Esercizio su stevino
Ho un semplice esercizio che mi ha bloccato
Un tubo di vetro chiuso ad una estremità contiene aria la cui fuoriuscita è impedita da una colonna di mercurio di altezza h e densità ρHg (due setti mobilie stagni, prividi massa, scorrono senza attrito separando i l mercurio dall’aria). Quando l’estremo chiuso è rivolto verso l’alto la colonna d’aria h a lunghezza l. Capovolgendo i l tubo si osserva che questa diventa lʹ< l. Determinare la pressione atmosferica in funzione di l e di lʹ.
Pensavo di applicare stevino:
- caso di apertura in basso: $p_0=rho_agl+rho_(hg)gh$
- caso di apertura in alto:(cambia la densità dell'aria) e la pressione sul fondo posso scriverla come $p_f=p_0+rho'_agl'+rho_(hg)gh$
Il problema è che ovviamente sosituendo o facendo qualsiasi considerazione (ad esempio che $p_f=2p_0$) su queste sole due equazioni mi porta immancabilmente a 0=0.
Mi manca cioè qualche altra condizione, solo che non riesco proprio a uscirne
Ringrazio
Un tubo di vetro chiuso ad una estremità contiene aria la cui fuoriuscita è impedita da una colonna di mercurio di altezza h e densità ρHg (due setti mobilie stagni, prividi massa, scorrono senza attrito separando i l mercurio dall’aria). Quando l’estremo chiuso è rivolto verso l’alto la colonna d’aria h a lunghezza l. Capovolgendo i l tubo si osserva che questa diventa lʹ< l. Determinare la pressione atmosferica in funzione di l e di lʹ.
Pensavo di applicare stevino:
- caso di apertura in basso: $p_0=rho_agl+rho_(hg)gh$
- caso di apertura in alto:(cambia la densità dell'aria) e la pressione sul fondo posso scriverla come $p_f=p_0+rho'_agl'+rho_(hg)gh$
Il problema è che ovviamente sosituendo o facendo qualsiasi considerazione (ad esempio che $p_f=2p_0$) su queste sole due equazioni mi porta immancabilmente a 0=0.
Mi manca cioè qualche altra condizione, solo che non riesco proprio a uscirne
Ringrazio
Risposte
Se questo è il caso:
si possono scrivere tre equazioni nelle tre incognite $p_a$, $p_1$ e $p_2$:
si possono scrivere tre equazioni nelle tre incognite $p_a$, $p_1$ e $p_2$:
Estremo chiuso rivolto verso l'alto
$p_a-p_1=\rho_(Hg)*g*h$
Estremo chiuso rivolto verso il basso
$p_2-p_a=\rho_(Hg)*g*h$
Relazione tra le due pressioni dell'aria
$p_1*l_1=p_2*l_2$
Relazione tra le due pressioni dell'aria
$p_1*l_1=p_2*l_2$
Non ho capito da cosa sia dovuta questa condizione.
Mi pare che $p_1$ sia la pressione dovuta allacolonnina d'aria del primo cilindro di altezza $l_1$ e che $p_2$ sia la pressone dovuta alla densità dell'aria compressa dal peso di Hg + p(armosferica) delsecondo cilindretto d'aria, giusto?
Tuttavia non dovrebbe valere che $rhogl_1=rho'gl_2$ dove con $rho$ è densitàdell aria non compressa e $rho'$ quella dell'aria compressa.
In definitiva mi pare che data la variaizione di densità anche se $l_1>l_2$ la pressione dovrebbe essere identica, d'altra parte in un certo senso è dovuta alla massa d'aria in una visione naif e la massa d'aria non cambia, si comprime solo.
Non capisco quindi perché sia $p*l$ a mantenersi costante e non $p$.
Intanto, $p_1$ è la pressione dell'aria in alto a sinistra e $p_2$ è la pressione dell'aria in basso a destra. Inoltre, in assenza di ulteriori informazioni, si deve presumere che l'aria sia un gas perfetto e che la sua temperatura non cambi. Quindi, utilizzando l'equazione di stato:
$[p_1*V_1=p_2*V_2] rarr [p_1*A*l_1=p_2*A*l_2] rarr [p_1*l_1=p_2*l_2]$
Ti ringrazio per l'aiuto 
, hai ragione non ci avevo pensato.
