Esercizio su conservazione del momento angolare?
Un disco di raggio R e massa M è sospeso sopra un piano orizzontale e ruota con velocità angolare W attorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro. A un dato istante il disco viene lasciato cadere sul piano, con il quale esiste un coefficiente di attrito dinamico. Supponendo che dopo il contatto con il piano il disco non rimbalzi e rimanga verticale, determinare, nel momento in cui il moto diventa di puro rotolamento la velocità angolare W'
W=3rad/s, M=0,5 kg, R=10 cm, Ud(coeff. attrito)=0,3
Lo ha svolto il professore oggi a lezione però non ho capito una cosa; per questo esercizio va utilizzata la conservazione del momento angolare: scegliendo infatti il punto di contatto come polo, la risultante dei momenti è nulla. Il professore ci ha detto questo: prima che la sfera cada sul piano, noi non sappiamo calcolarci il momento angolare; tuttavia sappiamo dal Teorema di Konig che $L= L(cm) + r(cm) * m(TOT)v(cm)$ dove L indica il momento angolare rispetto ad un qualsiasi polo, L(cm) è il momento angolare del centro di massa rispetto al polo che ci siamo scelti, e * indica il prodotto vettoriale. Tuttavia se io considero un istante prima dell'urto, posso dire che v(cm)=0, ovvero trascuro la velocità che ha lungo l'asse verticale e considero quindi nulla la velocità di traslazione; ciò che mi rimane del momento angolare iniziale è quindi $L= IW $, ovvero solo il momento angolare del centro di massa;
il momento angolare finale rispetto al punto di contatto è invece $L= IW $ con $I= (3/2)mR^2$ per il teorema di Huygens-Steiner
Io non riesco a capire una cosa: per il momento angolare iniziale, perché non possiamo sapere quanto vale?Non posso operare come nel secondo caso, ovvero, mi calcolo il momento angolare rispetto al centro di massa e applicando il teorema di Huygens-Steiner ci aggiungo $mR^2$, considerando un millisecondo prima che tocchi terra in cui la distanza sarà R?O meglio, applicandolo mi verrebbe che le due velocità angolari sono uguali, quindi la mia domanda è perché non posso applicarlo?E più in generale, in quali casi non è possibile calcolare il momento angolare se non con il Teorema di Konig?
Scusate la lunghezza, questo cavolo di corpo rigido mi fa impazzire
W=3rad/s, M=0,5 kg, R=10 cm, Ud(coeff. attrito)=0,3
Lo ha svolto il professore oggi a lezione però non ho capito una cosa; per questo esercizio va utilizzata la conservazione del momento angolare: scegliendo infatti il punto di contatto come polo, la risultante dei momenti è nulla. Il professore ci ha detto questo: prima che la sfera cada sul piano, noi non sappiamo calcolarci il momento angolare; tuttavia sappiamo dal Teorema di Konig che $L= L(cm) + r(cm) * m(TOT)v(cm)$ dove L indica il momento angolare rispetto ad un qualsiasi polo, L(cm) è il momento angolare del centro di massa rispetto al polo che ci siamo scelti, e * indica il prodotto vettoriale. Tuttavia se io considero un istante prima dell'urto, posso dire che v(cm)=0, ovvero trascuro la velocità che ha lungo l'asse verticale e considero quindi nulla la velocità di traslazione; ciò che mi rimane del momento angolare iniziale è quindi $L= IW $, ovvero solo il momento angolare del centro di massa;
il momento angolare finale rispetto al punto di contatto è invece $L= IW $ con $I= (3/2)mR^2$ per il teorema di Huygens-Steiner
Io non riesco a capire una cosa: per il momento angolare iniziale, perché non possiamo sapere quanto vale?Non posso operare come nel secondo caso, ovvero, mi calcolo il momento angolare rispetto al centro di massa e applicando il teorema di Huygens-Steiner ci aggiungo $mR^2$, considerando un millisecondo prima che tocchi terra in cui la distanza sarà R?O meglio, applicandolo mi verrebbe che le due velocità angolari sono uguali, quindi la mia domanda è perché non posso applicarlo?E più in generale, in quali casi non è possibile calcolare il momento angolare se non con il Teorema di Konig?
Scusate la lunghezza, questo cavolo di corpo rigido mi fa impazzire
Risposte
C'è un po' di confusione in quello che hai scritto, in particolare non capisco che cosa significa :
Io farei l'esercizio a questo modo.
Il disco, di massa $M$ , raggio $R$ e velocità angolare iniziale $\omega_0$ costante, ((che tu hai chiamato W ) , ha un momento angolare iniziale costante , riferito al CM, uguale a $vec L_0 = I_c vec\omega_0$ . Su questo non ci piove. Supponi che la rotazione iniziale sia oraria .
Supponi ora di poggiarlo sull'asse $x$ disegnato sul piano orizzontale , orientato da sn a ds; l'asse $y$ è diretto verso l'alto del foglio, quindi l'asse $z$ , che giace sul piano orizzontale , esce dal foglio verso di te , chiaro ? Supponi che il punto di contatto iniziale sia l'origine $x=0$.
Allora : $vec\omega_0 = -\omega_0hatk$ . La velocità angolare intesa come vettore è diretta nel verso entrante nel foglio, così pure $vecL_0$ , poiché la rotazione è oraria.
Nel momento in cui si poggia il disco sul piano, nasce la reazione del piano sul disco, sia $vecF = F_xhati + F_yhatj$ . Il componente $F_xhati$ è diretto verso ds .
Si ha spostamento del disco da sn a ds , si tratta di rotolamento con slittamento , in una prima fase che dura fino ad un certo istante $t_0$ in cui inizia il rotolamento puro, istante da calcolare . Come?
LA 1° eq. cardinale della dinamica ci dice che : $ Mveca = Mvecg + vecF$ . Proiettando sull'asse $y$ si ha subito : $F_y = Mg$ , e questo è chiaro, poiché $veca$ è diretto lungo $x$ soltanto.
Proiettando sull'asse $x$ , visto che $F_x = \muF_y = \muMg $ , si ha : $Mddotx = \muMg $ da cui $ ddotx = \mug$ .
Integrando con le condizioni iniziali , ( cioè per $t=0$ si ha $x=0$ e $dotx = 0 $ , visto che la velocità in direzione $x$ è inizialmente nulla) , si ha :
$ dotx = \mu"g"t$ -------(1)
La velocità cresce, ma cresce meno di $Rdot\theta$ a causa dello slittamento, in questa fase.
La 2° eq. cardinale della dinamica, scritta assumendo come polo il centro $C$ del disco , dice che il momento angolare iniziale deve diminuire, perché c'è il momento della forza esterna $F_xhati$ , pari a : $ RF_xhatk$ , per cui, tenuto conto dei versi :
$RF_xhatk = I_Cddot\theta hatk$ , da cui : $RF_x = ddot\theta *I_C $ e perciò : $ddot\theta = (R\muMg)/I_C $ .
Integrando con la condizione iniziale che per $t=0$ si ha $\omega = \omega_0$ (si tratta ora di "moduli" della velocità angolare , la rotazione è oraria) , risulta :
$dot\theta = \omega_0 - (\muMgR)/I_C*t = \omega_0 - (2\mug)/R*t $ ---------(2)
c'è il segno "-" perché la velocità angolare deve diminuire col tempo, il moto circolare è decelerato.
Si ha slittamento del disco sul piano finchè $dotx
$(dotx(t_0))/R = \omega_0 - (2\mug)/Rt_0$ , da cui si ricava che : $\omega_0 = (3\mu"g"t_0)/R $ , e cioè :
$t_0 = (\omega_0R)/(3\mug)$ ---------(3)
In questo istante termina la fase di slittamento e il moto diventa rotolamento puro. LA velocità del CM in tale istante è :
$v_C = dotx_C = \mu"g"t_0 = (omega_0R)/3 $
e la velocità angolare vale : $dot\theta = \omega_0 - (2\mug)/Rt_0 = \omega_0/3$ .
