Esercizio sulla conservazione del momento angolare
Salve a tutti,
sono alle prese con il seguente esercizio:
"Sul bordo di una ruota di raggio $R=1,0 m$ e massa $M=8,0 kg$ sta dormendo un gattino di massa $m=2,0 kg$. Il sistema è inizialmente in quiete. Il disco è libero di ruotare senza attrito attorno al suo asse centrale perpendicolare al disco e il momento di inerzia rispetto a questo asse è $I=\frac{1}{2}MR^2$. A un certo istante, il gattino si sveglia e compie un balzo tangenzialmente al bordo del disco con una velocità $v_0=2,0 m/s$. Ricava l'energia cinetica rotazionale del disco dopo che il gattino ha saltato"
Ho proceduto a risolverlo utilizzando la legge di conservazione del momento angolare. Tale grandezza inizialmente è nulla, mentre quando il gattino compie il balzo essa è pari a $mRv_0+I\omega$. Uguagliando le due quantità è possibile ricavare la velocità angolare:
$$\omega=-\frac{mRv_0^2}{I}.$$
Pertanto l'energia cinetica del disco dopo il salto del gattino è $K=\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{1}{2}I\left(-\frac{mRv_0}{I}\right)^2=\frac{m^2v_0^2}{M}=2,0 J$.
Credo che la soluzione sia corretta, ma mi sto chiedendo perché non è possibile ricavare la velocità angolare utilizzando la formula $\omega=\frac{v_0}{R}$. E' dovuto al fatto che la velocità con cui balza il gattino non rappresenta la velocità tangenziale del disco? E se così fosse, mi chiedo il perché? E' dovuto alla maggiore inerzia del disco?
Un'altra domanda che mi pongo è la seguente: se calcoliamo il momento della forza peso del disco rispetto al suo centro di massa, esso è nullo poiché il braccio è nullo; al contrario il momento della forza peso del gattino calcolato rispetto al medesimo punto non è nullo, ma giace nel piano su cui avviene la rotazione e pertanto la componente assiale è nulla. Dunque possiamo affermare che stiamo usando la conservazione del momento angolare solo lungo l'asse $z$?
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
sono alle prese con il seguente esercizio:
"Sul bordo di una ruota di raggio $R=1,0 m$ e massa $M=8,0 kg$ sta dormendo un gattino di massa $m=2,0 kg$. Il sistema è inizialmente in quiete. Il disco è libero di ruotare senza attrito attorno al suo asse centrale perpendicolare al disco e il momento di inerzia rispetto a questo asse è $I=\frac{1}{2}MR^2$. A un certo istante, il gattino si sveglia e compie un balzo tangenzialmente al bordo del disco con una velocità $v_0=2,0 m/s$. Ricava l'energia cinetica rotazionale del disco dopo che il gattino ha saltato"
Ho proceduto a risolverlo utilizzando la legge di conservazione del momento angolare. Tale grandezza inizialmente è nulla, mentre quando il gattino compie il balzo essa è pari a $mRv_0+I\omega$. Uguagliando le due quantità è possibile ricavare la velocità angolare:
$$\omega=-\frac{mRv_0^2}{I}.$$
Pertanto l'energia cinetica del disco dopo il salto del gattino è $K=\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{1}{2}I\left(-\frac{mRv_0}{I}\right)^2=\frac{m^2v_0^2}{M}=2,0 J$.
Credo che la soluzione sia corretta, ma mi sto chiedendo perché non è possibile ricavare la velocità angolare utilizzando la formula $\omega=\frac{v_0}{R}$. E' dovuto al fatto che la velocità con cui balza il gattino non rappresenta la velocità tangenziale del disco? E se così fosse, mi chiedo il perché? E' dovuto alla maggiore inerzia del disco?
Un'altra domanda che mi pongo è la seguente: se calcoliamo il momento della forza peso del disco rispetto al suo centro di massa, esso è nullo poiché il braccio è nullo; al contrario il momento della forza peso del gattino calcolato rispetto al medesimo punto non è nullo, ma giace nel piano su cui avviene la rotazione e pertanto la componente assiale è nulla. Dunque possiamo affermare che stiamo usando la conservazione del momento angolare solo lungo l'asse $z$?
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
Risposte
.......
Ho proceduto a risolverlo utilizzando la legge di conservazione del momento angolare. Tale grandezza inizialmente è nulla, mentre quando il gattino compie il balzo essa è pari a $mR^2v_0+I\omega$.
