Esercizio sugli urti: Due masse interagiscono attraverso una molla.
Salve, avrei bisogno di qualche anima pia che mi desse una mano con questo esercizio:
Una cassa di massa M pari a 10 Kg si muove senza attrito su un piano con velocità V pari a 3 m/s. Lungo il suo percorso incontra una cassa di massa m pari a 8Kg, inizialmente ferma. Le due casse interagiscono tramite una molla di costante elastica k pari a 7000 N/m. Determinare:
1)La compressione massima della molla.
2)Il lavoro totale compiuto dalla molla durante l'urto.
3)Le velocità finali delle due casse.
La mia ipotesi di risoluzione per la domanda 3 è la seguente:
Assumo che l'urto sia completamente elastico, conseguentemente si conservano sia l'energia meccanica che la quantità di moto. Mettendo a sistema le due condizioni trovo che:
\begin{cases}
MV_{i} + 0 = MV_{f} + mv_{f} \\
{MV_{i}^{2}}/2 + 0 = {MV_{f}^{2}}/2 + {mv_{f}^{2}}/2
\end{cases}
Da cui segue che:
\begin{cases}
V_{f}= \frac{M-m}{M+m}V_i =\frac{M-m}{M+m}V \\
v_{f}= \frac{2M}{M+m}V_i = \frac{2M}{M+m}V
\end{cases}
Dove V è la velocità di M e v è la velocità di m.
Per la domanda 1 io agirei nel seguente modo:
Nel momento di massima compressione della molla il corpo si comporta come un unico corpo di massa m+M e con velocità unica $v_{T}$. Essendo valida la conservazione della quantità di moto tra l'istante iniziale e quello di massima compressione della molla posso scrivere che:
$MV + 0 = (m+M)v_{T}$
Da cui:
$v_{T}= \frac{M}{m+M}V$
Ma vale anche la conservazione dell'energia meccanica:
$1/2MV^{2} = 1/2(m+M}v_{T}^{2} + 1/2kx^{2}$
Ottengo quindi:
$x=V \sqrt{\frac{M}{k}(1-\frac{M}{M+m}}$
Dove x è la massima compressione.
Per la domanda 2 valuterei la meno variazione dell'energia potenziale elastica tra l'istante iniziale in cui la molla è a riposo e l'istante in cui la molla è alla massima compressione x:
$W=-\DeltaU = U_{riposo} - U_{comp} = -1/2kx^{2} = \frac{V^{2}M}{2}(\frac{M}{M+m} -1)$
Ora, non avendo i risultati mi sembra inutile sostituire i numeri ma il punto è il procedimento. Sinceramente alcuni passaggi non mi convincono soprattutto nella risposta alla domanda 1, mi sembra di fare il classico errore di applicare il regime di urto anelastico con la conservazione dell'energia meccanica, della serie "ti piace vincere facile" per cui sono un po' perplesso. Inoltre una parte di me è convinta che nel momento di massima compressione la velocità sia nulla e quindi in quel momento l'energia sia puramente potenziale elastica.
Qualcuno mi dà una mano?
Una cassa di massa M pari a 10 Kg si muove senza attrito su un piano con velocità V pari a 3 m/s. Lungo il suo percorso incontra una cassa di massa m pari a 8Kg, inizialmente ferma. Le due casse interagiscono tramite una molla di costante elastica k pari a 7000 N/m. Determinare:
1)La compressione massima della molla.
2)Il lavoro totale compiuto dalla molla durante l'urto.
3)Le velocità finali delle due casse.
La mia ipotesi di risoluzione per la domanda 3 è la seguente:
Assumo che l'urto sia completamente elastico, conseguentemente si conservano sia l'energia meccanica che la quantità di moto. Mettendo a sistema le due condizioni trovo che:
\begin{cases}
MV_{i} + 0 = MV_{f} + mv_{f} \\
{MV_{i}^{2}}/2 + 0 = {MV_{f}^{2}}/2 + {mv_{f}^{2}}/2
\end{cases}
Da cui segue che:
\begin{cases}
V_{f}= \frac{M-m}{M+m}V_i =\frac{M-m}{M+m}V \\
v_{f}= \frac{2M}{M+m}V_i = \frac{2M}{M+m}V
\end{cases}
Dove V è la velocità di M e v è la velocità di m.
Per la domanda 1 io agirei nel seguente modo:
Nel momento di massima compressione della molla il corpo si comporta come un unico corpo di massa m+M e con velocità unica $v_{T}$. Essendo valida la conservazione della quantità di moto tra l'istante iniziale e quello di massima compressione della molla posso scrivere che:
$MV + 0 = (m+M)v_{T}$
Da cui:
$v_{T}= \frac{M}{m+M}V$
Ma vale anche la conservazione dell'energia meccanica:
$1/2MV^{2} = 1/2(m+M}v_{T}^{2} + 1/2kx^{2}$
Ottengo quindi:
$x=V \sqrt{\frac{M}{k}(1-\frac{M}{M+m}}$
Dove x è la massima compressione.
Per la domanda 2 valuterei la meno variazione dell'energia potenziale elastica tra l'istante iniziale in cui la molla è a riposo e l'istante in cui la molla è alla massima compressione x:
$W=-\DeltaU = U_{riposo} - U_{comp} = -1/2kx^{2} = \frac{V^{2}M}{2}(\frac{M}{M+m} -1)$
Ora, non avendo i risultati mi sembra inutile sostituire i numeri ma il punto è il procedimento. Sinceramente alcuni passaggi non mi convincono soprattutto nella risposta alla domanda 1, mi sembra di fare il classico errore di applicare il regime di urto anelastico con la conservazione dell'energia meccanica, della serie "ti piace vincere facile" per cui sono un po' perplesso. Inoltre una parte di me è convinta che nel momento di massima compressione la velocità sia nulla e quindi in quel momento l'energia sia puramente potenziale elastica.
Qualcuno mi dà una mano?
Risposte
Ciao, premetto di non avere letto tutta la tua risoluzione ma solo la questione che poni:
(immagino che invece di "anelastico" intendi in realtà elastico)
la questione è piuttosto semplice: se le forze che agiscono sul sistema sono conservative, l'energia meccanica si conserva. In questo caso, in cui non c'è attrito e l'unica forza è quella elastica - conservativa anch'essa - l'energia meccanica si conserva. in questo caso vinci facile
Sinceramente alcuni passaggi non mi convincono soprattutto nella risposta alla domanda 1, mi sembra di fare il classico errore di applicare il regime di urto anelastico con la conservazione dell'energia meccanica, della serie "ti piace vincere facile" per cui sono un po' perplesso
(immagino che invece di "anelastico" intendi in realtà elastico)
la questione è piuttosto semplice: se le forze che agiscono sul sistema sono conservative, l'energia meccanica si conserva. In questo caso, in cui non c'è attrito e l'unica forza è quella elastica - conservativa anch'essa - l'energia meccanica si conserva. in questo caso vinci facile
"TroubleFinder":
Inoltre una parte di me è convinta che nel momento di massima compressione la velocità sia nulla e quindi in quel momento l'energia sia puramente potenziale elastica.
Qualcuno mi dà una mano?
Perché nulla? La quantità di moto, oltre che l'energia meccanica, come detto da Lampo, si deve conservare, quindi la velocità del centro di massa prima e dopo l'urto non cambia...
Prima di tutto ringrazio chi mi ha risposto, inoltre:
Sono uno scemo, parte prima, purtroppo mi sono talmente focalizzato sulla semplificazione nell'associare un urto elastico con "le palline si staccano dopo l'urto" e un urto anelastico con "le palline rimangono attaccate" che ho perso di vista il fulcro della definizione: La presenza di forze dissipative.
Essendo che sul sistema agiscono solo forze conservative, visto che non c'è attrito, l'energia meccanica in ogni istante del problema rimane costante e nulla importa se nel momento di massima compressione della molla il sistema diventa un corpo unico come avviene nella mia scorretta e semplicistica definizione di urto anelastico (da qui il mio commento sul "vincere facile").
Per cui è lecito applicare la conservazione dell'energia meccanica e questo mi rincuora rispetto alla correttezza di procedimento che ho usato.
Perché nulla? La quantità di moto, oltre che l'energia meccanica, come detto da Lampo, si deve conservare, quindi la velocità del centro di massa prima e dopo l'urto non cambia...[/quote]
Sono scemo, parte seconda, hai ragione, indipendentemente dal tipo di urto la quantità di moto si conserva, quindi a meno che tutto non sia forzatamente in quiete per ragioni di consegna del problema e non è questo il caso, allora non è possibile che la velocità sia nulla.
Grazie ad entrambi, ora sono ragionevolmente convinto, a meno di essere smentito in ulteriori risposte, che il procedimento che ho proposto sia corretto.
"Lampo1089":
Ciao, premetto di non avere letto tutta la tua risoluzione ma solo la questione che poni:
(immagino che invece di "anelastico" intendi in realtà elastico)
la questione è piuttosto semplice: se le forze che agiscono sul sistema sono conservative, l'energia meccanica si conserva. In questo caso, in cui non c'è attrito e l'unica forza è quella elastica - conservativa anch'essa - l'energia meccanica si conserva. in questo caso vinci facile
Sono uno scemo, parte prima, purtroppo mi sono talmente focalizzato sulla semplificazione nell'associare un urto elastico con "le palline si staccano dopo l'urto" e un urto anelastico con "le palline rimangono attaccate" che ho perso di vista il fulcro della definizione: La presenza di forze dissipative.
Essendo che sul sistema agiscono solo forze conservative, visto che non c'è attrito, l'energia meccanica in ogni istante del problema rimane costante e nulla importa se nel momento di massima compressione della molla il sistema diventa un corpo unico come avviene nella mia scorretta e semplicistica definizione di urto anelastico (da qui il mio commento sul "vincere facile").
Per cui è lecito applicare la conservazione dell'energia meccanica e questo mi rincuora rispetto alla correttezza di procedimento che ho usato.
"Faussone":
[quote="TroubleFinder"] Inoltre una parte di me è convinta che nel momento di massima compressione la velocità sia nulla e quindi in quel momento l'energia sia puramente potenziale elastica.
Qualcuno mi dà una mano?
Perché nulla? La quantità di moto, oltre che l'energia meccanica, come detto da Lampo, si deve conservare, quindi la velocità del centro di massa prima e dopo l'urto non cambia...[/quote]
Sono scemo, parte seconda, hai ragione, indipendentemente dal tipo di urto la quantità di moto si conserva, quindi a meno che tutto non sia forzatamente in quiete per ragioni di consegna del problema e non è questo il caso, allora non è possibile che la velocità sia nulla.
Grazie ad entrambi, ora sono ragionevolmente convinto, a meno di essere smentito in ulteriori risposte, che il procedimento che ho proposto sia corretto.
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