Pertanto , la velocità angolare si riduce ad $1/3$ di quella iniziale nel momento in cui inizia il rotolamento puro, e rimane costante, come pure rimane costante la velocità lineare da questo istante in poi.
PEr tornare un attimo alla storia del momento angolare, è evidente che esso non si conserva durante la fase di slittamento, perché il disco subisce decelerazione angolare . Si ha costanza del momento angolare solo dopo che il moto è diventato di puro rotolamento.
Spero sia chiaro. E mi piacerebbe capire come è stato svolto in classe.
Il professore ci ha detto questo: prima che la sfera cada sul piano, noi non sappiamo calcolarci il momento angolare
Io farei l'esercizio a questo modo.
Il disco, di massa $M$ , raggio $R$ e velocità angolare iniziale $\omega_0$ costante, ((che tu hai chiamato W ) , ha un momento angolare iniziale costante , riferito al CM, uguale a $vec L_0 = I_c vec\omega_0$ . Su questo non ci piove. Supponi che la rotazione iniziale sia oraria .
Supponi ora di poggiarlo sull'asse $x$ disegnato sul piano orizzontale , orientato da sn a ds; l'asse $y$ è diretto verso l'alto del foglio, quindi l'asse $z$ , che giace sul piano orizzontale , esce dal foglio verso di te , chiaro ? Supponi che il punto di contatto iniziale sia l'origine $x=0$.
Allora : $vec\omega_0 = -\omega_0hatk$ . La velocità angolare intesa come vettore è diretta nel verso entrante nel foglio, così pure $vecL_0$ , poiché la rotazione è oraria.
Nel momento in cui si poggia il disco sul piano, nasce la reazione del piano sul disco, sia $vecF = F_xhati + F_yhatj$ . Il componente $F_xhati$ è diretto verso ds .
Si ha spostamento del disco da sn a ds , si tratta di rotolamento con slittamento , in una prima fase che dura fino ad un certo istante $t_0$ in cui inizia il rotolamento puro, istante da calcolare . Come?
LA 1° eq. cardinale della dinamica ci dice che : $ Mveca = Mvecg + vecF$ . Proiettando sull'asse $y$ si ha subito : $F_y = Mg$ , e questo è chiaro, poiché $veca$ è diretto lungo $x$ soltanto.
Proiettando sull'asse $x$ , visto che $F_x = \muF_y = \muMg $ , si ha : $Mddotx = \muMg $ da cui $ ddotx = \mug$ .
Integrando con le condizioni iniziali , ( cioè per $t=0$ si ha $x=0$ e $dotx = 0 $ , visto che la velocità in direzione $x$ è inizialmente nulla) , si ha :
$ dotx = \mu"g"t$ -------(1)
La velocità cresce, ma cresce meno di $Rdot\theta$ a causa dello slittamento, in questa fase.
La 2° eq. cardinale della dinamica, scritta assumendo come polo il centro $C$ del disco , dice che il momento angolare iniziale deve diminuire, perché c'è il momento della forza esterna $F_xhati$ , pari a : $ RF_xhatk$ , per cui, tenuto conto dei versi :
$RF_xhatk = I_Cddot\theta hatk$ , da cui : $RF_x = ddot\theta *I_C $ e perciò : $ddot\theta = (R\muMg)/I_C $ .
Integrando con la condizione iniziale che per $t=0$ si ha $\omega = \omega_0$ (si tratta ora di "moduli" della velocità angolare , la rotazione è oraria) , risulta :
$dot\theta = \omega_0 - (\muMgR)/I_C*t = \omega_0 - (2\mug)/R*t $ ---------(2)
c'è il segno "-" perché la velocità angolare deve diminuire col tempo, il moto circolare è decelerato.
