Esercizio sul momento d'inerzia
Dopo aver compiuto qualche esercizio di ginnastica a terra, ti sdrai sulla schiena e sollevi una gamba ad angolo retto,mantenendola distesa. Se a questo punto lasci cadere liberamente la gamba fino a colpire il pavimento: qual'è la velocità tangenziale del tuo piede appena prima di toccare terra? Assumi che la gamba possa essere considerata come un'asta uniforme lunga 0,95metri, che fa liberamente perno intorno all'anca. Soluzione: 5,3 m/s
Io ho proceduto così:
I (inerzia) =(ml^2)/3 e M (momento della forza) = Forza * braccio = mg * l/2 (perchè concentriamo la massa nel cdm che si trova a distanza l/2 dal centro di rotazione)
Per definizione: M = I z (dove sto chiamando z l'accelerazione angolare), quindi:
mgl/2 = z ml^2/3 da cui si ricava che z = 3g/(2l)
Calcolo ora il tempo di caduta della gamba, che è ovviamente uguale per tutti i punti della gamba, essendo essa un corpo rigido: uso l'eq. della traiettoria verticale nel moto parabolico, considerando la gamba come un punto materiale di massa m ad altezza l/2 (che è la posizione iniziale del centro di massa):
0 = l/2 - gt^2/2 --> l/2 = gt^2/2 --> t = rad(l/g)
Per definizione si ha che w = z t --> w = 3g * rad (l/g) /(2l) = 3 rad(g/l) / 2
Per definizione si ha poi che v = w l (dove l è la distanza del piede dal centro di rotazione)
--> v = 3 l rad(g/l) /2 che però viene 4.5 m/s e non 5.3.
La risoluzione corretta sfrutta la conservazione dell'energia meccanica totale e viene 5.3 senza problemi.
Ma il mio procedimento mi sembra coerente... cosa c'è che non va?
Dov'è l'errore? Grazie in anticipo.
Io ho proceduto così:
I (inerzia) =(ml^2)/3 e M (momento della forza) = Forza * braccio = mg * l/2 (perchè concentriamo la massa nel cdm che si trova a distanza l/2 dal centro di rotazione)
Per definizione: M = I z (dove sto chiamando z l'accelerazione angolare), quindi:
mgl/2 = z ml^2/3 da cui si ricava che z = 3g/(2l)
Calcolo ora il tempo di caduta della gamba, che è ovviamente uguale per tutti i punti della gamba, essendo essa un corpo rigido: uso l'eq. della traiettoria verticale nel moto parabolico, considerando la gamba come un punto materiale di massa m ad altezza l/2 (che è la posizione iniziale del centro di massa):
0 = l/2 - gt^2/2 --> l/2 = gt^2/2 --> t = rad(l/g)
Per definizione si ha che w = z t --> w = 3g * rad (l/g) /(2l) = 3 rad(g/l) / 2
Per definizione si ha poi che v = w l (dove l è la distanza del piede dal centro di rotazione)
--> v = 3 l rad(g/l) /2 che però viene 4.5 m/s e non 5.3.
La risoluzione corretta sfrutta la conservazione dell'energia meccanica totale e viene 5.3 senza problemi.
Ma il mio procedimento mi sembra coerente... cosa c'è che non va?
Dov'è l'errore? Grazie in anticipo.
Risposte
Calcolo ora il tempo di caduta della gamba, che è ovviamente uguale per tutti i punti della gamba, essendo essa un corpo rigido: uso l'eq. della traiettoria verticale nel moto parabolico, considerando la gamba come un punto materiale di massa m ad altezza l/2
La gamba non è un punto materiale ad altezza l/2, è un corpo rigido, usa le equazioni del corpo rigido
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