Esercizio su campo magnetico in un condensatore con dielettrico
Buongiorno a tutti, sono bloccato su un esercizio che ho tentato di risolvere più volte, ma non riesco a capire se quello che ottengo sia giusto o no.
Il testo è il seguente: lo spazio tra le armature di un condensatore piano è riempito di un materiale dielettrico uniforme non perfettamente isolante, con conducibilità elettrica sigma, costante dielettrica epsilon e permeabilità magnetica mu circa uguale a mu zero. Le armature del condensatore sono circolari di raggio R e separate da una distanza d. Trascurando gli effetti di bordo, determinare il campo magnetico in funzione del tempo tra le armature ad una distanza r dall'asse se la tensione ai capi del condensatore varia come V(t)=V0cos(omega*t).
Io mi sono bloccato qui
Quello che ho fatto è corretto?
Grazie in anticipo a tutti
!
Il testo è il seguente: lo spazio tra le armature di un condensatore piano è riempito di un materiale dielettrico uniforme non perfettamente isolante, con conducibilità elettrica sigma, costante dielettrica epsilon e permeabilità magnetica mu circa uguale a mu zero. Le armature del condensatore sono circolari di raggio R e separate da una distanza d. Trascurando gli effetti di bordo, determinare il campo magnetico in funzione del tempo tra le armature ad una distanza r dall'asse se la tensione ai capi del condensatore varia come V(t)=V0cos(omega*t).
Io mi sono bloccato qui
Quello che ho fatto è corretto?
Grazie in anticipo a tutti
!
Risposte
"powamaker":
... Quello che ho fatto è corretto?
Si, a dire il vero a mio parere l'hai presa un po' alla lontana [nota]La soluzione poteva essere ottenuta molto più rapidamente andando a sommare la corrente del ramo conduttivo con quella del ramo capacitivo: per la prima $i_G(t)=G v(t)$, per la seconda $i_C(t)=C (dv(t))/(dt)$[/nota], comunque i tuoi risultati sono corretti, ti manca solo di trasformare quelle due ultime differenze fra funzione sinusoidale e cosinusoidale in una più semplice forma $cos(\omegat+\varphi)$, andando ad applicare "in retromarcia" le formule di addizione.
Ti ringrazio molto per la tua risposta ! Potresti solo chiarirmi ciò che hai detto nella nota? Non ho ben chiaro che cosa sia la G del ramo conduttivo.
Grazie mille!!
! Potresti solo chiarirmi ciò che hai detto nella nota? Non ho ben chiaro che cosa sia la G del ramo conduttivo.Grazie mille!!
La conduttanza, ovvero l'inverso della resistenza
$G=1/R$
spesso utilizzata in connessioni parallelo come quella del circuito equivalente relativo a quel condensatore con dielettrico conduttivo e la relazione scritta non è altro che la legge di Ohm
$i_G(t)=G v(t)=(v(t))/R$
Giusto per precisare, per $r > R$, avrei semplicemente e direttamente scritto
$B=\mu_0\frac{i}{2\pi r}=\mu_0\frac{i_G+i_C}{2\pi r}= \frac{\mu_0}{2\pi r}(GV_0cos(\omega t)- \omega C V_0sin(\omega t))= \frac{V_0\mu_0 R^2}{2 rd} (\sigma cos(\omega t)-\epsilon \omega sin(\omega t))$
mentre per $r < R$ bastava ricordare il fattore di riduzione superficiale $r^2/R^2$ associato alla ridotta corrente concatenata con la generica linea di forza di raggio r.
$G=1/R$
spesso utilizzata in connessioni parallelo come quella del circuito equivalente relativo a quel condensatore con dielettrico conduttivo e la relazione scritta non è altro che la legge di Ohm
$i_G(t)=G v(t)=(v(t))/R$
Giusto per precisare, per $r > R$, avrei semplicemente e direttamente scritto
$B=\mu_0\frac{i}{2\pi r}=\mu_0\frac{i_G+i_C}{2\pi r}= \frac{\mu_0}{2\pi r}(GV_0cos(\omega t)- \omega C V_0sin(\omega t))= \frac{V_0\mu_0 R^2}{2 rd} (\sigma cos(\omega t)-\epsilon \omega sin(\omega t))$
mentre per $r < R$ bastava ricordare il fattore di riduzione superficiale $r^2/R^2$ associato alla ridotta corrente concatenata con la generica linea di forza di raggio r.
Ah, ho capito!! Grazie ancora!!
Visto che ho un po' di tempo da perdere, giusto per completare il discorso, al fine di andare a condensare la somma dentro parentesi in un più compatto
$kcos(\omega t+\varphi)$
potremo vedere
$\sigma=kcos \varphi $
$\epsilon \omega=ksin \varphi$
che porterà a
$k=\sqrt(\epsilon ^2 \ omega ^2+\sigma ^2)$
$\varphi= arctan(\omega \epsilon / \sigma)$
$kcos(\omega t+\varphi)$
potremo vedere
$\sigma=kcos \varphi $
$\epsilon \omega=ksin \varphi$
che porterà a
$k=\sqrt(\epsilon ^2 \ omega ^2+\sigma ^2)$
$\varphi= arctan(\omega \epsilon / \sigma)$
Perfetto, è tutto chiaro! Grazie!
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