Esercizio su campo elettrico
Ho questo problema: una pallina di massa $m=2*10^-3kg$ e carica $q=3,72*10^-7C$, in equilibrio su un piano inclinato di $25°$. La pallina è attaccata ad una molla di costante elastica $k=1,57N/m$ ed è immersa in un campo elettrico uniforme orizzontale, di modulo $E=7,2*10^4N/C$. Il coefficiente di attrito statico tra la pallina e il piano è: $mu_s=0,40$. Determina il massimo allungamento della molla affinchè la pallina sia ferma in equilibrio. Io ho ragionato così:
Lungo l'asse delle ordinate non ci sono forze, sull'asse delle ascisse c'è la forza elastica, la forza d'attrito, la forza elettrica, una componente della forza peso. Per l'equilibrio si ha: $-F_a+F_(ELAS)+Fp_(PARAL)+F_(ELET)=0$
Dunque si ha: $-Fpcosalpha+kx+Fp(sinalpha)+qEcosalpha=0$ e quindi $x=(Fpcosalpha+kx-Fp(sinalpha)-qEcosalpha)/k$
Però il risultato non mi viene giusto. Potreste farmi capire dove sbaglio?
Lungo l'asse delle ordinate non ci sono forze, sull'asse delle ascisse c'è la forza elastica, la forza d'attrito, la forza elettrica, una componente della forza peso. Per l'equilibrio si ha: $-F_a+F_(ELAS)+Fp_(PARAL)+F_(ELET)=0$
Dunque si ha: $-Fpcosalpha+kx+Fp(sinalpha)+qEcosalpha=0$ e quindi $x=(Fpcosalpha+kx-Fp(sinalpha)-qEcosalpha)/k$
Però il risultato non mi viene giusto. Potreste farmi capire dove sbaglio?
Risposte
Ok, ho capito per il fatto della somma delle forze, ma non ho capito come trovare la terz forza, ovvero la reazione vincolare
Come detto la somma delle tre forze DEVE essere nulla quindi ...
Ah ok quindi $F_n=qE*cosalpha+mg*cosalpha$
Primo: le componenti perpendicolari al piano inclinato della forza peso e della forza elettrica non vanno nello stesso verso.
Secondo: perché $qE*cos(alpha)$? Forse è $qE*sin(alpha)$ ...
Secondo: perché $qE*cos(alpha)$? Forse è $qE*sin(alpha)$ ...
Sì erorre mio, volevo scrivere $qE*sinalpha$. In quanto ai versi: la forza peso è diretta verso il basso, invece la forza elettrica non sono sicuro.
Beh, è semplice ... si deduce facilmente anche a occhio ma se non ne sei sicuro, fai un bel disegnino e la scomponi lungo gli assi che hai scelto
La forza elettrica ha verso opposto rispetto alla forza peso. Quindi lungo l'asse Y si ha:$F_n=mg*cosalpha-qE*sinalpha$
@olegfresi,
torniamo un momento alla richiesta dell'esercizio.
Il tuo errore iniziale sta nel supporre che, quando la pallina è nella posizione di equilibrio , ci sia una forza di attrito tra pallina e piano, e cioè che la reazione del piano abbia, oltre al componente normale $vecN$ , anche un componente tangenziale , che sarebbe la forza di attrito : non c'è , quando la pallina è in equilibrio la reazione del piano è tutta e sola normale al piano : $vecN$ , e basta .
Ragiona : ci sono tre forze direttamente applicate : $vecF$(elettrica) , $vecF$(elastica) , e $vecP = mvecg$ . Le tre forze sono applicate al centro della pallina. ( si può immaginare un semplice sistema per collegare la molla a un asse passante per il centro della pallina).
E c'è la reazione vincolare del piano $vecR$ , applicata nel punto di contatto tra pallina e piano . Il componente normale $vecN$ di tale reazione passa per il centro, quindi non ha momento rispetto ad esso; se ci fosse anche un componente tangenziale al piano, pari alla forza di attrito $vecF_a$ , questa forza avrebbe un momento rispetto al centro , di modulo $F_a*r$ , che causerebbe accelerazione angolare della pallina . Insomma, la pallina si metterebbe a ruotare sul posto, no ? E invece, nella condizione di equilibrio non succede. Nella condizione di equilibrio, la forza di attrito è nulla.
LA rotazione della pallina ce l'hai solo in una imprecisata fase precedente a quella di equilibrio , cioè quando la pallina, frenata dalla forza elastica crescente , scende lungo il piano inclinato fino alla posizione di equilibrio . Ammettiamo pure che sia $F_a<\muN$ , cioè la pallina non slitti. Ma di questa fase non ti devi interessare .
Nello schizzo allegato ti ho messo le forze, con un accenno alla scomposizione della forza elettrica e della forza peso nelle due direzioni, tangente e normale al piano.