Attento, la quantità $mR^2v_0$ non è corretta. Il momento angolare del gatto rispetto al centro della ruota, dopo il salto, è $mRv_0$.
Si scusa, ho commesso un errore. Ma ciò che mi interessa sono le domande poste alla fine sopratutto.
legge di conservazione del momento angolare
Non c'è nessuna legge di conservazione del momento angolare
Un'altra domanda che mi pongo è la seguente: se calcoliamo il momento della forza peso del disco rispetto al suo centro di massa, esso è nullo poiché il braccio è nullo; al contrario il momento della forza peso del gattino calcolato rispetto al medesimo punto non è nullo, ma giace nel piano su cui avviene la rotazione e pertanto la componente assiale è nulla. Dunque possiamo affermare che stiamo usando la conservazione del momento angolare solo lungo l'asse z?
Tutto sbagliato perché applichi una "legge di conservazione" che non è una legge ma deriva da opportune ipotesi.
"serendipity00":
Non c'è nessuna legge di conservazione del momento angolare
Suppongo che questo vada insieme alla legge di Coulomb con $1/(r^(2+epsi))$ ...
Cosa è sta novità che non esiste la legge di conservazione del momento angolare? Stavo appunto verificando che la somma dei momenti delle forze agenti sul sistema fosse nulla.
Non c'è nessuna legge di conservazione del momento angolare, né tantomeno della quantità di moto, le leggi fondamentali della meccanica sono poche:
1) esiste un sdr inerziale
2) azione-reazione
3) inerzia
4) f=ma
5) relatività galileiana
Tutto il resto sono conclusioni ricavate in maniera razionale. In particolare le equazioni cardinali della meccanica (che non sono per niente equivalenti a f=ma, valida solo x un punto materiale) si ricavano dalle precedenti e sotto opportune ipotesi permettono di dire quando si conservano la qdm e il momento angolare di un sistema (che pertanto non sono leggi ma semplici conseguenze deelle suddette). Qui NON abbiamo a che fare con la conservazione del momento angolare, il sistema infatti non è isolato, ci sono il vincolo che fa ruotare la ruota e la gravità, bensì si tratta di un fenomeno di "urto" in senso generale, ossia una interazione tra due sistemi "istantanea", sempre le già citate equazioni permettono di dire cosa si conserva in tale interazione istantanea e sotto quali condizioni.
1) esiste un sdr inerziale
2) azione-reazione
3) inerzia
4) f=ma
5) relatività galileiana
Tutto il resto sono conclusioni ricavate in maniera razionale. In particolare le equazioni cardinali della meccanica (che non sono per niente equivalenti a f=ma, valida solo x un punto materiale) si ricavano dalle precedenti e sotto opportune ipotesi permettono di dire quando si conservano la qdm e il momento angolare di un sistema (che pertanto non sono leggi ma semplici conseguenze deelle suddette). Qui NON abbiamo a che fare con la conservazione del momento angolare, il sistema infatti non è isolato, ci sono il vincolo che fa ruotare la ruota e la gravità, bensì si tratta di un fenomeno di "urto" in senso generale, ossia una interazione tra due sistemi "istantanea", sempre le già citate equazioni permettono di dire cosa si conserva in tale interazione istantanea e sotto quali condizioni.
Se intendi discutere se sia corretto o meno parlare di legge di conservazione, hai frainteso il mio intento e sinceramente non mi interessa ingaggiare una battaglia su questo. E' un semplice problemino da liceo sul quale volevo fugare i dubbi sopra esposti.
"jakojako":
, ma mi sto chiedendo perché non è possibile ricavare la velocità angolare utilizzando la formula $\omega=\frac{v_0}{R}$. E' dovuto al fatto che la velocità con cui balza il gattino non rappresenta la velocità tangenziale del disco? E se così fosse, mi chiedo il perché? E' dovuto alla maggiore inerzia del disco?
Esattamente. È equivalente alla conservazione della quantità di moto. Se fossi su una lastra di ghiaccio con i pattini di fronte a un tuo amico grasso pure coi pattini e vi spingete uno con l'altro, se tu acquisisci la velocità $v$ che velocità avrà il tuo amico? Nel caso di questo problema è analogo ma la conservazione è del momento angolare.
"jakojako":
Dunque possiamo affermare che stiamo usando la conservazione del momento angolare solo lungo l'asse $z$?
Certamente, solo rispetto all'asse z i momenti delle forze esterne sono nulli, perché hai il dubbio? O forse non ho capito il dubbio...
solo rispetto all'asse z i momenti delle forze esterne sono nulli
il testo dice esplicitamente che il disco è libero di ruotare senza attrito e va bene. Ma se il vincolo di rotazione non fosse ideale ma presentasse una coppia resistente d'attrito lungo l'asse avremmo che non vale piu la conservazione del momento angolare?
