Esercizio spinta di archimede
Salve a tutti, sto preparando l'esame di Fisica I e mi sono imbattuta in un esercizio che non riesco a risolvere; questo è il testo:
Uno strato sferico di rame con diametro esterno 12 cm galleggia in acqua con metà del suo volume sopra la superficie. Determinare il diametro interno dello strato. La cavità interna dello strato sferico si intende vuota.
Il problema non sembra difficile: è chiaro che devo uguagliare la spinta di Archimede alla forza peso:
$\rho*g*(4/3*\pi*R^3)/2=m*g$
Noti la densità dell'acqua e il raggio, semplifico g e ricavo la massa della sfera che mi viene 0.45Kg.
Ricavo dalle tabelle la densità del rame (8900 kg/m^3) e quindi il volume del guscio sferico "pieno", facendo massa/densità rame e ottengo $V=0.51*10^-3$
A questo punto:
$4/3*\pi*R^3-4/3*\pir^3=0.51*10^3$
risolvo rispetto ad r (raggio interno) ed ottengo $r=4.55*10^-2$ ; il diametro vale, quindi 9,10 cm che mi sembrava un valore ragionevole.
Il problema sta nella soluzione che riporta il libro: 12 cm! Questo vorrebbe dire che la sfera è un guscio sottilissimo tanto da rendere trascurabile la differenza dei diametri, il che non sembra molto plausibile visto che, nonostante abbia un volume di tutto rispetto, affonda comunque per metà. Ma non voglio certo avere la presunzione di correggere un risultato riportato da chi ne sa molto più di me.
Vi sarei grata se qualcuno potesse dirmi 1)dove sto sbagliando 2)se c'è un modo in cui posso fare a meno della densità del rame che l'esercizio non forniva.
Mi scuso per gli errori che sicuramente avrò commesso nella scrittura delle formule; ho cercato di seguire i vostri consigli e, visto che questo è il mio primo post, spero saprete essere comprensivi.
Grazie in anticipo a tutti e complimenti per l'aiuto che date a tutti noi!!!!!
Uno strato sferico di rame con diametro esterno 12 cm galleggia in acqua con metà del suo volume sopra la superficie. Determinare il diametro interno dello strato. La cavità interna dello strato sferico si intende vuota.
Il problema non sembra difficile: è chiaro che devo uguagliare la spinta di Archimede alla forza peso:
$\rho*g*(4/3*\pi*R^3)/2=m*g$
Noti la densità dell'acqua e il raggio, semplifico g e ricavo la massa della sfera che mi viene 0.45Kg.
Ricavo dalle tabelle la densità del rame (8900 kg/m^3) e quindi il volume del guscio sferico "pieno", facendo massa/densità rame e ottengo $V=0.51*10^-3$
A questo punto:
$4/3*\pi*R^3-4/3*\pir^3=0.51*10^3$
risolvo rispetto ad r (raggio interno) ed ottengo $r=4.55*10^-2$ ; il diametro vale, quindi 9,10 cm che mi sembrava un valore ragionevole.
Il problema sta nella soluzione che riporta il libro: 12 cm! Questo vorrebbe dire che la sfera è un guscio sottilissimo tanto da rendere trascurabile la differenza dei diametri, il che non sembra molto plausibile visto che, nonostante abbia un volume di tutto rispetto, affonda comunque per metà. Ma non voglio certo avere la presunzione di correggere un risultato riportato da chi ne sa molto più di me.
Vi sarei grata se qualcuno potesse dirmi 1)dove sto sbagliando 2)se c'è un modo in cui posso fare a meno della densità del rame che l'esercizio non forniva.
Mi scuso per gli errori che sicuramente avrò commesso nella scrittura delle formule; ho cercato di seguire i vostri consigli e, visto che questo è il mio primo post, spero saprete essere comprensivi.
Grazie in anticipo a tutti e complimenti per l'aiuto che date a tutti noi!!!!!
Risposte
Da
$rho_text(acqua)*4/3 pi R^3*1/2*g=4/3pi(R^3-r_i^3)*rho_text(Cu)*g$
trovo che il raggio interno sia
$r_i=R*root(3) (1-(rho_text(acqua))/(2*rho_text(Cu)))$
e il diametro interno
$d_i=2r_i=2*R*root(3) (1-(rho_text(acqua))/(2*rho_text(Cu)))~=11.8 \ cm$
$rho_text(acqua)*4/3 pi R^3*1/2*g=4/3pi(R^3-r_i^3)*rho_text(Cu)*g$
trovo che il raggio interno sia
$r_i=R*root(3) (1-(rho_text(acqua))/(2*rho_text(Cu)))$
e il diametro interno
$d_i=2r_i=2*R*root(3) (1-(rho_text(acqua))/(2*rho_text(Cu)))~=11.8 \ cm$
Non so come hai fatto tu i calcoli, non si capisce.
Il risultato dovrebbe essere 11.77cm.
La realzione da scrivere e': peso spostto dell'acqua = peso della sfera
$ 1000*g*{4/3\piR_e^3}/{2}=8900*g*4/3\pi(R_e^3-R_i^3) $
risolvi per Raggio interno e ti dovrebbe venire 11.77cm
Il risultato dovrebbe essere 11.77cm.
La realzione da scrivere e': peso spostto dell'acqua = peso della sfera
$ 1000*g*{4/3\piR_e^3}/{2}=8900*g*4/3\pi(R_e^3-R_i^3) $
risolvi per Raggio interno e ti dovrebbe venire 11.77cm
Ciao! grazie mille per l'aiuto, hai ragione tu (ovviamente)!
Era un semplice errore di calcolo... meglio così! perchè del procedimento ero abbastanza convinta!
Grazie mille ancora e alla prossima!!!!!
Era un semplice errore di calcolo... meglio così! perchè del procedimento ero abbastanza convinta!
Grazie mille ancora e alla prossima!!!!!
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