Per evitare che la forza elettrica possa allontanare la pallina dal piano, deve essere soddisfatta la condizione :
$qEsen\alpha <=mgcos\alpha$
Nella condizione limite di uguaglianza , la reazione normale del piano sarebbe nulla.Ma non occorre tutto ciò . Sono solo due le forze , che hanno componenti lungo il piano, le quali determinano l ‘ allungamento della molla, la quale fa equilibrio ad esse.Anche se il piano fosse liscio, la posizione finale di equilibrio della pallina sarebbe sempre la stessa.
torniamo un momento alla richiesta dell'esercizio.
Il tuo errore iniziale sta nel supporre che, quando la pallina è nella posizione di equilibrio , ci sia una forza di attrito tra pallina e piano, e cioè che la reazione del piano abbia, oltre al componente normale $vecN$ , anche un componente tangenziale , che sarebbe la forza di attrito : non c'è , quando la pallina è in equilibrio la reazione del piano è tutta e sola normale al piano : $vecN$ , e basta .
Ragiona : ci sono tre forze direttamente applicate : $vecF$(elettrica) , $vecF$(elastica) , e $vecP = mvecg$ . Le tre forze sono applicate al centro della pallina. ( si può immaginare un semplice sistema per collegare la molla a un asse passante per il centro della pallina).
E c'è la reazione vincolare del piano $vecR$ , applicata nel punto di contatto tra pallina e piano . Il componente normale $vecN$ di tale reazione passa per il centro, quindi non ha momento rispetto ad esso; se ci fosse anche un componente tangenziale al piano, pari alla forza di attrito $vecF_a$ , questa forza avrebbe un momento rispetto al centro , di modulo $F_a*r$ , che causerebbe accelerazione angolare della pallina . Insomma, la pallina si metterebbe a ruotare sul posto, no ? E invece, nella condizione di equilibrio non succede. Nella condizione di equilibrio, la forza di attrito è nulla.
LA rotazione della pallina ce l'hai solo in una imprecisata fase precedente a quella di equilibrio , cioè quando la pallina, frenata dalla forza elastica crescente , scende lungo il piano inclinato fino alla posizione di equilibrio . Ammettiamo pure che sia $F_a<\muN$ , cioè la pallina non slitti. Ma di questa fase non ti devi interessare .
Nello schizzo allegato ti ho messo le forze, con un accenno alla scomposizione della forza elettrica e della forza peso nelle due direzioni, tangente e normale al piano.
Per evitare che la forza elettrica possa allontanare la pallina dal piano, deve essere soddisfatta la condizione :
$qEsen\alpha <=mgcos\alpha$
Nella condizione limite di uguaglianza , la reazione normale del piano sarebbe nulla.Ma non occorre tutto ciò . Sono solo due le forze , che hanno componenti lungo il piano, le quali determinano l ‘ allungamento della molla, la quale fa equilibrio ad esse.Anche se il piano fosse liscio, la posizione finale di equilibrio della pallina sarebbe sempre la stessa.
Ok Shakle, ti ringrazio per questa approfondita analisi, ma di fatto, la mia difficoltà sta nel considerare correttamente le forze scomposte lungo gli assi. Dalla discussione fatta dovrei aver capito come impostare le equazioni di equilibrio.
Sul'asse X: $-kx-F_n+qE*cosalpha+mg*sinalpha=0$
Sull'asse Y: $-mg*cosalpha+qE*sinalpha+F_n=0$
Ora è corretto?
Sul'asse X: $-kx-F_n+qE*cosalpha+mg*sinalpha=0$
Sull'asse Y: $-mg*cosalpha+qE*sinalpha+F_n=0$
Ora è corretto?
"olegfresi":
.....
Sul'asse X: $ -kx-F_n+qE*cosalpha+mg*sinalpha=0 $
Sull'asse Y: $ -mg*cosalpha+qE*sinalpha+F_n=0 $
Ora è corretto?
Prima di iniziare un qualunque esercizio dove ci sono da scomporre delle forze secondo date direzioni, è opportuno, anzi necessario , dire come sono messe queste direzioni, cioè gli assi , altrimenti non ci capisci niente tu , e non fai capire niente a chi ti risponde .
Ciò premesso, nella ipotesi [nota]ipotesi verificata, ma devi dirlo tu, in primis![/nota] che tu abbia assunto :
1) l'asse $X$ parallelo al piano inclinato e orientato verso il basso
2) l'asse $Y$ perpendicolare al piano inclinato e orientato verso l'esterno
le equazioni corrette sono :
Sul'asse X:
$ -kx +qE*cosalpha+mg*sinalpha=0 $
Sull'asse Y:
$ -mg*cosalpha+qE*sinalpha+F_n=0 $
nella prima equazione che hai scritto, ha messo una $F_n$ di troppo, visto che la forza normale ( che io ho chiamato $vecN$ , ma fa lo stesso) esercitata dal piano sulla pallina è perpendicolare a $X$ , cioè parallela a $Y$ .
L'ipotesi è corretta, riguardo a $F_n$ ero di fretta ma volevo scrivere la forza d'attrito ovvero $F_n*mu_s$
"olegfresi":
L'ipotesi è corretta, riguardo a $F_n$ ero di fretta ma volevo scrivere la forza d'attrito ovvero $F_n*mu_s$
Allora mi sono dato da fare inutilmente! La forza di attrito , nella posizione di equilibrio finale , è nulla . Esiste solo durante il moto della pallina verso il basso ( o verso l'alto, visto che eventualmente oscilla su e giù) , e $F_n*mu_s$ è il limite superiore di tale forza. Ma ti ripeto che non devi occuparti dell'eventuale moto della pallina , non sappiamo nulla della condizione precedente quella di equilibrio.
Non mi convince ...
Supponiamo di aver un piano inclinato liscio, senza attrito; ci sarà una posizione della pallina tale che l'allungamento della molla generi una forza elastica tale da controbilanciare la forza peso e la forza elettrica; la pallina è ferma, in equilibrio.
Torniamo adesso al nostro caso, con un piano inclinato scabro, con attrito e con la pallina posizionata come nel caso precedente.
Se io allungo ulteriormente la molla avremo un disequilibrio tra le tre forze, dato che la forza peso e la forza elettrica sono le stesse di prima mentre la forza elastica è aumentata; questo surplus di forza elastica farebbe muovere la pallina verso l'alto.
Dico "farebbe" perché abbiamo anche l'attrito in ballo e finché questo surplus di forza elastica non è maggiore del valore della forza massima di attrito statico, la pallina non si muove.
Ed è questo "massimo allungamento", a mio parere, che l'autore dell'esercizio richiede altrimenti non si comprende perché abbia inserito tra i dati il coefficiente di attrito statico.
Supponiamo di aver un piano inclinato liscio, senza attrito; ci sarà una posizione della pallina tale che l'allungamento della molla generi una forza elastica tale da controbilanciare la forza peso e la forza elettrica; la pallina è ferma, in equilibrio.
Torniamo adesso al nostro caso, con un piano inclinato scabro, con attrito e con la pallina posizionata come nel caso precedente.
Se io allungo ulteriormente la molla avremo un disequilibrio tra le tre forze, dato che la forza peso e la forza elettrica sono le stesse di prima mentre la forza elastica è aumentata; questo surplus di forza elastica farebbe muovere la pallina verso l'alto.
Dico "farebbe" perché abbiamo anche l'attrito in ballo e finché questo surplus di forza elastica non è maggiore del valore della forza massima di attrito statico, la pallina non si muove.
Ed è questo "massimo allungamento", a mio parere, che l'autore dell'esercizio richiede altrimenti non si comprende perché abbia inserito tra i dati il coefficiente di attrito statico.
"axpgn":
Non mi convince ...
...............
Se io allungo ulteriormente la molla avremo un disequilibrio tra le tre forze, dato che la forza peso e la forza elettrica sono le stesse di prima mentre la forza elastica è aumentata; questo surplus di forza elastica farebbe muovere la pallina verso l'alto.
Dico "farebbe" perché abbiamo anche l'attrito in ballo e finché questo surplus di forza elastica non è maggiore del valore della forza massima di attrito statico, la pallina non si muove.
Ed è questo "massimo allungamento", a mio parere, che l'autore dell'esercizio richiede altrimenti non si comprende perché abbia inserito tra i dati il coefficiente di attrito statico.
Se tiri la pallina verso il basso, la forza elastica aumenta, e nasce la forza di attrito : le due forze sono applicate in punti diversi , una al centro, l'altra nel punto di contatto col piano. Prendi come polo il punto di contatto : la forza elastica ha un momento non nullo rispetto ad esso , e il momento causa accelerazione angolare...Tutte le forze determinano l'accelerazione del CM ; se non c'è slittamento, c'è rotolamento puro. Insomma, diventa un esercizio di dinamica.
L'esercizio ha dato $mu_s$ per creare un trabocchetto . Non si tratta di un blocchetto, che può rimanere in quiete in una posizione spostata rispetto a quella di equilibrio, si tratta di una sfera, sottoposta a una forza elastica e una forza di attrito ( oltre alle altre forze) , che può oscillare su e giù se la tiri.
Semplifica : togli la forza elettrica , fai agire solo il peso e la forza elastica...
Ho provato le formule proposte da Shakle per trovare l'allungamento, ma il risultato mi viene errato.
Cioè? Quanto ti viene, e quanto dovrebbe essere?
Dovrebbe venire 2,2cm e a me viene 2,29cm
Questione di arrotondamenti, a me viene 2.24 cm. Ma il testo dovrebbe dire qualcosa sul procedimento.
Ok, perfetto, ora ho capito, ma come avrei potuto arrivare a capire da solo che la forza d'attrito poi "scompariva"?
È scritto nei miei precedenti messaggi . La forza di attrito avrebbe un momento rispetto al centro ...
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