Esercizio sulla serie e parallelo di resistenze
Buongiorno e buona domenica a tutti! 
Mi servirebbe una mano per venire a capo di un esercizio di fisica per la quinta liceo scientifico che mi è stato richiesto da un ragazzo a cui do ripetizioni. L'esercizio è preso dal testo "L'Amaldi per i licei scientifici 2", edizione blu. Lo schema è il seguente:
Viene data la corrente $ i = 8A$, che entra dal nodo A ed esce dal nodo D. Le resistenze sono tutte uguali. Si chiede il valore della corrente $i_2$ e il risultato è $3A$.
Ora, io non ho problemi ad arrivare al risultato usando le leggi di Kirchhoff, ma il punto è un altro. Questo esercizio fa parte del paragrafo sulle serie e paralleli di resistenze e a quel punto del libro Kirchhoff non è stato ancora nemmeno nominato, quindi il problema sarebbe da risolvere esclusivamente con le formule della serie e del parallelo, insomma facendo la resistenza equivalente di quella configurazione lì. E infatti la professoressa del mio allievo di ripetizioni ha sottolineato questa cosa e ha "rettificato" il circuito (parole del ragazzo, intendeva dire che ha ridotto il tutto a un circuito dall'aspetto più lineare, per poi applicare i normali serie e parallelo) ma in una maniera che lui non ha assolutamente capito e in due minuti prima dell'intervallo, tant'è che i ragazzi sono rimasti tutti perplessi e nessuno è riuscito a prendere appunti. Poi questa prof si è rifiutata di tornare sull'argomento nelle lezioni successive, dicendo di essere troppo indietro col programma, e quindi il ragazzo ha chiesto a me la prima volta che ci siamo visti per ripetere matematica.
Il problema è che non ho idea di come maneggiare quel circuito se non posso usare né Kirchhoff né, in alternativa, le trasformazioni stella-triangolo. Non so, probabilmente mi sto perdendo un'intuizione semplice ma fondamentale che consenta di farlo, potete aiutarmi a uscirne fuori?
Grazie a tutti come sempre
Mi servirebbe una mano per venire a capo di un esercizio di fisica per la quinta liceo scientifico che mi è stato richiesto da un ragazzo a cui do ripetizioni. L'esercizio è preso dal testo "L'Amaldi per i licei scientifici 2", edizione blu. Lo schema è il seguente:
Viene data la corrente $ i = 8A$, che entra dal nodo A ed esce dal nodo D. Le resistenze sono tutte uguali. Si chiede il valore della corrente $i_2$ e il risultato è $3A$.
Ora, io non ho problemi ad arrivare al risultato usando le leggi di Kirchhoff, ma il punto è un altro. Questo esercizio fa parte del paragrafo sulle serie e paralleli di resistenze e a quel punto del libro Kirchhoff non è stato ancora nemmeno nominato, quindi il problema sarebbe da risolvere esclusivamente con le formule della serie e del parallelo, insomma facendo la resistenza equivalente di quella configurazione lì. E infatti la professoressa del mio allievo di ripetizioni ha sottolineato questa cosa e ha "rettificato" il circuito (parole del ragazzo, intendeva dire che ha ridotto il tutto a un circuito dall'aspetto più lineare, per poi applicare i normali serie e parallelo) ma in una maniera che lui non ha assolutamente capito e in due minuti prima dell'intervallo, tant'è che i ragazzi sono rimasti tutti perplessi e nessuno è riuscito a prendere appunti. Poi questa prof si è rifiutata di tornare sull'argomento nelle lezioni successive, dicendo di essere troppo indietro col programma, e quindi il ragazzo ha chiesto a me la prima volta che ci siamo visti per ripetere matematica.
Il problema è che non ho idea di come maneggiare quel circuito se non posso usare né Kirchhoff né, in alternativa, le trasformazioni stella-triangolo. Non so, probabilmente mi sto perdendo un'intuizione semplice ma fondamentale che consenta di farlo, potete aiutarmi a uscirne fuori?
Grazie a tutti come sempre
Risposte
Se possiamo usare solo trasformazioni elementari serie parallelo, direi che si può risolvere via simmetria, la rete di resistori è infatti simmetrica rispetto all'asse A D e per la simmetria la corrente entrante in A si dividerà in due parti uguali i/2 dirette verso F e verso B.
Ne segue che due possono essere le metodologie risolutive, la prima delle quali è andare ad osservare che se supponiamo di sostituire il resistore R fra C e D come parallelo di due resistori di resistenza doppia 2R, sempre per la simmetria, potremo considerare la rete divisa in due parti uguali a e b separabili in quanto la corrente nel loro collegamento in corrispondenza a C la corrente nulla
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 80 25 80 35 0
LI 80 35 80 35 0
LI 105 35 105 35 0
MC 60 35 0 0 ihram.res
MC 85 35 0 0 ihram.res
MC 105 45 1 0 ihram.res
MC 120 55 1 0 ihram.res
MC 55 45 1 0 ihram.res
MC 40 55 1 0 ihram.res
MC 70 65 1 0 ihram.res
MC 90 65 1 0 ihram.res
LI 75 35 85 35 0
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LI 40 70 40 80 0
LI 40 80 120 80 0
LI 120 80 120 70 0
LI 120 70 120 70 0
TY 79 92 4 3 0 1 0 * D
LI 85 60 85 60 0
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LI 85 60 85 60 0
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LI 70 65 70 60 0
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TY 79 17 4 3 0 1 0 * A
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TY 65 27 4 3 0 1 0 * R
TY 90 27 4 3 0 1 0 * R
TY 60 48 4 3 0 1 0 * R
TY 97 48 4 3 0 1 0 * R
TY 33 60 4 3 0 1 0 * R
TY 60 67 4 3 0 1 0 * 2R
TY 94 68 4 3 0 1 0 * 2R
TY 36 29 4 3 0 1 0 * F
TY 120 28 4 3 0 1 0 * B
TY 79 52 4 3 0 1 0 * C
LI 70 60 90 60 2
TY 75 60 4 3 0 1 2 * I=0
TY 49 21 4 3 0 1 11 * a
RV 130 85 85 27 11
FCJ 0 1
TY 126 100 0 0 0 0 11 * a
TY 126 105 0 0 0 0 11 *
RV 75 85 30 27 11
FCJ 0 1
TY 71 100 0 0 0 0 11 * a
TY 71 105 0 0 0 0 11 *
TY 107 21 4 3 0 1 11 * b[/fcd]
Parti per le quali sarà semplice determinare la resistenza equivalente, che sarà pari a $7/4 R $, ne segue quindi che la $R_{AD}$ sarà uguale a $7/8R$.
Alternativamente, vista la sopraddetta suddivisione della corrente, i punti F e B potranno essere considerati equipotenziali e quindi cortocircuitabili
[fcd="fig.2"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 80 20 80 35 0
LI 80 35 80 35 0
LI 105 35 105 35 0
MC 60 35 0 0 ihram.res
MC 85 35 0 0 ihram.res
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MC 40 55 1 0 ihram.res
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LI 105 35 105 35 0
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LI 40 81 120 81 0
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LI 120 70 120 70 0
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LI 55 60 105 60 0
LI 105 60 105 60 0
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LI 80 60 80 60 0
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LI 260 35 260 55 0
LI 260 55 260 55 0
LI 170 81 260 81 0
LI 260 81 260 70 0
LI 260 70 260 70 0
TY 264 60 4 3 0 1 0 * R
MC 260 55 1 0 ihram.res
LI 240 35 260 35 0
TY 260 28 4 3 0 1 0 * B
LI 215 80 215 90 0
TY 210 60 4 3 0 1 0 * C
LI 215 65 215 60 0
LI 211 60 211 60 0
LI 210 60 210 60 0
LI 220 60 220 60 0
MC 215 65 1 0 ihram.res
SA 215 45 0
TY 220 50 4 3 0 1 0 * R/2
TY 219 34 4 3 0 1 0 * R/2
LI 215 20 215 30 0
TY 214 12 4 3 0 1 0 * A
LI 170 70 170 81 0
TY 163 60 4 3 0 1 0 * R
TY 166 29 4 3 0 1 0 * F
LI 170 35 170 55 0
LI 170 55 170 55 0
LI 170 35 190 35 0
MC 170 55 1 0 ihram.res
TY 223 69 4 3 0 1 0 * R
TY 214 93 4 3 0 1 0 * D
SA 215 81 0
SA 80 81 0
LI 90 45 105 35 2
LI 55 35 70 45 2
LI 190 35 205 45 2
LI 225 45 240 35 2
LI 205 45 225 45 2
LI 70 45 90 45 2[/fcd]
e anche in questo caso la semplificazione sarà immediata.
Ne segue che due possono essere le metodologie risolutive, la prima delle quali è andare ad osservare che se supponiamo di sostituire il resistore R fra C e D come parallelo di due resistori di resistenza doppia 2R, sempre per la simmetria, potremo considerare la rete divisa in due parti uguali a e b separabili in quanto la corrente nel loro collegamento in corrispondenza a C la corrente nulla
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 80 25 80 35 0
LI 80 35 80 35 0
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MC 105 45 1 0 ihram.res
MC 120 55 1 0 ihram.res
MC 55 45 1 0 ihram.res
MC 40 55 1 0 ihram.res
MC 70 65 1 0 ihram.res
MC 90 65 1 0 ihram.res
LI 75 35 85 35 0
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LI 105 35 105 35 0
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LI 40 70 40 80 0
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LI 120 70 120 70 0
TY 79 92 4 3 0 1 0 * D
LI 85 60 85 60 0
LI 105 60 90 60 0
LI 85 60 85 60 0
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TY 107 21 4 3 0 1 11 * b[/fcd]
Parti per le quali sarà semplice determinare la resistenza equivalente, che sarà pari a $7/4 R $, ne segue quindi che la $R_{AD}$ sarà uguale a $7/8R$.
Alternativamente, vista la sopraddetta suddivisione della corrente, i punti F e B potranno essere considerati equipotenziali e quindi cortocircuitabili
[fcd="fig.2"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 80 20 80 35 0
LI 80 35 80 35 0
LI 105 35 105 35 0
MC 60 35 0 0 ihram.res
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LI 105 35 105 35 0
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SA 215 81 0
SA 80 81 0
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LI 190 35 205 45 2
LI 225 45 240 35 2
LI 205 45 225 45 2
LI 70 45 90 45 2[/fcd]
e anche in questo caso la semplificazione sarà immediata.
Grazie infinite!!! Avevo pensato alla strada della simmetria, ma mi disturbava la presenza della resistenza "comune" tra C e D. Non avevo proprio pensato a dividerla in due resistenze in parallelo.
Ho provato anche a cortocircuitare B e F e mi viene esattamente come te anche se il mio disegno fa orrore.
Non mi torna numericamente il risultato ma avrò sbagliato i conti fatti al volo. Non importa, la cosa fondamentale è aver capito il concetto. Grazie ancora!
Avevo pensato alla strada della simmetria, ma mi disturbava la presenza della resistenza "comune" tra C e D. Non avevo proprio pensato a dividerla in due resistenze in parallelo. Ho provato anche a cortocircuitare B e F e mi viene esattamente come te anche se il mio disegno fa orrore.
Non mi torna numericamente il risultato ma avrò sbagliato i conti fatti al volo. Non importa, la cosa fondamentale è aver capito il concetto. Grazie ancora!
"lillina95":
... Non mi torna numericamente il risultato ...
Con la tua rete,
$R_{AD}=\frac{R}{2}+(\frac{1}{R}+\frac{2}{3R}+\frac{1}{R})^{-1}=\frac{R}{2}+\frac{3R}{8}=\frac{7R}{8} $
Ecco, CVD. Avevo scritto $(8R)/3$ invece di $(3R)/8$. 
Meno male che ho scelto medicina, con i calcoli proprio non sono in grado!
Grazie ancora per tutto.
Meno male che ho scelto medicina, con i calcoli proprio non sono in grado!
Grazie ancora per tutto.
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