Esercizio sull'attrito

[caffeinaplus]

Salve a tutti
Sono alle prese con questo esercizio

Su un piano orizzontale è appoggiata una slitta sulla quale è posto un corpo di massa $m = 1Kg$, il quale è attaccato con una corda elastica di lunghezza a riposo $L_0 = 40cm$ ad un punto fisso $O$. Nella posizione iniziale la corda non è in tensione. Il coefficiente di attrito tra la slitta ed il corpo vale $mu = 0.2$. La slitta viene spostata lentamente verso destra finché la massa m comincia a scivolare su di essa, cosa che avviene quando la corda devia dalla verticale di un angolo $theta=pi/6$ . Trovare il lavoro svolto fino a quel momento dalla forza di attrito che agisce sul corpo di massa $m$

Allora parto considerando l'espressione della forza di attrito.
Dato che la corda esercita anche una forza che solleva dal carrello il nostro corpo $m$ essa andrà a diminuire la forza di attrito con il passare del tempo.
Quindi, detta $T$ questa tensione e $theta$ l'angolo che la corda forma con la verticale si ha

$F_A = mu(mg - Tcos(theta) )$

Dato che a $theta=pi/6$ il corpo scorre, vuol dire che l'attrito non riesce più a trascinarlo con se e quindi la tensione che vorrebbe riportare sulla verticale il corpo e l'attrito sono equivalenti annullando l'accelerazione

$Tsin(theta_0) = mu(mg - Tcos(theta_0) ) -> T = (mumg)/(sin(theta_0) + mucos(theta_0) )$

Ora che abbiamo tutto il necessario per esprimere la forza di attrito possiamo calcolare il suo lavoro

$W = mumgint_{0}^{x_0} (1 - (mucos(theta))/(sin(theta_0)+ mucos(theta_0) ))dx$

Ora con la trigonometria ricavo che lo spostamento in orizzontale fatto dal corpo è

$x = Lsin(theta)$ allora $dx = Lcos(theta)d(theta)$

Allora

$W = mumgint_{0}^{pi/6} (1 - (mucos(theta))/(sin(theta_0)+ mucos(theta_0) ))Lcos(theta)d(theta)$

Però a questo punto già dovrei aver sbagliato, perchè da qui il risultato ottenuto dalla risoluzione dell'integrale è diverso da quello esatto che dovrebbe essere

$W=(mumgL)/2 * (1-cos(theta_0))/( (sin(theta_0)+mucos(theta_0))cos(theta_0))$

Per la precisione non coincide dato che risolvendo si ha

$1/2*(mumgL) - (mu^2mgL)/(2(sin(theta_0)+mucos(theta_0)))int_{0}^{pi/6}1+cos(2theta)d(theta)$

Grazie in anticipo per l'aiuto

[anonymous_0b37e9]

Non puoi risolvere l'esercizio senza considerare come varia la forza esercitata dalla corda elastica. Insomma, è necessario determinare la costante elastica della corda. A meno di sviste dovrebbe essere:

$k=(2sqrt3\mu_smg)/((sqrt3\mu_s+1)(2-sqrt3)L_0)$

ricavata utilizzando la seguente implicazione:

$T(\theta)=k[L(\theta)-L_0] ^^ L(\theta)=L_0/cos\theta rarr T(\theta)=(kL_0(1-cos\theta))/cos\theta rarr T(\pi/6)=kL_0(2sqrt3/3-1)$

e la condizione limite:

$1/2T(\pi/6)=\mu_s[mg-sqrt3/2T(\pi/6)]$

Infine, per quanto riguarda il lavoro della forza di attrito, si tratta di integrarne la componente orizzontale:

$T(\theta)sin\theta=(kL_0(1-cos\theta)sin\theta)/cos\theta=(2sqrt3\mu_smg)/((sqrt3\mu_s+1)(2-sqrt3))((1-cos\theta)sin\theta)/cos\theta$

[caffeinaplus]

Cavolo, non avevo capito che con "elastico" dovevo interpretarlo in questo senso!

Non mi è molto chiaro cosa esprime questa equazione

$T(theta) = k[L(theta)-L(theta_0)] \wedge L(theta)$

Cioè la tensione è uguale al momento della forza elastica?
E se si perchè?

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il lavoro:

$T(\theta)sin\theta=(2sqrt3\mu_smg)/((sqrt3\mu_s+1)(2-sqrt3))((1-cos\theta)sin\theta)/cos\theta$

$x=L_0tg\theta rarr dx=L_0/cos^2\thetad\theta$

$W=(2sqrt3\mu_smgL_0)/((sqrt3\mu_s+1)(2-sqrt3))\int_{0}^{\pi/6}((1-cos\theta)sin\theta)/cos^3\thetad\theta$

$\int_{0}^{\pi/6}((1-cos\theta)sin\theta)/cos^3\thetad\theta=\int_{0}^{\pi/6}(sin\theta/cos^3\theta-sin\theta/cos^2\thetad\theta)=[1/(2cos^2\theta)-1/cos\theta]_{0}^{\pi/6}=(7-4sqrt3)/6$

$W=(2sqrt3\mu_smgL_0)/((sqrt3\mu_s+1)(2-sqrt3))(7-4sqrt3)/6=(2sqrt3\mu_smgL_0)/((sqrt3\mu_s+1)(2-sqrt3))(2-sqrt3)^2/6=(sqrt3(2-sqrt3)\mu_smgL_0)/(3(sqrt3\mu_s+1))$

il cui valore è uguale alla soluzione che hai indicato.

"caffeinaplus":
Non mi è molto chiaro ...

Il simbolo $\wedge$ è l'and logico, non il prodotto vettoriale.

[caffeinaplus]

Grazie mille, penso che da solo non ci sarei riuscito, ora è tutto molto chiaro