"serendipity00":
il testo dice esplicitamente che il disco è libero di ruotare senza attrito e va bene. Ma se il vincolo di rotazione non fosse ideale ma presentasse una coppia resistente d'attrito lungo l'asse avremmo che non vale piu la conservazione del momento angolare?
Avremmo che è presente un momento esterno e quindi certamente il momento angolare rispetto a tale asse non si conserva in generale, ma per il problema specifico dato che il salto del gatto è impulsivo tra subito prima e subito dopo il salto il momento angolare si conserva.
Quindi per il problema specifico è vero che si poteva assumere la conservazione comunque, ma meglio riferirsi all'asse z che è più comodo.
Non so se volessi che puntualizzassi questo, comunque grazie per l'osservazione credo sia stata utile a precisare meglio.
vedo che hai studiato
In verità quello che volevo puntualizzare è che questo è un esericizo di "urti" e non di coservazioni di quantità in sistemi isolati, cosa che l'OP non ha capito, le quantità conservate sono sole relative all'istante prima e dopo l'urto, per cui non ci importa del peso del gatto che fa momento o del vincolo non ideale
@jakojako
immagina di riprendere il film di questo salto del gatto, e di proiettarlo all’incontrario. Allora avresti un problema del tutto uguale al seguente :
Un disco è in rotazione con una data velocità angolare, e un proiettile di una certa massa e velocità iniziale, nel piano del disco, diretta in verso opposto alla rotazione, si conficca giusto alla periferia del disco : si chiede di determinare quanto deve valere la velocità del proiettile affinché il sistema (disco+proiettile) si fermi.
Come fai a risolverlo? È semplice, applichi la conservazione del momento angolare rispetto al centro del disco: prima dell’urto ci sono due contributi, quello del proiettile e quello del disco ; dopo l’urto il momento angolare finale deve essere zero. L’urto è impulsivo e anelastico.
@serendipity : non è corretto rivolgersi a Faussone e dirgli “vedo che hai studiato”. Cerca di moderare i toni.
immagina di riprendere il film di questo salto del gatto, e di proiettarlo all’incontrario. Allora avresti un problema del tutto uguale al seguente :
Un disco è in rotazione con una data velocità angolare, e un proiettile di una certa massa e velocità iniziale, nel piano del disco, diretta in verso opposto alla rotazione, si conficca giusto alla periferia del disco : si chiede di determinare quanto deve valere la velocità del proiettile affinché il sistema (disco+proiettile) si fermi.
Come fai a risolverlo? È semplice, applichi la conservazione del momento angolare rispetto al centro del disco: prima dell’urto ci sono due contributi, quello del proiettile e quello del disco ; dopo l’urto il momento angolare finale deve essere zero. L’urto è impulsivo e anelastico.
@serendipity : non è corretto rivolgersi a Faussone e dirgli “vedo che hai studiato”. Cerca di moderare i toni.
[ot]
Grazie Shackle per la stima.
Credo sia meglio ignorare le sparate provocatorie del nostro amico serendipity (alias Vuplasir molto probabilmente), finché certo siano entro certi limiti, ma ci penseranno i moderatori.
Io prendo il buono: la sua precisazione era opportuna per chiarire meglio a jakojako. Ero stato troppo approssimativo nel mio chiarimento al suo secondo dubbio anche perché non lo avevo colto bene.[/ot]
"Shackle":
@serendipity : non è corretto rivolgersi a Faussone e dirgli “vedo che hai studiato”. Cerca di moderare i toni.
Grazie Shackle per la stima.
Credo sia meglio ignorare le sparate provocatorie del nostro amico serendipity (alias Vuplasir molto probabilmente), finché certo siano entro certi limiti, ma ci penseranno i moderatori.
Io prendo il buono: la sua precisazione era opportuna per chiarire meglio a jakojako. Ero stato troppo approssimativo nel mio chiarimento al suo secondo dubbio anche perché non lo avevo colto bene.[/ot]
[ot]Faussone, penso che avresti fatto altrettanto; ma una frase come quella non è corretta nei confronti di chicchessia.[/ot]
Certamente, solo rispetto all'asse z i momenti delle forze esterne sono nulli, perché hai il dubbio? O forse non ho capito il dubbio...
Diciamo che avevo bisogno di una conferma. Ti ringrazio infinitamente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo