Esercizio su forza elettromotrice ed energia dissipata
Ciao ragazzi, non riesco a capire la risoluzione di un problema di un esame di fisica 2.
Inserisco qui sotto il testo:
Un sistema è composto da una guida metallica con resistenza R in cui è posta una sbarretta metallica AB, di lunghezza l, con massa e resistenza trascurabili, libera di scorrere senza attrito.
La guida metallica è immersa in un campo magnetico di modulo B, direzione ortogonale al foglio
e verso uscente. La sbarretta è collegata tramite un filo inestensibile e due carrucole ideali ad una
massa m, inizialmente ferma e posta ad una altezza h.
All’istante t = 0, la massa è libera di muoversi sotto l’effetto della forza di gravità. Calcolare:
1. La velocità limite che raggiunge la massa, ipotizzando che la sbarretta non raggiunga mai
la carrucola e che la massa non raggiunga mai terra.
2. L’energia dissipata dalla resistenza R quando la massa passa dalla posizione h a quella
h/10, ipotizzando che per h/10 la massa ha già raggiunto la velocità limite.
Il punto 1 sono riuscito a svolgerlo senza problemi, per quanto riguarda il secondo invece avevo pensato di integrare tra velocità iniziale (ossia 0) e velocità finale la potenza della resistenza, ossia [formule]P=RI^2[/formule], inserendo la corrente calcolata nel precedente punto, in funzione della velocità.
La soluzione rilasciata dal professore utilizza invece la conservazione dell'energia meccanica, uguagliando la somma energia potenziale e cinetica della massa (iniziale) a energia cinetica finale, energia potenziale finale ed energia dissipata.
Non capisco perché vada svolto in questo modo, in quanto secondo me non tiene in considerazione il lavoro compiuto dalla fem indotta sulla barretta. Ci sarà sicuramente qualcosa che sbaglio nel ragionamento, ma non riesco a capire cosa.
Se siete arrivati fin qui grazie mille in anticipo!
Inserisco qui sotto il testo:
Un sistema è composto da una guida metallica con resistenza R in cui è posta una sbarretta metallica AB, di lunghezza l, con massa e resistenza trascurabili, libera di scorrere senza attrito.
La guida metallica è immersa in un campo magnetico di modulo B, direzione ortogonale al foglio
e verso uscente. La sbarretta è collegata tramite un filo inestensibile e due carrucole ideali ad una
massa m, inizialmente ferma e posta ad una altezza h.
All’istante t = 0, la massa è libera di muoversi sotto l’effetto della forza di gravità. Calcolare:
1. La velocità limite che raggiunge la massa, ipotizzando che la sbarretta non raggiunga mai
la carrucola e che la massa non raggiunga mai terra.
2. L’energia dissipata dalla resistenza R quando la massa passa dalla posizione h a quella
h/10, ipotizzando che per h/10 la massa ha già raggiunto la velocità limite.
Il punto 1 sono riuscito a svolgerlo senza problemi, per quanto riguarda il secondo invece avevo pensato di integrare tra velocità iniziale (ossia 0) e velocità finale la potenza della resistenza, ossia [formule]P=RI^2[/formule], inserendo la corrente calcolata nel precedente punto, in funzione della velocità.
La soluzione rilasciata dal professore utilizza invece la conservazione dell'energia meccanica, uguagliando la somma energia potenziale e cinetica della massa (iniziale) a energia cinetica finale, energia potenziale finale ed energia dissipata.
Non capisco perché vada svolto in questo modo, in quanto secondo me non tiene in considerazione il lavoro compiuto dalla fem indotta sulla barretta. Ci sarà sicuramente qualcosa che sbaglio nel ragionamento, ma non riesco a capire cosa.
Se siete arrivati fin qui grazie mille in anticipo!
Risposte
La tensione indotta sulla barretta provoca la corrente che a sua volta è causa di dissipazione sulla resistenza.
L'esistenza di una una velocità limite è provocata da questa dissipazione perchè viene raggiunta quando la potenza dissipata uguaglia la potenza meccanica fornita (in questo caso dalla gravità).
L'esistenza di una una velocità limite è provocata da questa dissipazione perchè viene raggiunta quando la potenza dissipata uguaglia la potenza meccanica fornita (in questo caso dalla gravità).
