Esercizio sulla cinematica
Salve a tutti ho cercato di risolvere questo problema:
Due città sono unite da una linea ferroviaria di lunghezza incognita. Un treno, in viaggio
dall’una all’altra, percorre la prima metà della linea a velocità V0. Il tratto rimanente
viene percorso a velocità V1 per metà del tempo e velocità V2 per l’altra metà. Trovare la
velocità media del treno nel viaggio tra le due città.
Dopo aver fatto molti conti ho trovato che la velocità media è $(V1+V2) /(V0+2V1)2VO$ non mi torna molto come cosa oltretutto dovrebbe esser un esercizio semplice e per risolvere ho fatto una miriade di conti se potete aiutarmi vi ringrazio
Due città sono unite da una linea ferroviaria di lunghezza incognita. Un treno, in viaggio
dall’una all’altra, percorre la prima metà della linea a velocità V0. Il tratto rimanente
viene percorso a velocità V1 per metà del tempo e velocità V2 per l’altra metà. Trovare la
velocità media del treno nel viaggio tra le due città.
Dopo aver fatto molti conti ho trovato che la velocità media è $(V1+V2) /(V0+2V1)2VO$ non mi torna molto come cosa oltretutto dovrebbe esser un esercizio semplice e per risolvere ho fatto una miriade di conti se potete aiutarmi vi ringrazio
Risposte
La media della seconda meta' del tragitto e' $(v_1+v_2)/2$, non c'e' bisogno di fare calcoli.
La velocita' media complessiva e'
$\bar v = (t_0 v_0 + t_{12}v_{12})/(t_0 + t_{12})$
dove
$t_0 = \frac{l / 2}{v_0}$
$ t_{12} = \frac{l / 2}{(v_1+v_2)/2}$
Dopo le dovute semplificazioni risulta
$\bar v = (2v_0 (v_1 + v_2)) / (v_0 + v_1 + v_2)$
La velocita' media complessiva e'
$\bar v = (t_0 v_0 + t_{12}v_{12})/(t_0 + t_{12})$
dove
$t_0 = \frac{l / 2}{v_0}$
$ t_{12} = \frac{l / 2}{(v_1+v_2)/2}$
Dopo le dovute semplificazioni risulta
$\bar v = (2v_0 (v_1 + v_2)) / (v_0 + v_1 + v_2)$
La seconda metà è percorsa alla velocità media $1/2(V_1 + V_2)$, visto che i tempi sono uguali.
Quindi il problema diventa:
se una metà di una lunghezza è percorsa a velocià $V_a$ e l'altra metà a velocità $V_b$, qual è la velocità media?
(dove $V_a = V_0$ e $V_b = 1/2(V_1 + V_2)$)
Qui i tempi non sono uguali, per cui non è una media semplice, ma una media pesata, sui relativi tempi:
quindi $V_m = (t_a*V_a + t_b*V_b)/(t_a + t_b)$
I tempi poi sono, $t_a = L/(2V_a)$ e $t_b = L/(2V_b)$
poi metti tutto insieme...
Quindi il problema diventa:
se una metà di una lunghezza è percorsa a velocià $V_a$ e l'altra metà a velocità $V_b$, qual è la velocità media?
(dove $V_a = V_0$ e $V_b = 1/2(V_1 + V_2)$)
Qui i tempi non sono uguali, per cui non è una media semplice, ma una media pesata, sui relativi tempi:
quindi $V_m = (t_a*V_a + t_b*V_b)/(t_a + t_b)$
I tempi poi sono, $t_a = L/(2V_a)$ e $t_b = L/(2V_b)$
poi metti tutto insieme...