Potrei chiederti un'ultima cosa su un dubbio che ora mi è sorto, ma che non fa parte dell'esercizio vero e proprio ma è sortocome dubbio correlato alla soluzione.
Se io avessi due colonne d'aria contenute in due tubi come il tubo nel tuo disegno a sx, la pressione sulla cima della colonnina a contatto con la base chiusa del tubo è per entrambe zero. Tuttavia mettiamo la prima colonnina d'aria sia meno compressa della seconda.
Per stevino mi verebbe da dire che nell'interfaccia inferiore tra la colonna d'aria e il liquido successivo (ad es.mercurio che isoli l'aria) valga che p_interfaccia:
1) $p_i=rhogh$ (primo tubo)
2) $p'_i=rho'gh'$ (secondo tubo con aria più compressa)
Ovviamente h'>h e rho'>rho
Però l'incremento di pressione scendendo nel fluido aria per stevino non dovrebbe essere identica? Alla fin fine le due masse d'aria sono identiche e quindi scendendo lungo la colonnina e passando tutta l'aria fino giungere al mercurio dovrei avere un incremento identico di pressione nei due tubi.
Edito: forse quello che non considero è che oltre all'incremento dovuto a stevino ho un incremento dovuto al fatto che l'aria più compressa ha una pressione in più nel secondo tubo, oltre a stevino in sé?
Possiamo quindi trascurare stevino e assumere come se la pressione fosse identica in tutto il gas aria e vale pV=cost. E' giusto?
Resta il fatto che l'incremento di pressione dalla cima della colonnina d'aria alla sua base (interfaccia con Hg) per le due colonnine è identica (sia per la piu' compressa che meno compressa).
, hai ragione non ci avevo pensato.Potrei chiederti un'ultima cosa su un dubbio che ora mi è sorto, ma che non fa parte dell'esercizio vero e proprio ma è sortocome dubbio correlato alla soluzione.
Se io avessi due colonne d'aria contenute in due tubi come il tubo nel tuo disegno a sx, la pressione sulla cima della colonnina a contatto con la base chiusa del tubo è per entrambe zero. Tuttavia mettiamo la prima colonnina d'aria sia meno compressa della seconda.
Per stevino mi verebbe da dire che nell'interfaccia inferiore tra la colonna d'aria e il liquido successivo (ad es.mercurio che isoli l'aria) valga che p_interfaccia:
1) $p_i=rhogh$ (primo tubo)
2) $p'_i=rho'gh'$ (secondo tubo con aria più compressa)
Ovviamente h'>h e rho'>rho
Però l'incremento di pressione scendendo nel fluido aria per stevino non dovrebbe essere identica? Alla fin fine le due masse d'aria sono identiche e quindi scendendo lungo la colonnina e passando tutta l'aria fino giungere al mercurio dovrei avere un incremento identico di pressione nei due tubi.
Edito: forse quello che non considero è che oltre all'incremento dovuto a stevino ho un incremento dovuto al fatto che l'aria più compressa ha una pressione in più nel secondo tubo, oltre a stevino in sé?
Possiamo quindi trascurare stevino e assumere come se la pressione fosse identica in tutto il gas aria e vale pV=cost. E' giusto?
Resta il fatto che l'incremento di pressione dalla cima della colonnina d'aria alla sua base (interfaccia con Hg) per le due colonnine è identica (sia per la piu' compressa che meno compressa).
"alterbi":
Edito: forse quello che non considero ...
A prescindere dalla prima parte del tuo ultimo messaggio, la pressione dell'aria in alto a sinistra e in basso a destra è dovuta all'agitazione termica, quindi, determinabile mediante l'equazione di stato dei gas perfetti. Insomma, non credo che l'esercizio richiedesse di trattarla considerando anche la legge di Stevino.
Sì, era quello il mio errore. Grazie ancora
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