Grazie mille per la risposta!
Potresti spiegarmi un po’ meglio, perché non riesco a capire come mai sia sbagliato calcolare l’energia dissipata calcolando l’integrazione della potenza. Comunque grazie ancora!
Potresti spiegarmi un po’ meglio, perché non riesco a capire come mai sia sbagliato calcolare l’energia dissipata calcolando l’integrazione della potenza. Comunque grazie ancora!
Non è che sia sbagliato. La risposta riguardava il bilancio che
Invece tale bilancio ne tiene conto.
Comunque vediamo più in dettaglio. L'equazione del moto del sistema (barretta + massa) è data da
$m(dv)/(dt) = -B*l*i +m*g$
ove i=Blv/R per cui si ottiene
$m(dv)/(dt) = -(B^2*l^2)/R*v +m*g$
Questa equazione consente di trovare non solo la velocità limite, ma la velocità in ogni istante risultando
$v(t) = v_(lim)*(1-e^(-t/tau))$
dove $v_(lim)=(mgR)/(B^2l^2)$ e $tau=(mR)/(B^2l^2)$
Inoltre posso usarla per impostare il bilancio. Moltiplichiamo tutto per v e quindi scriviamo:
$mv(dv)/(dt) = -(B*l*v)^2/R +m*g*v$
Questa equazione si interpreta come:
variazione nel tempo dell'energia cinetica = potenza dissipata per effetto joule + potenza meccanica fornita dalla gravità.
Se integro nel tempo:
$int_o^t (mv(dv)/(dt))*dt = -int_0^t (B*l*v)^2/R dt +int_0^t m*g*v*dt$
ovvero, essendo v*dt = -dh,
$1/2 mv^2 -1/2 mv_0^2 = -int_0^t (B*l*v)^2/R dt + mg(h_0-h)$
e quindi:
$1/2 mv_0^2 +mgh_0 =1/2 mv^2+mgh + int_0^t (B*l*v)^2/R dt$
che corrisponde all'equazione di bilancio del tuo professore. Questo risponde alla tua domanda:
Certo che è possibile ma devi calcolare un integrale nel tempo e quindi aver risolto il problema di avere v(t) (oppure, che è equivalente, i(t)).
"abla25":
non tiene in considerazione il lavoro compiuto dalla fem indotta sulla barretta.
Invece tale bilancio ne tiene conto.
Comunque vediamo più in dettaglio. L'equazione del moto del sistema (barretta + massa) è data da
$m(dv)/(dt) = -B*l*i +m*g$
ove i=Blv/R per cui si ottiene
$m(dv)/(dt) = -(B^2*l^2)/R*v +m*g$
Questa equazione consente di trovare non solo la velocità limite, ma la velocità in ogni istante risultando
$v(t) = v_(lim)*(1-e^(-t/tau))$
dove $v_(lim)=(mgR)/(B^2l^2)$ e $tau=(mR)/(B^2l^2)$
Inoltre posso usarla per impostare il bilancio. Moltiplichiamo tutto per v e quindi scriviamo:
$mv(dv)/(dt) = -(B*l*v)^2/R +m*g*v$
Questa equazione si interpreta come:
variazione nel tempo dell'energia cinetica = potenza dissipata per effetto joule + potenza meccanica fornita dalla gravità.
Se integro nel tempo:
$int_o^t (mv(dv)/(dt))*dt = -int_0^t (B*l*v)^2/R dt +int_0^t m*g*v*dt$
ovvero, essendo v*dt = -dh,
$1/2 mv^2 -1/2 mv_0^2 = -int_0^t (B*l*v)^2/R dt + mg(h_0-h)$
e quindi:
$1/2 mv_0^2 +mgh_0 =1/2 mv^2+mgh + int_0^t (B*l*v)^2/R dt$
che corrisponde all'equazione di bilancio del tuo professore. Questo risponde alla tua domanda:
"abla25":
calcolare l’energia dissipata calcolando l’integrazione della potenza.
Certo che è possibile ma devi calcolare un integrale nel tempo e quindi aver risolto il problema di avere v(t) (oppure, che è equivalente, i(t)).
Ho capito, grazie mille veramente!
Sei stato gentilissimo
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