Esercizio spira
una spira quadrata di lato a e resistenza R è mantenuta in moto rettilineo uniforme con $vecv = v hate_x$; al tempo t=0 il vertice 1 della spira coincide con l'origine O in un sistema di riferimento cartesiano xy. durante il moto la spira incontra una regione lungo x di ampiezza $Delta x = 2a$ e che inizia ad una distanza $2a$ dall'origine; nella regione c'è un $vecB$ uniforme perpendicolare ad xy uscente nel piano del disegno.
a. calcolare il tempo T necessario perchè la spira attraversi completamente la regione con campo ed il vertice 1 arrivi in $5a$. calcolare il flusso $Phi(t)$
b. calcolare la corrente i(t) che circola nella spira specificandone ACCURATAMENTE il verso
c. calcolare la forza $vecF(t)$ per mantenere la velocità della spira costante
d. calcolare la potenza dissipata nella spira e l'energia complessivamente dissipata in 0-T
e. calcolare il lavoro fatto dalla forza meccanica nello stesso intervallo di tempo
a. $T=(5a)/v$
per il flusso ho due contributi: in 2a ed in 4a.
$Phi_1 = int_(0)^(a)int_(0)^(vt)vecB * dvecS = Bavt$. analogamente l'altro ma integrando fino a $4+vt$
dunque integrando fino a T questi due pezzi $Phi(t)=4Ba^2T+vBaT^2=45a^3 B/v$
b. $i_1 = 1/R (dPhi_1)/(dt)=-Bav/R=i_1$
sono antiorarie rispetto il moto della spira.
c. $vecF = int_(0)^(a)-iBdx hate_x = Ba^2v/R$
d. $P_J = Ri^2=B^2 a^2v^2/R$
$U_J = int_(0)^(T)P_J dt = B^2 a^2v^2/R T$
e. $L = int_(x_0)^(x) vecF * dvecx = int_(0)^(5a)-F dx = -P_J$
qua probabilmente mi sono inventato diverse cose
cosa ho fatto di sbagliato?
Risposte
Per tutti i punti devi distinguere 5 intervalli: spira esterna, entrante, interna, uscente, esterna al campo, e di conseguenza, differenziare per queste regioni le risposte; per la richiesta a) per es. il flusso avrà un andamento trapezoidale in funzione del tempo (o dello spazio) e così per la b) per la quale avrai un andamento della corrente rettangolare e alternato.
Per la c) la forza risulterà anch'essa rettangolare ma ovviamente unidirezionale negli intervalli di circolazione della corrente, in quanto dovrà fornire la potenza meccanica necessaria per compensare la potenza elettrica d) dissipata per effetto Joule nella spira, dalla quale sarà semplice ottenere il lavoro richiesto e).
Lascio a te gli sviluppi analitici (LaTeX), magari arricchiti da un paio di grafici (FidoCaDJ) per i diversi andamenti temporali.
Per la c) la forza risulterà anch'essa rettangolare ma ovviamente unidirezionale negli intervalli di circolazione della corrente, in quanto dovrà fornire la potenza meccanica necessaria per compensare la potenza elettrica d) dissipata per effetto Joule nella spira, dalla quale sarà semplice ottenere il lavoro richiesto e).
Lascio a te gli sviluppi analitici (LaTeX), magari arricchiti da un paio di grafici (FidoCaDJ) per i diversi andamenti temporali.
ritento, sarò più fortunato. vediamo se ho capito...
a. $T=(5a)/v$
per valutare il flusso considero i 5 intervalli che mi hai detto:
\[
\Phi(t)=
\begin{cases}
0, & \text{se $t \in [0,a/v]$,} \\
Ba(vt-a), & \text{se $t \in [a/v, 2a/v]$.} \\
Ba^2, & \text{se $t \in [2a/v,3a/v]$} \\
Ba(4a-vt), & \text{se $t \in [3a/v, 4a/v]$.} \\
0, & \text{se $t \in [4a/v, + \infty]$.} \\
\end{cases}
\]
b. la $f_(em)$ varia solo nelle zone di "transizione" (intervallo 2 e 4) per gli altri è nulla e di conseguenza è nulla la corrente.
se ora $t in [a/v,(2a)/v]$ ottengo $i_1 = -(Bav)/R$ (senso orario)
$t in [(3a)/v,(4a)/v]$ ho $i_2 = (Bav)/R$ (antiorario)
c. essendo la forza proporzionale alla corrente ho forza solo negli stessi due intervalli. in entrambi i casi è lungo x (scrivo quindi solo i moduli per brevità)
$F_1= int_(0)^(a)i_1B dy=-(B^2a^2v)/R$
$F_2= int_(0)^(a)-i_1B dy=-(B^2a^2v)/R$
dove il meno dentro il secondo integrale viene dal fatto che il vettore $dvecl$ punta verso il basso nel tratto verticale di sinistra della spira (nel tratto di destra nel primo caso è invece verso l'alto)
d. $P_J = R (i_1 ^2 + i_2 ^2) =2(B^2 a^2 v^2)/R$
$U_J = int_(0)^(T)P_J dt$
e. $L = int_(a)^(2a)F_1 dx + int_(3a)^(4a)F_2 dx = -P_J$
meglio?
grazie per l'aiuto
a. $T=(5a)/v$
per valutare il flusso considero i 5 intervalli che mi hai detto:
\[
\Phi(t)=
\begin{cases}
0, & \text{se $t \in [0,a/v]$,} \\
Ba(vt-a), & \text{se $t \in [a/v, 2a/v]$.} \\
Ba^2, & \text{se $t \in [2a/v,3a/v]$} \\
Ba(4a-vt), & \text{se $t \in [3a/v, 4a/v]$.} \\
0, & \text{se $t \in [4a/v, + \infty]$.} \\
\end{cases}
\]
b. la $f_(em)$ varia solo nelle zone di "transizione" (intervallo 2 e 4) per gli altri è nulla e di conseguenza è nulla la corrente.
se ora $t in [a/v,(2a)/v]$ ottengo $i_1 = -(Bav)/R$ (senso orario)
$t in [(3a)/v,(4a)/v]$ ho $i_2 = (Bav)/R$ (antiorario)
c. essendo la forza proporzionale alla corrente ho forza solo negli stessi due intervalli. in entrambi i casi è lungo x (scrivo quindi solo i moduli per brevità)
$F_1= int_(0)^(a)i_1B dy=-(B^2a^2v)/R$
$F_2= int_(0)^(a)-i_1B dy=-(B^2a^2v)/R$
dove il meno dentro il secondo integrale viene dal fatto che il vettore $dvecl$ punta verso il basso nel tratto verticale di sinistra della spira (nel tratto di destra nel primo caso è invece verso l'alto)
d. $P_J = R (i_1 ^2 + i_2 ^2) =2(B^2 a^2 v^2)/R$
$U_J = int_(0)^(T)P_J dt$
e. $L = int_(a)^(2a)F_1 dx + int_(3a)^(4a)F_2 dx = -P_J$
meglio?
grazie per l'aiuto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo