2}}{a_{1}}\]
Per cui \[
\vartheta\left(t\right)=c_{1}\cos\left(\sqrt{a_{1}t}\right)+c_{2}\sin\left(\sqrt{a_{1}t}\right)-\frac{a_{2}}{a_{1}}.\]
Sapendo che \[
\vartheta\left(0\right)=0,\qquad\dot{\vartheta}\left(0\right)=0\Rightarrow c_{1}=\frac{a_{2}}{a_{1}};c_{2}=0\]
Per cui \[
\vartheta\left(t\right)=\frac{a_{2}}{a_{1}}\left(\cos\left(\sqrt{a_{1}t}\right)-1.\right)\]
La massima elogazione si ha massimizzando la funzione, ossia quando il coseno vale -1, quindi \[
\vartheta_{m}=2\frac{a_{2}}{a_{1}}.\]
Il secondo punto si tratta della condizione per cui il momento è nullo, ossia \(\ddot{\vartheta}=0,\) da cui si ottiene\[
\vartheta=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\left(\frac{m_{a}}{2}+m_{0}\right)\frac{g}{kl}=0.098\sim5.62^{0}.\]
Il terzo punto lo lascio per esercizio ancora per un po'. (i segno degli angoli va ridefinito)