Si ha slittamento del disco sul piano finchè $dotx
$(dotx(t_0))/R = \omega_0 - (2\mug)/Rt_0$ , da cui si ricava che : $\omega_0 = (3\mu"g"t_0)/R $ , e cioè :
$t_0 = (\omega_0R)/(3\mug)$ ---------(3)
In questo istante termina la fase di slittamento e il moto diventa rotolamento puro. LA velocità del CM in tale istante è :
$v_C = dotx_C = \mu"g"t_0 = (omega_0R)/3 $
e la velocità angolare vale : $dot\theta = \omega_0 - (2\mug)/Rt_0 = \omega_0/3$ .
Pertanto , la velocità angolare si riduce ad $1/3$ di quella iniziale nel momento in cui inizia il rotolamento puro, e rimane costante, come pure rimane costante la velocità lineare da questo istante in poi.
PEr tornare un attimo alla storia del momento angolare, è evidente che esso non si conserva durante la fase di slittamento, perché il disco subisce decelerazione angolare . Si ha costanza del momento angolare solo dopo che il moto è diventato di puro rotolamento.
Spero sia chiaro. E mi piacerebbe capire come è stato svolto in classe.
Intanto grazie per la risposta, però non mi torna una cosa; all'inizio hai calcolato il momento angolare rispetto al punto di contatto e dopo rispetto al centro di massa?
Purtroppo in classe è stato svolto come ho scritto, con la conservazione del momento angolare..E infatti non ho capito perché ha dovuto usare il Teorema di Konig dicendo che non sapeva calcolarsi il momento angolare iniziale
Purtroppo in classe è stato svolto come ho scritto, con la conservazione del momento angolare..E infatti non ho capito perché ha dovuto usare il Teorema di Konig dicendo che non sapeva calcolarsi il momento angolare iniziale
"claudio.s":
Intanto grazie per la risposta, però non mi torna una cosa; all'inizio hai calcolato il momento angolare rispetto al punto di contatto e dopo rispetto al centro di massa?
No, il momento angolare che ho considerato è sempre quello relativo al CM del disco , tant'è vero che compare sempre $I_C = 1/2MR^2$ . Anche in quello iniziale $vecL_0$ compare $I_C$ . Il pedice " $0$ " sta a significare "iniziale".
Purtroppo in classe è stato svolto come ho scritto, con la conservazione del momento angolare..E infatti non ho capito perché ha dovuto usare il Teorema di Konig dicendo che non sapeva calcolarsi il momento angolare iniziale
Ma io non capisco le tue affermazioni e i tuoi dubbi. Nel precedente post hai affermato che il prof ha detto " non ci possiamo calcolare il momento angolare…." . Sei proprio sicuro che abbia detto questo? Io non penso, forse hai capito male.
Assegnato un polo $P$ , il momento angolare di un corpo rigido rispetto a $P$ è dato dalla somma del momento angolare rispetto al centro di massa $C$ e del momento angolare, rispetto a $P$ , di tutta la massa concentrata in C . In formule :
$vecL_P = vecL_C + (P-C) xxMvecv_C$
È chiaro che se $(P-C) $ è parallelo a $vecv_C$ , come per esempio se lasci cadere il disco rotante in verticale sul piano orizzontale e prendi come polo il punto di impatto $P$ , il secondo termine al secondo membro è nullo perché i vettori sono paralleli.
E quindi il momento angolare rispetto a un punto $P$ dipende dal punto $P$ , questo è chiaro!
Ma se tieni fermo il disco rotante "in aria" , cioè non lo fai cadere sul piano e quindi $vecv_C = 0 $ , il momento angolare sarà solo quello baricentrale , cioè $vecL_C = 1/2MR^2$ . E questo vale ovviamente qualunque si il polo P che assumi sul piano , pure a 10 km di distanza .
Quindi : che cosa vuol dire "non ci possiamo calcolare il momento angolare " ???
Ritengo tu non abbia compreso le parole del prof.
Inoltre , dici che l'esercizio è stato risolto con "la conservazione del momento angolare, e che è stato usato il teorema di Koenig"….
Vuoi riportare per favore quello che è stato fatto in classe? Così ne parliamo.
Lo svolgimento che ti ho proposto è assolutamente corretto, tranquillo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo