Esercizio statica del corpo rigido
Ciao a tutti, l'esercizio è il seguente:
Una guida circolare rigida ed omogenea di massa M e raggio 1 rotola senza strisciare lungo una guida orizzontale. Nel suo baricentro si supponga collegata una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla il cui altro estremo è collegato ad un punto P di massa m vincolato a muoversi sull'asse delle ordinate. Sul punto P agisce una forza diretta sempre verso la verticale di modulo F. Sul disco agisce inoltre una coppia di forza di momento M=(0,0,M). Si suppongano i vincoli lisci.
Determinare:
- Le posizioni di equilibrio del sistema con il principio dei lavori virtuali.
- La Lagrangiana del sistema e le equazioni del moto.
- I momenti coniugati e gli integrali primi del moto.
- Le equazioni delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.
(Allego anche il disegno)
Io ho scelto come parametri Lagrangiani Yp e Xg (baricentro). Il mio problema è che non capisco come devo considerare il momento M nel principio dei lavori virtuali per poi calcolare le posizioni di equilibrio. Di conseguenza non ho fatto neanche i punti successivi.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi darà una mano.
Una guida circolare rigida ed omogenea di massa M e raggio 1 rotola senza strisciare lungo una guida orizzontale. Nel suo baricentro si supponga collegata una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla il cui altro estremo è collegato ad un punto P di massa m vincolato a muoversi sull'asse delle ordinate. Sul punto P agisce una forza diretta sempre verso la verticale di modulo F. Sul disco agisce inoltre una coppia di forza di momento M=(0,0,M). Si suppongano i vincoli lisci.
Determinare:
- Le posizioni di equilibrio del sistema con il principio dei lavori virtuali.
- La Lagrangiana del sistema e le equazioni del moto.
- I momenti coniugati e gli integrali primi del moto.
- Le equazioni delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.
(Allego anche il disegno)
Io ho scelto come parametri Lagrangiani Yp e Xg (baricentro). Il mio problema è che non capisco come devo considerare il momento M nel principio dei lavori virtuali per poi calcolare le posizioni di equilibrio. Di conseguenza non ho fatto neanche i punti successivi.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi darà una mano.
Risposte
Il momento e' legato all'accelerazione angolare del disco:
\( M=I \ddot{\vartheta} \)
\( \ddot{\vartheta} \) lo trovi da considerazioni geometriche e cinematiche (e' legatoa $x_g$....)
\( M=I \ddot{\vartheta} \)
\( \ddot{\vartheta} \) lo trovi da considerazioni geometriche e cinematiche (e' legatoa $x_g$....)
E in questo caso come dovrei scriverlo il principio dei lavori virtuali?
I parametri lagrangiani sono $q_1=y_p$ e $q_2=x_g$
$vartheta=q_2/R$
Lavoro della forza F su uno spostemento infinitesimo: $dL_1=Fdq_1$
Lavoro del momento per una rotazione infinitesima $dL_2=Md\vartheta=Mdq_2/R$
Lavoro della molla per una spostamento infinitesimo di $q_1$ e $q_2$: quello calcolalo tu (senno' che esercizio e').
Il resto vien da se'...
$vartheta=q_2/R$
Lavoro della forza F su uno spostemento infinitesimo: $dL_1=Fdq_1$
Lavoro del momento per una rotazione infinitesima $dL_2=Md\vartheta=Mdq_2/R$
Lavoro della molla per una spostamento infinitesimo di $q_1$ e $q_2$: quello calcolalo tu (senno' che esercizio e').
Il resto vien da se'...
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