Esercizio su attriti e corpi collegati
Salve a tutti, avrei bisogno di sapere se lo svolgimento di un esercizio è corretto:
http://img191.imageshack.us/img191/176/schermata062456098alle1.png
Ecco il mio procedimento riguardo il punto 1:
Sul corpo 1 agisce la forza F incognita, la tensione del filo e la forza di attrito. Quando questo si muove vuol dire che la somma delle forze agenti su di esso, essendo prima tutto fermo, deve essere uguale al prodotto tra la massa e l'accelerazione.
Questo mi porta alla risoluzione del seguente sistema per determinarmi l'espressione dell'accelerazione totale del sistema e della tensione della corda, in modo che poi possa applicare il secondo principio della dinamica al corpo 1.
Fino a qui sembra andare tutto bene, giusto?
Bene, ora passiamo ai calcoli:
(Il mio sistema di riferimento prevede che le forze e le accelerazioni siano positive quando dirette verso l'alto o verso destra, e negative altrimenti)
\(\displaystyle \begin{cases}
-F+\tau+F_{A}=-m_{1}a\\
F+\tau-m_{2}g=m_{2}a\end{cases} \)
Che se sviluppato (vi risparmio un po di conti):
\(\displaystyle \begin{cases}
\tau=ct-m_{1}a-m_{1}g\mu_{s}\\
a=\frac{2ct-g(m_{1}\mu_{s}+m_{2})}{m_{1}+m_{2}}\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases}
\tau=ct-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(2ct-g(m_{1}\mu_{s}+m_{2})\right)-m_{1}g\mu_{s}\\
a=\frac{2ct-g(m_{1}\mu_{s}+m_{2})}{m_{1}+m_{2}}\end{cases} \)
Applicando quindi la seconda legge di Newton:
\(\displaystyle \sum F=ma \)
Si ottiene:
\(\displaystyle -ct+ct-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left[\left(2ct-g(m_{1}\mu_{s}+m_{2})\right)-m_{1}g\mu_{s}\right]=m_{1}\frac{2ct-g(m_{1}\mu_{s}+m_{2})}{m_{1}+m_{2}} \)
Dove se risolta:
\(\displaystyle t=\frac{2g(m_{1}\mu_{s}+m_{2})+m_{1}g\mu_{s}}{4c} \)
A meno di errori di calcolo si ottiene un valore numerico di 3,43 s, applicando una forza di circa 70N.
Può andare bene come ragionamento.
Vi ringrazio molto
Saluti a tutti
http://img191.imageshack.us/img191/176/schermata062456098alle1.png
Ecco il mio procedimento riguardo il punto 1:
Sul corpo 1 agisce la forza F incognita, la tensione del filo e la forza di attrito. Quando questo si muove vuol dire che la somma delle forze agenti su di esso, essendo prima tutto fermo, deve essere uguale al prodotto tra la massa e l'accelerazione.
Questo mi porta alla risoluzione del seguente sistema per determinarmi l'espressione dell'accelerazione totale del sistema e della tensione della corda, in modo che poi possa applicare il secondo principio della dinamica al corpo 1.
Fino a qui sembra andare tutto bene, giusto?
Bene, ora passiamo ai calcoli:
(Il mio sistema di riferimento prevede che le forze e le accelerazioni siano positive quando dirette verso l'alto o verso destra, e negative altrimenti)
\(\displaystyle \begin{cases}
-F+\tau+F_{A}=-m_{1}a\\
F+\tau-m_{2}g=m_{2}a\end{cases} \)
Che se sviluppato (vi risparmio un po di conti):
\(\displaystyle \begin{cases}
\tau=ct-m_{1}a-m_{1}g\mu_{s}\\
a=\frac{2ct-g(m_{1}\mu_{s}+m_{2})}{m_{1}+m_{2}}\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases}
\tau=ct-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(2ct-g(m_{1}\mu_{s}+m_{2})\right)-m_{1}g\mu_{s}\\
a=\frac{2ct-g(m_{1}\mu_{s}+m_{2})}{m_{1}+m_{2}}\end{cases} \)
Applicando quindi la seconda legge di Newton:
\(\displaystyle \sum F=ma \)
Si ottiene:
\(\displaystyle -ct+ct-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left[\left(2ct-g(m_{1}\mu_{s}+m_{2})\right)-m_{1}g\mu_{s}\right]=m_{1}\frac{2ct-g(m_{1}\mu_{s}+m_{2})}{m_{1}+m_{2}} \)
Dove se risolta:
\(\displaystyle t=\frac{2g(m_{1}\mu_{s}+m_{2})+m_{1}g\mu_{s}}{4c} \)
A meno di errori di calcolo si ottiene un valore numerico di 3,43 s, applicando una forza di circa 70N.
Può andare bene come ragionamento.
Vi ringrazio molto
Saluti a tutti
Risposte
Michele,
nel primo sistema che hai scritto, la seconda equazione, relativa alla massa $m_2$, non va mica bene! sulla massa $m_2$ agiscono la tensione del filo e la forza peso soltanto. Immagino che lo schema sia quello dell'altro post.
E poi il problema vuole anche sapere quando inizia a muoversi il sistema.
nel primo sistema che hai scritto, la seconda equazione, relativa alla massa $m_2$, non va mica bene! sulla massa $m_2$ agiscono la tensione del filo e la forza peso soltanto. Immagino che lo schema sia quello dell'altro post.
E poi il problema vuole anche sapere quando inizia a muoversi il sistema.
Scusami, ma se ho 2 oggetti che sono tirati con una forza F e sono in serie collegati da un filo insensibile, la stessa forza agisce su entrambi; infatti entrambi hanno la medesima accelerazione.
http://img191.imageshack.us/img191/6733/schermata062456099alle0.png
Ditemi se sbaglio....
http://img191.imageshack.us/img191/6733/schermata062456099alle0.png
Ditemi se sbaglio....
Scusa, intendi dire che sul secondo corpo agisce la forza F, ma che è la forza risultante dal bilanciamento della forza peso e della tensione del filo...
Michele,
so che il primo impatto con questi argomenti è sempre difficoltoso. Ti rispondo qui, ma la risposta vale evidentemente anche per l'altro post analogo.
Supponi che in un primo momento non ci sia la forza d'attrito tra $m_1$ e il piano, così è più semplice.
Allora, su $m_1$ agiscono $vec(F)$ ( forza motrice) e $vec(T)$ ( forza resistente), in versi opposti. La risultante $vec(F)+vec(T)$ deve accelerare la massa $m_1$ . Perciò, proiettando sull'asse orizzontale, tenuto conto dei versi:
$F-T = m_1*a$ ------(1)
La stessa accelerazione deve essere impressa alla massa $m_2$ verso l'alto. Ora però la forza motrice è data dalla tensione $vec(T)$, la forza resistente da $ m_2*vec(g)$, e i versi sono ancora opposti. Proiettando ancora sull'asse verticale, hai :
$T-m_2*g = m_2*a$ ----(2)
La tensione nel filo, a parte la direzione e il verso, ha sempre lo stesso valore. E così pure l'accelerazione delle due masse è la stessa.
Dalle (1) e (2) si ricava : $ F = T+m_1*a = m_2*g + (m_1+m_2)*a $ ------(3)
dalla (3), nota la$F$ e note le masse, ti puoi ricavare l'accelerazione $a$ di entrambe, che risulta :
$a = (F-m_2*g)/(m_1 + m_2) $ -----(4)
Ora, fermati un attimo a riflettere: la (4) significa questo : la differenza ( parlo di moduli) $(F-m_2*g)$ tra forza motrice e forza resistente imprime alla massa totale $(m_1 + m_2)$ l'accelerazione $a$ . E non importa che la puleggia cambia direzione al filo e quindi alla tensione $T$, che è una forza interna al sistema! Come vedi nella (4) la tensione non compare neppure! La tensione puoi ricavartela dalla (1) oppure dalla (2).
E ora aggiungiamo l'attrito...come? La forza di attrito è una ulteriore forza resistente che agisce sulla massa $m_1$ , non devi far altro che modificare la (1) aggiungendo al primo membro la qunatità $-f$ : quest è la prima equazione del sistema tuo, che hai scritto bene. E poi prosegui.
Ben inteso, stiamo parlando della fase di accelerazione.
Se ritorniamo un attimo alle (1) e (2) ( senza attrito), e poniamo $a=0$, otteniamo evidentemente che : $ F = T = m_2*g$ : in condizioni "di regime", a velocità costante ( che può anche essere zero), la forza applicata, la tensione nel filo, e il peso della massa pendente sono uguali.
so che il primo impatto con questi argomenti è sempre difficoltoso. Ti rispondo qui, ma la risposta vale evidentemente anche per l'altro post analogo.
Supponi che in un primo momento non ci sia la forza d'attrito tra $m_1$ e il piano, così è più semplice.
Allora, su $m_1$ agiscono $vec(F)$ ( forza motrice) e $vec(T)$ ( forza resistente), in versi opposti. La risultante $vec(F)+vec(T)$ deve accelerare la massa $m_1$ . Perciò, proiettando sull'asse orizzontale, tenuto conto dei versi:
$F-T = m_1*a$ ------(1)
La stessa accelerazione deve essere impressa alla massa $m_2$ verso l'alto. Ora però la forza motrice è data dalla tensione $vec(T)$, la forza resistente da $ m_2*vec(g)$, e i versi sono ancora opposti. Proiettando ancora sull'asse verticale, hai :
$T-m_2*g = m_2*a$ ----(2)
La tensione nel filo, a parte la direzione e il verso, ha sempre lo stesso valore. E così pure l'accelerazione delle due masse è la stessa.
Dalle (1) e (2) si ricava : $ F = T+m_1*a = m_2*g + (m_1+m_2)*a $ ------(3)
dalla (3), nota la$F$ e note le masse, ti puoi ricavare l'accelerazione $a$ di entrambe, che risulta :
$a = (F-m_2*g)/(m_1 + m_2) $ -----(4)
Ora, fermati un attimo a riflettere: la (4) significa questo : la differenza ( parlo di moduli) $(F-m_2*g)$ tra forza motrice e forza resistente imprime alla massa totale $(m_1 + m_2)$ l'accelerazione $a$ . E non importa che la puleggia cambia direzione al filo e quindi alla tensione $T$, che è una forza interna al sistema! Come vedi nella (4) la tensione non compare neppure! La tensione puoi ricavartela dalla (1) oppure dalla (2).
E ora aggiungiamo l'attrito...come? La forza di attrito è una ulteriore forza resistente che agisce sulla massa $m_1$ , non devi far altro che modificare la (1) aggiungendo al primo membro la qunatità $-f$ : quest è la prima equazione del sistema tuo, che hai scritto bene. E poi prosegui.
Ben inteso, stiamo parlando della fase di accelerazione.
Se ritorniamo un attimo alle (1) e (2) ( senza attrito), e poniamo $a=0$, otteniamo evidentemente che : $ F = T = m_2*g$ : in condizioni "di regime", a velocità costante ( che può anche essere zero), la forza applicata, la tensione nel filo, e il peso della massa pendente sono uguali.
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